高考数学平面向量的数量积复习测试卷 5页

第二十五讲　平面向量的数量积 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)‎ ‎1．设i，j是互相垂直的单位向量，向量a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，(a＋b)⊥(a－b)，则实数m的值为(　　)‎ A．－2　　　　　　　　　B．2‎ C．－D．不存在 解析：由题设知：a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，‎ ‎∴a＋b＝(m＋2，m－4)，‎ a－b＝(m，－m－2)．‎ ‎∵(a＋b)⊥(a－b)，‎ ‎∴(a＋b)·(a－b)＝0，‎ ‎∴m(m＋2)＋(m－4)(－m－2)＝0，‎ 解之得m＝－2.‎ 故应选A.‎ 答案：A ‎2．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有(　　)‎ A．a⊥bB．a∥b C．|a|＝|b| D．|a|≠|b|‎ 解析：f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，‎ 即f(x)的表达式是关于x的一次函数．‎ 而(xa＋b)·(a－xb)＝x|a|2－x‎2a·b＋a·b－x|b|2，‎ 故a·b＝0，又∵a，b为非零向量，‎ ‎∴a⊥b，故应选A.‎ 答案：A ‎3．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的范围是(　　)‎ A．(1，＋∞) B．(－1,1)‎ C．(－1，＋∞) D．(－∞，1)‎ 解析：∵a与a＋2b同向，‎ ‎∴可设a＋2b＝λa(λ>0)，‎ 则有b＝a，又∵|a|＝＝，‎ ‎∴a·b＝·|a|2＝×2＝λ－1>－1，‎ ‎∴a·b的范围是(－1，＋∞)，故应选C.‎ 答案：C ‎4．已知△ABC中， a·b<0，S△ABC＝，‎ ‎|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于(　　)‎ A．30° B．－150°‎ C．150° D．30°或150°‎ 解析：∵S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝，‎ ‎∴sin∠BAC＝，‎ 又a·b<0，∴∠BAC为钝角，‎ ‎∴∠BAC＝150°.‎ 答案：C ‎5．(2010·辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设则△OAB的面积等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：cos〈a，b〉＝，‎ sin∠AOB＝＝，‎ 所以S△OAB＝|a||b|‎ sin∠AOB＝.‎ 答案：C ‎6．(2010·湖南)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则等于(　　)‎ A．－16 B．－8‎ C．8 D．16‎ 解析：解法一：因为cosA＝，‎ 故cosA＝AC2＝16，故选D.‎ 解法二：在上的投影为||cosA＝||，‎ 故cosA＝AC2＝16，故选D.‎ 答案：D 二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)‎ ‎7．(2010·江西)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是________．‎ 解析：b在a上的投影是|b|cos〈a，b〉＝2cos60°＝1.‎ 答案：1‎ ‎8．(2010·浙江)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．‎ 解析：由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝＝＝.‎ 答案： ‎9．已知|a|＝2，|b|＝，a与b的夹角为45°，要使λb－a与a垂直，则λ＝________.‎ 解析：由λb－a与a垂直，(λb－a)·a＝λa·b－a2＝0，所以λ＝2.‎ 答案：2‎ ‎10．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则)的最小值是________．‎ 解析：令||＝x且0≤x≤2，则||＝2－x.‎ ‎＝－2(2－x)x＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2≥－2.‎ ‎∴的最小值为－2.‎ 答案：－2‎ 三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)‎ ‎11．已知|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，求使向量(‎2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角的λ的取值范围．‎ 解：由|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，‎ 则a·b＝|a||b|cos45°＝×1×＝1.‎ 而(‎2a＋λb)·(λa－3b)＝2λa2－‎6a·b＋λ‎2a·b－3λb2＝λ2＋λ－6.‎ 设向量(‎2a＋λb)与(λa－3b)的夹角为θ，‎ 则cosθ＝>0，且cosθ≠1，‎ ‎∴(‎2a＋λb)·(λa－3b)>0，∴λ2＋λ－6>0，‎ ‎∴λ>2或λ<－3.‎ 假设cosθ＝1，则‎2a＋λb＝k(λa－3b)(k>0)，‎ ‎∴解得k2＝－.‎ 故使向量‎2a＋λb和λa－3b夹角为0°的λ不存在．‎ 所以当λ>2或λ<－3时，向量(‎2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角．‎ 评析：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cosθ＝去判断θ分五种情况：cosθ＝1，θ＝0°；cosθ＝0，θ＝90°；cosθ＝－1，θ＝180°；cosθ<0且cosθ≠－1，θ为钝角；cosθ>0且cosθ≠1，θ为锐角．‎ ‎12．设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝.‎ ‎(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；‎ ‎(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．‎ 解：(1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－＝0，故a＋b与a－b垂直．‎ ‎(2)由|a＋b|＝|a－b|，两边平方得3|a|2＋‎2‎a·b＋|b|2＝|a|2－‎2‎a·b＋3|b|2，‎ 所以2(|a|2－|b|2)＋‎4a·b＝0，而|a|＝|b|，所以a·b＝0，则·cosα＋·sinα＝0，‎ 即cos(α＋60°)＝0，‎ ‎∴α＋60°＝k·180°＋90°，‎ 即α＝k·180°＋30°，k∈Z，‎ 又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.‎ ‎13．已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝，‎ ‎(1)求证：a⊥b；‎ ‎(2)若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb满足x⊥y，试求此时的最小值．‎ 解：(1)证明：∵a·b＝cos(－θ)·cos＋‎ sin(－θ)·sin＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.‎ ‎∴a⊥b.‎ ‎(2)由x⊥y，得x·y＝0，‎ 即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0，‎ ‎∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0，‎ ‎∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.‎ 又|a|2＝1，|b|2＝1，∴－k＋t3＋3t＝0，‎ ‎∴k＝t3＋3t，‎ ‎∴＝＝t2＋t＋3‎ ‎＝2＋.‎ 故当t＝－时，有最小值.‎