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  • 2021-05-13 发布

全国高考数学试题——全国卷2文科含答案

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‎2009年普通高等学校招生全国统一考试试卷题 文科数学 第Ⅰ卷(选择题)‎ ‎ 本卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ 参考公式: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 如果事件互斥,那么 球的表面积公式 ‎ ‎ ‎ 如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径 ‎ 球的体积公式 ‎ 如果事件在一次试验中发生的概率是,那么 ‎ ‎ 次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一. 选择题 ‎(1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},M ={1,3,5,7},N ={5,6,7},则Cu( MN)=‎ ‎(A) {5,7} (B) {2,4} (C){2.4.8} (D){1,3,5,6,7}‎ ‎(2)函数y=(x0)的反函数是 ‎ (A)(x0) (B)(x0)‎ ‎ (B)(x0) (D)(x0) ‎ ‎(3) 函数y=的图像 ‎ (A) 关于原点对称 (B)关于主线对称 ‎ (C) 关于轴对称 (D)关于直线对称 ‎(4)已知△ABC中,,则 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(5) 已知正四棱柱中,=,为重点,则异面直线 与所形成角的余弦值为 ‎(A) (B) (C) (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(6) 已知向量a = (2,1), a·b = 10,︱a + b ︱= ,则︱b ︱=‎ ‎ (A) (B) (C)5 (D)25‎ ‎(7)设则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(8)双曲线的渐近线与圆相切,则r=‎ ‎(A) (B)2 (C)3 (D)6‎ ‎(9)若将函数的图像向右平移个单位长度后,与函数的图像重合,则的最小值为 ‎(A) (B) (C) (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(10)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 ‎(A)6种 (B)12种 (C)24种 (D)30种 ‎(11)已知直线与抛物线C:相交A、B两点,F为C的焦点。若,则k=‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(12)纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“△”的面的方位是 ‎(A)南 (B)北 (C)西 (D)下 ‎△‎ 上 东 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷(非选择题)‎ 本卷共10小题,共90分。‎ 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在答题卡上相应位置的横线上.‎ ‎(13)设等比数列{}的前n项和为。若,则= × ‎ ‎(14)的展开式中的系数为 × w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(15)已知圆O:和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 × ‎ ‎(16)设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于,则球O的表面积等于 × ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。解答过程写在答题卡的相应位置。‎ ‎(17)(本小题满分10分)‎ 已知等差数列{}中,求{}前n项和. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,,,求B.‎ ‎(19)(本小题满分12分)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1‎ A C B A1‎ B1‎ C1‎ D E ‎(Ⅰ)证明:AB=AC w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小 ‎(20)(本小题满分12分)‎ 某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有10名工人,其中有6名女工人。现采用分层抽样(层内采用不放回简单随即抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。‎ ‎(Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数;‎ ‎(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;‎ ‎(Ⅲ)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ 设函数 ,其中常数a>1‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围。‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(22)(本小题满分12分)‎ 已知椭圆C: 的离心率为 ,过右焦点F的直线l与C相交于A、B ‎ ‎ 两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为 ‎(Ⅰ)求a,b的值;‎ ‎(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立?‎ 若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由。‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试 ‎ 文科数学试题参考答案和评分参考 一. 选择题 ‎(1)C (2)B (3)A (4)D (5)C (6)C ‎(7)B (8)A (9)D (10)C (11)D (12)B 二.填空题 ‎ (13)3 (14)6 (15)(16)8π 三.解答题 ‎ 17. 解:‎ 设的公差为,则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 即 解得 因此 ‎(18)解:‎ 由 cos(AC)+cosB=及B=π(A+C)得 ‎ cos(AC)cos(A+C)=,‎ ‎ cosAcosC+sinAsinC(cosAcosCsinAsinC)=,‎ ‎ sinAsinC=.‎ 又由=ac及正弦定理得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ 故 ,‎ ‎ 或 (舍去),‎ 于是 B= 或 B=.‎ 又由 知或 所以 B=。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(19)解法一:(Ⅰ)取BC中点F,连接EF,则EF,从而EFDA。‎ 连接AF,则ADEF为平行四边形,从而AF//DE。又DE⊥平面,故AF⊥平面,从而AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC。‎ ‎(Ⅱ)作AG⊥BD,垂足为G,连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD,故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知,∠AGC=600..‎ ‎ 设AC=2,则AG=。又AB=2,BC=,故AF=。‎ 由得2AD=,解得AD=。‎ 故AD=AF。又AD⊥AF,所以四边形ADEF为正方形。‎ 因为BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故BC⊥平面DEF,因此平面BCD⊥平面DEF。‎ 连接AE、DF,设AE∩DF=H,则EH⊥DF,EH⊥平面BCD。‎ 连接CH,则∠ECH为与平面BCD所成的角。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 因ADEF为正方形,AD=,故EH=1,又EC==2,‎ 所以∠ECH=300,即与平面BCD所成的角为300.‎ 解法二:‎ ‎(Ⅰ)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A—xyz。‎ 设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则(1,0,2c),E(,,c).‎ 于是=(,,0),=(-1,b,0).由DE⊥平面知DE⊥BC, =0,求得b=1,所以 AB=AC。‎ ‎(Ⅱ)设平面BCD的法向量则又=(-1,1,‎ ‎ ‎ ‎0),=(-1,0,c),故 ‎ ‎ 令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).‎ 又平面的法向量=(0,1,0)‎ 由二面角为60°知,=60°,‎ 故 °,求得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 于是 , ‎ ‎,‎ ‎ °‎ 所以与平面所成的角为30°‎ ‎(20)解:‎ ‎(I)由于甲、乙两组各有10名工人,根据分层抽样原理,要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核,则从每组各抽取2名工人。‎ ‎(II)记表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人,则 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(III)表示事件:从甲组抽取的2名工人中恰有名男工人,‎ ‎ 表示事件:从乙组抽取的2名工人中恰有名男工人,‎ ‎ 表示事件:抽取的4名工人中恰有2名男工人。‎ ‎ 与独立, ,且 故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ ‎(21)解:‎ ‎ (I)‎ ‎ 由知,当时,,故在区间是增函数;‎ ‎ 当时,,故在区间是减函数;‎ ‎ 当时,,故在区间是增函数。‎ ‎ 综上,当时,在区间和是增函数,在区间是减函数。‎ ‎ (II)由(I)知,当时,在或处取得最小值。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由假设知 ‎ 即 解得 1