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- 2021-05-13 发布
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高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)
高中数学竞赛讲义（一）
──集合与简易逻辑
一、基础知识
定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。
定义3 交集，
定义4 并集，
定义5 补集，若称为A在I中的补集。
定义6 差集，。
定义7 集合记作开区间，集合
记作闭区间，R记作
定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有：
（1） （2）；
（3） （4）
【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
（1）若，则，且或，所以或，即；反之，，则或，即且或，即且，即
（3）若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有
定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
二、方法与例题
1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。
例1 设，求证：
（1）；
（2）；
（3）若，则
[证明]（1）因为，且，所以
（2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以
（3）设，则
（因为）。
2．利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则A=B。
例2 设A，B是两个集合，又设集合M满足
，求集合M（用A，B表示）。
【解】先证，若，因为，所以，所以；
再证，若，则1）若，则；2）若，则。所以
综上，
3．分类讨论思想的应用。
例3 ，若，求
【解】依题设，，再由解得或，
因为，所以，所以，所以或2，所以或3。
因为，所以，若，则，即，若，则或，解得
综上所述，或；或。
4．计数原理的应用。
例4 集合A，B，C是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若，求有序集合对（A，B）的个数；（2）求I的非空真子集的个数。
【解】（1）集合I可划分为三个不相交的子集；AB，BA，中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。
（2）I的子集分三类：空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有个，非空真子集有1022个。
5．配对方法。
例5 给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。
【解】将I的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同在这个子集中，因此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C1A与A，并设，则，从而可以在个子集中再添加，与已知矛盾，所以。综上，。
6．竞赛常用方法与例问题。
定理4 容斥原理；用表示集合A的元素个数，则
，需要xy此结论可以推广到个集合的情况，即
定义8 集合的划分：若，且，则这些子集的全集叫I的一个-划分。
定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理6 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。
例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。
【解】 记，，由容斥原理，，所以不能被2，3，5整除的数有个。
例7 S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中最多含有多少个元素？
【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当时，恰有，且S满足题目条件，所以最少含有912个元素。
例8 求所有自然数，使得存在实数满足：
【解】 当时，；当时，；当时， 。下证当时，不存在满足条件。
令，则
所以必存在某两个下标，使得，所以或，即，所以或，。
（ⅰ）若，考虑，有或，即，设，则，导致矛盾，故只有
考虑，有或，即，设，则，推出矛盾，设，则，又推出矛盾， 所以故当时，不存在满足条件的实数。
（ⅱ）若，考虑，有或，即，这时，推出矛盾，故。考虑，有或，即=3
，于是，矛盾。因此，所以，这又矛盾，所以只有，所以。故当时，不存在满足条件的实数。
例9 设A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在A中取三个数，B中取两个数组成五个元素的集合，求的最小值。
【解】
设B中每个数在所有中最多重复出现次，则必有。若不然，数出现次（），则在出现的所有中，至少有一个A中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，}，其中，为满足题意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以
20个中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以。当时，如下20个集合满足要求：
{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}，
{1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}，
{1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}，
{2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}，
{3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}。
例10 集合{1，2，…，3n}可以划分成个互不相交的三元集合，其中，求满足条件的最小正整数
【解】 设其中第个三元集为则1+2+…+
所以。当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有，所以，当时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以的最小值为5。
三、基础训练题
1．给定三元集合，则实数的取值范围是___________。
2．若集合中只有一个元素，则=___________。
3．集合的非空真子集有___________个。
4．已知集合，若，则由满足条件的实数组成的集合P=___________。
5．已知，且，则常数的取值范围是___________。
6．若非空集合S满足，且若，则，那么符合要求的集合S有___________个。
7．集合之间的关系是___________。
8．若集合，其中，且，若，则A中元素之和是___________。
9．集合，且，则满足条件的值构成的集合为___________。
10．集合，则
___________。
11．已知S是由实数构成的集合，且满足1））若，则。如果，S中至少含有多少个元素？说明理由。
12．已知，又C为单元素集合，求实数的取值范围。
四、高考水平训练题
1．已知集合，且A=B，则___________，___________。
2．
，则___________。
3．已知集合，当时，实数的取值范围是___________。
4．若实数为常数，且___________。
5．集合，若，则___________。
6．集合，则中的最小元素是___________。
7．集合，且A=B，则___________。
8．已知集合，且，则的取值范围是___________。
9．设集合，问：是否存在，使得，并证明你的结论。
10．集合A和B各含有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C的个数：1）且C中含有3个元素；2）。
