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  • 2021-05-13 发布

专题07三角变换及解三角形易错起源高考数学理备考黄金易错点Word版含解析

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‎1.【2017山东,理9】在中,角,,的对边分别为,,.若为锐角三角形,且满足,则下列等式成立的是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 所以,选A.‎ ‎2.【2017北京,理12】在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若,=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎3.【2017浙江,14】已知△ABC,AB=AC=4,BC=2. 点D为AB延长线上一点,BD=2,连结CD,则△BDC的面积是______,cos∠BDC=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取BC中点E,DC中点F,由题意:,‎ ‎△ABE中,,,‎ ‎.‎ 又,‎ ‎,‎ 综上可得,△BCD面积为,.‎ ‎4.【2017课标II,理17】的内角所对的边分别为,已知,‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,的面积为,求。‎ ‎【答案】(1); (2) b=2‎ ‎【解析】b=2(1)由题设及,故 上式两边平方,整理得 ‎ 解得 ‎ ‎(2)由,故 又 由余弦定理 及得 所以b=2.‎ ‎1.【2016高考新课标2理数】若,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ,‎ 且,故选D.‎ ‎2.【2016高考新课标3理数】若 ,则( )‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由,得或,所以,故选A.‎ ‎7.【2016高考天津理数】在△ABC中,若,BC=3, ,则AC= ( )‎ ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由余弦定理得,选A.‎ ‎8.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中,若,则的最小值是 ▲ .‎ ‎【答案】8.‎ ‎【解析】,又,因即最小值为8.‎ ‎9.【2016年高考四川理数】(本小题满分12分)‎ 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.‎ ‎(I)证明:;‎ ‎(II)若,求.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明详见解析;(Ⅱ)4.‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅱ)由已知,b2+c2–a2=bc,根据余弦定理,有 cos A==.‎ 所以sin A==.‎ 由(Ⅰ),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,‎ 所以sin B=cos B+sin B,‎ 故tan B==4.‎ ‎10.【2016高考浙江理数】(本题满分14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知b+c=‎2a cos B.‎ ‎(I)证明:A=2B;‎ ‎(II)若△ABC的面积,求角A的大小.‎ ‎【答案】(I)证明见解析;(II)或.‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)由正弦定理得,‎ 故,‎ 于是.‎ 又,,故,所以或,‎ 因此(舍去)或,‎ 所以,.‎ ‎(Ⅱ)由得,故有,‎ 因为,所以.‎ 又,,所以.‎ 当时,;‎ 当时,.‎ 综上,或.‎ 易错起源1、三角恒等变换 例1、(1)已知α为锐角,若cos=,则cos=________.‎ ‎(2)已知sinα=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则角β等于(  )‎ A. B. C. D. 答案 (1) (2)C 解析 (1)因为α为锐角,cos(α+)=>0,‎ 所以α+为锐角,sin(α+)=,‎ 则sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=2××=.‎ 又cos(2α-)=sin(2α+),‎ 所以cos(2α-)=.‎ ‎(2)因为α,β均为锐角,‎ 所以-<α-β<.‎ 又sin(α-β)=-,‎ 所以cos(α-β)=.‎ 又sinα=,所以cosα=,‎ 所以sinβ=sin[α-(α-β)]‎ ‎=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)‎ ‎=×-×(-)=.‎ 所以β=.‎ ‎【变式探究】(1)已知sin=,cos2α=,则sinα等于(  )‎ A. B.- C.- D. ‎(2)-等于(  )‎ A.4 B.2‎ C.-2 D.-4‎ 答案 (1)D (2)D 解析 (1)由sin=,‎ 得sinαcos-cosαsin=,‎ 即sinα-cosα=,①‎ 又cos2α=,所以cos2α-sin2α=,‎ 即(cosα+sinα)·(cosα-sinα)=,‎ 因此cosα+sinα=-.②‎ 由①②得sinα=,故选D.‎ ‎(2)-=- ‎== ‎==-4,‎ 故选D.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎ (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,三角恒等变换公式的熟记和灵活应用,要善于观察各个角之间的联系,发现题目所给条件与恒等变换公式的联系,公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现张冠李戴的情况.(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ ‎1.三角求值“三大类型”‎ ‎“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”.‎ ‎2.三角函数恒等变换“四大策略”‎ ‎(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan45°等;‎ ‎(2)项的分拆与角的配凑:如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等;‎ ‎(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;‎ ‎(4)弦、切互化:一般是切化弦.‎ 易错起源2、正弦定理、余弦定理 例2、(1)(2016·课标全国丙)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA等于(  )‎ A.B.C.-D.- ‎(2)(2015·北京)在△ABC中,a=3,b=,A=,则B=________.‎ 答案 (1)C (2) 解析 (1)设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,‎ 则由题意得S△ABC=a·a=acsinB,∴c=a.‎ 由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB ‎=a2+a2-2×a×a×=a2,‎ ‎∴b=a.‎ ‎∴cosA===-.‎ 故选C.‎ ‎(2)由正弦定理得sinB===,‎ 因为A为钝角,所以B=.‎ ‎【变式探究】如图,在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.‎ ‎ ‎ ‎(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.‎ 在△ABD和△ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,‎ AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.‎ 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6,‎ 由(1)知AB=2AC,所以AC=1.‎ ‎【名师点睛】‎ 关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正弦、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ ‎1.正弦定理:在△ABC中,===2R(R为△ABC的外接圆半径).变形:a=2RsinA,sinA=,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC等.‎ ‎2.余弦定理:在△ABC中,‎ a2=b2+c2-2bccosA;‎ 变形:b2+c2-a2=2bccosA,cosA=.‎ 易错起源3、解三角形与三角函数的综合问题 例3 (2015·山东)设f(x)=sinxcosx-cos2.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.‎ 解 (1)由题意知f(x)=- ‎=-=sin2x-.‎ 由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,‎ 可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;‎ 由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,‎ 可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间是 (k∈Z);‎ 单调递减区间是(k∈Z).‎ ‎(2)由f=sinA-=0,得sinA=,‎ 由题意知A为锐角,所以cosA=.‎ 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,‎ 可得1+bc=b2+c2≥2bc,‎ 即bc≤2+,且当b=c时等号成立.‎ 因此bcsinA≤.‎ 所以△ABC面积的最大值为.‎ ‎【变式探究】已知函数f(x)=cos2x+2sinxcosx-sin2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和值域;‎ ‎(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若f()=2且a2=bc,试判断△ABC的形状.‎ 解 (1)f(x)=cos2x+2sinxcosx-sin2x ‎=sin2x+cos2x ‎=2sin(2x+),‎ 所以T=π,f(x)∈[-2,2].‎ ‎【名师点睛】‎ 解三角形与三角函数的综合题,要优先考虑角的范围和角之间的关系;对最值或范围问题,可以转化为三角函数的值域来求.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ 解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点,主要考查三角形的基本量,三角形的面积或判断三角形的形状.‎