高考天津文科数学试题及答案 7页

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（文史类）‎ ‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎2本卷共8小题，每小题5分，共40分。‎ 参考公式：‎ ‎•如果事件，互斥，那么 •圆锥的体积公式.‎ ‎ 其中表示圆锥的底面面积，‎ ‎•圆柱的体积公式. 表示圆锥的高.‎ 其中表示棱柱的底面面积， ‎ 表示棱柱的高. ‎ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 是虚数单位，复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）‎ A. 2 B. ‎3 C. 4 D. 5‎ ‎3. 已知命题（ ）‎ A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 ‎4. 设 则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 设是首项为，公差为的等差数列，为其前n项和，若成等比 数列，则=（ ）‎ A. 2 B. －‎2 C. D . ‎ ‎6. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 如图，是圆的内接三角行，的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD 的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：① BD平分；②；③；④.则所有正确结论的序号是（ ）‎ A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②④‎ ‎8. 已知函数在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取 _________名学生.‎ ‎10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为 .‎ ‎11. 阅读右边的框图，运行相应的程序，输出的值为________.‎ ‎12. 函数的单调递减区间是________.‎ ‎13. 已知菱形的边长为，，点，分别在边、上，‎ ‎，.若，则的值为________.‎ ‎14. 已知函数若函数恰有4个零点，则实数 的取值范围为_______‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎15.（本小题满分13分）‎ 某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表：‎ 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）‎ ‎(1) 用表中字母列举出所有可能的结果 ‎(2) 设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发生的概率.‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 在中，内角所对的边分别为，已知，‎ ‎(1) 求的值；‎ ‎(2) 求的值.‎ ‎17.（本小题满分13分）‎ 如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，，AD=2，, E，F分别是棱AD，PC的中点.‎ ‎(1) 证明: 平面PAB；‎ ‎(2) 若二面角P-AD-B为，‎ ‎① 证明：平面PBC⊥平面ABCD ‎② 求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切于点，，求椭圆的方程.‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数 ‎(1) 求的单调区间和极值；‎ ‎(2) 若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围 ‎20（本小题满分14分）‎ 已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，集合，‎ ‎(1) 当时，用列举法表示集合A；‎ ‎(2) 设其中 证明：若则.‎ ‎2014年天津高考数学（文科）试卷参考答案 ‎ 一、选择题 A B B C D A D C ‎1. 解：，选A.‎ ‎2. 解：作出可行域，如图，结合图象可知，‎ 当目标函数通过点时，取得最小值3，选B.‎ ‎3. 解：依题意知为：，使得，选B.‎ ‎4. 解：因为，，，所以，选 C.‎ ‎5. 解：依题意得，所以，解得，选D.‎ ‎6. 解：依题意得，所以，，选A.‎ ‎7. 解： 由弦切角定理得，又，所以∽，所以 ‎，即，故④正确，排除A、C. 又，故①正确，排除B，选D.‎ ‎8. 解：因为，所以得，‎ 所以或，.‎ 因为相邻交点距离的最小值为，所以，，，选C.‎ 二、填空题 ‎9. 60 10. 11.－4 12. 13. 2 14. ‎ ‎9. 解: 应从一年级抽取名.‎ ‎10.解: 该几何体的体积为.‎ ‎11. 解：时，；时，，所以输出的的值为-4.‎ ‎12. 解：由复合函数的单调性知，的单调递减区间是.‎ ‎13. 解：因为，菱形的边长为2，所以.‎ 因为，‎ 所以，解得.‎ ‎[解2] 建立如图所示的坐标系，则A(－1，0)，B(0，－)，C(1，0)，D(0，)．设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由＝3，得(1，)＝3(x1，y1＋)，可得E；由＝λ，得(1，－)＝λ(x2，y2－)，可得F.‎ ‎∵AE·AF＝·＝－＝1，∴λ＝2.‎ ‎14.解: 在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a|x|的图像，如图所示，当y＝a|x|与y＝f(x)的图像相切时，联立整理得x2＋(5－a)x＋4＝0，则Δ＝(5－a)2－414＝0，解得a＝1或a＝9(舍去)，∴当y＝a|x|与y＝f(x)的图像有四个交点时，有10)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，0)‎ ‎0‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ 递减 ‎0‎ 递增 递减 所以，f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是(－∞，0)，.‎ 当x＝0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)＝0；‎ 当x＝时，f(x)有极大值，且极大值f＝.‎ ‎(2)由f(0)＝f＝0及(1)知，当x∈时，f(x)>0；当x∈时，f(x)<0.‎ 设集合A＝{f(x)|x∈(2，＋∞)}，集合B＝，则“对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝‎1”‎等价于A⊆B，显然0∉B.下面分三种情况讨论：‎ ‎(i)当>2，即0时，有f(1)<0，且此时f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故B＝，A＝(－∞，f(2))，所以A不是B的子集．‎ 综上，a的取值范围是.‎ ‎20．解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．‎ ‎(2) 证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1，2，…，n及an