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  • 2021-05-13 发布

高考数学平面向量的数量积复习测试卷

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第二十五讲 平面向量的数量积 一、选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)‎ ‎1.设i,j是互相垂直的单位向量,向量a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,(a+b)⊥(a-b),则实数m的值为(  )‎ A.-2         B.2‎ C.-D.不存在 解析:由题设知:a=(m+1,-3),b=(1,m-1),‎ ‎∴a+b=(m+2,m-4),‎ a-b=(m,-m-2).‎ ‎∵(a+b)⊥(a-b),‎ ‎∴(a+b)·(a-b)=0,‎ ‎∴m(m+2)+(m-4)(-m-2)=0,‎ 解之得m=-2.‎ 故应选A.‎ 答案:A ‎2.设a,b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线,则必有(  )‎ A.a⊥bB.a∥b C.|a|=|b| D.|a|≠|b|‎ 解析:f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线,‎ 即f(x)的表达式是关于x的一次函数.‎ 而(xa+b)·(a-xb)=x|a|2-x‎2a·b+a·b-x|b|2,‎ 故a·b=0,又∵a,b为非零向量,‎ ‎∴a⊥b,故应选A.‎ 答案:A ‎3.向量a=(-1,1),且a与a+2b方向相同,则a·b的范围是(  )‎ A.(1,+∞) B.(-1,1)‎ C.(-1,+∞) D.(-∞,1)‎ 解析:∵a与a+2b同向,‎ ‎∴可设a+2b=λa(λ>0),‎ 则有b=a,又∵|a|==,‎ ‎∴a·b=·|a|2=×2=λ-1>-1,‎ ‎∴a·b的范围是(-1,+∞),故应选C.‎ 答案:C ‎4.已知△ABC中, a·b<0,S△ABC=,‎ ‎|a|=3,|b|=5,则∠BAC等于(  )‎ A.30° B.-150°‎ C.150° D.30°或150°‎ 解析:∵S△ABC=|a||b|sin∠BAC=,‎ ‎∴sin∠BAC=,‎ 又a·b<0,∴∠BAC为钝角,‎ ‎∴∠BAC=150°.‎ 答案:C ‎5.(2010·辽宁)平面上O,A,B三点不共线,设则△OAB的面积等于(  )‎ A. B. C. D. 解析:cos〈a,b〉=,‎ sin∠AOB==,‎ 所以S△OAB=|a||b|‎ sin∠AOB=.‎ 答案:C ‎6.(2010·湖南)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则等于(  )‎ A.-16 B.-8‎ C.8 D.16‎ 解析:解法一:因为cosA=,‎ 故cosA=AC2=16,故选D.‎ 解法二:在上的投影为||cosA=||,‎ 故cosA=AC2=16,故选D.‎ 答案:D 二、填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)‎ ‎7.(2010·江西)已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为60°,则b在a上的投影是________.‎ 解析:b在a上的投影是|b|cos〈a,b〉=2cos60°=1.‎ 答案:1‎ ‎8.(2010·浙江)已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是________.‎ 解析:由于α⊥(α-2β),所以α·(α-2β)=|α|2-2α·β=0,故2α·β=1,所以|2α+β|===.‎ 答案: ‎9.已知|a|=2,|b|=,a与b的夹角为45°,要使λb-a与a垂直,则λ=________.‎ 解析:由λb-a与a垂直,(λb-a)·a=λa·b-a2=0,所以λ=2.‎ 答案:2‎ ‎10.在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则)的最小值是________.‎ 解析:令||=x且0≤x≤2,则||=2-x.‎ ‎=-2(2-x)x=2(x2-2x)=2(x-1)2-2≥-2.‎ ‎∴的最小值为-2.‎ 答案:-2‎ 三、解答题:(本大题共3小题,11、12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)‎ ‎11.已知|a|=,|b|=1,a与b的夹角为45°,求使向量(‎2a+λb)与(λa-3b)的夹角是锐角的λ的取值范围.‎ 解:由|a|=,|b|=1,a与b的夹角为45°,‎ 则a·b=|a||b|cos45°=×1×=1.‎ 而(‎2a+λb)·(λa-3b)=2λa2-‎6a·b+λ‎2a·b-3λb2=λ2+λ-6.‎ 设向量(‎2a+λb)与(λa-3b)的夹角为θ,‎ 则cosθ=>0,且cosθ≠1,‎ ‎∴(‎2a+λb)·(λa-3b)>0,∴λ2+λ-6>0,‎ ‎∴λ>2或λ<-3.‎ 假设cosθ=1,则‎2a+λb=k(λa-3b)(k>0),‎ ‎∴解得k2=-.‎ 故使向量‎2a+λb和λa-3b夹角为0°的λ不存在.‎ 所以当λ>2或λ<-3时,向量(‎2a+λb)与(λa-3b)的夹角是锐角.‎ 评析:由于两个非零向量a,b的夹角θ满足0°≤θ≤180°,所以用cosθ=去判断θ分五种情况:cosθ=1,θ=0°;cosθ=0,θ=90°;cosθ=-1,θ=180°;cosθ<0且cosθ≠-1,θ为钝角;cosθ>0且cosθ≠1,θ为锐角.‎ ‎12.设在平面上有两个向量a=(cosα,sinα)(0°≤α<360°),b=.‎ ‎(1)求证:向量a+b与a-b垂直;‎ ‎(2)当向量a+b与a-b的模相等时,求α的大小.‎ 解:(1)证明:因为(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-=0,故a+b与a-b垂直.‎ ‎(2)由|a+b|=|a-b|,两边平方得3|a|2+‎2‎a·b+|b|2=|a|2-‎2‎a·b+3|b|2,‎ 所以2(|a|2-|b|2)+‎4a·b=0,而|a|=|b|,所以a·b=0,则·cosα+·sinα=0,‎ 即cos(α+60°)=0,‎ ‎∴α+60°=k·180°+90°,‎ 即α=k·180°+30°,k∈Z,‎ 又0°≤α<360°,则α=30°或α=210°.‎ ‎13.已知向量a=(cos(-θ),sin(-θ)),b=,‎ ‎(1)求证:a⊥b;‎ ‎(2)若存在不等于0的实数k和t,使x=a+(t2+3)b,y=-ka+tb满足x⊥y,试求此时的最小值.‎ 解:(1)证明:∵a·b=cos(-θ)·cos+‎ sin(-θ)·sin=sinθcosθ-sinθcosθ=0.‎ ‎∴a⊥b.‎ ‎(2)由x⊥y,得x·y=0,‎ 即[a+(t2+3)b]·(-ka+tb)=0,‎ ‎∴-ka2+(t3+3t)b2+[t-k(t2+3)]a·b=0,‎ ‎∴-k|a|2+(t3+3t)|b|2=0.‎ 又|a|2=1,|b|2=1,∴-k+t3+3t=0,‎ ‎∴k=t3+3t,‎ ‎∴==t2+t+3‎ ‎=2+.‎ 故当t=-时,有最小值.‎