11．判断以下命题是否正确：设A，B是平面上两个点集，，若对任何，都有，则必有，证明你的结论。
五、联赛一试水平训练题
1．已知集合，则实数的取值范围是___________。
2．集合的子集B满足：对任意的，则集合B中元素个数的最大值是___________。
3．已知集合，其中，且，若P=Q，则实数___________。
4．已知集合，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则___________。
5．集合，集合，则集合M与N的关系是___________。
6．设集合，集合A满足：，且当时，，则A中元素最多有___________个。
7．非空集合，≤则使成立的所有的集合是___________。
8．已知集合A，B，aC（不必相异）的并集, 则满足条件的有序三元组（A，B，C）个数是___________。
9．已知集合，问：当取何值时，为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？
10．求集合B和C，使得，并且C的元素乘积等于B的元素和。
11．S是Q的子集且满足：若，则恰有一个成立，并且若，则，试确定集合S。
12．集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干个五元子集满足：S中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？
六、联赛二试水平训练题
1．是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列，如果，，则。求证：中必有两个相等。
2．求证：集合{1，2，…，1989}可以划分为117个互不相交的子集，使得（1）每个恰有17个元素；（2）每个中各元素之和相同。
3．某人写了封信，同时写了个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？
4．设是20个两两不同的整数，且整合中有201个不同的元素，求集合中不同元素个数的最小可能值。
5．设S是由个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数。
6．对于整数，求出最小的整数，使得对于任何正整数，集合的任一个元子集中，均有至少3个两两互质的元素。
7．设集合S={1，2，…，50}，求最小自然数，使S的任意一个元子集中都存在两个不同的数a和b，满足。
8．集合，试作出X的三元子集族&，满足：
（1）X的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；
（2）。
9．设集合，求最小的正整数，使得对A的任意一个14-分划，一定存在某个集合，在中有两个元素a和b满足。
高中数学精神讲义（二）
──二次函数与命题
一、基础知识
1．二次函数：当0时，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。
2．二次函数的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a<0时，情况相反。
3．当a>0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③与函数f(x)的关系如下（记△=b2-4ac）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1x2}和{x|x10，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=,若a<0，则当x=x0=时，f(x)取最大值f(x0)=.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，当x0∈[m, n]时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(x0); 当x0n时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。
定义1 能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。
注1 “p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。
定义2 原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。
注2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。
注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。
定义3 如果命题“若p则q”为真，则记为pq否则记作pq.在命题“若p则q”中，如果已知pq,则p是q的充分条件；如果qp，则称p是q的必要条件；如果pq但q不p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不q但pq，则p称为q的必要非充分条件；若pq且qp，则p是q的充要条件。
二、方法与例题
1．待定系数法。
例1 设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).
【解】 设f(x)=ax2+bx+c(a0),
则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0，
因为方程x2-x+1=0中△0，
所以αβ，所以(α+β)a+b+1=0.
又α+β=1,所以a+b+1=0.
又因为f(1)=a+b+c=1，
所以c-1=1，所以c=2.
又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.
再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β,
所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0.
即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0，
所以a=1,
所以f(x)=x2-2x+2.
2．方程的思想。
例2 已知f(x)=ax2-c满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。
【解】 因为-4≤f(1)=a-c≤-1,
所以1≤-f(1)=c-a≤4.
又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)=f(2)-f(1),
所以×(-1)+≤f(3)≤×5+×4,
所以-1≤f(3)≤20.
3．利用二次函数的性质。
例3 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x))=x也无实根。
【证明】若a>0，因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的x∈R,f(x)-x>0即f(x)>x，从而f(f(x))>f(x)。
所以f(f(x))>x，所以方程f(f(x))=x无实根。
注：请读者思考例3的逆命题是否正确。
4．利用二次函数表达式解题。
例4 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x的两根x1, x2满足00，所以f(x)>x.
其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+]<0，所以f(x)1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。
【证明】 方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0.
构造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,
f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0，
所以f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。
即方程的正根比1小，负根比-1大。
6．定义在区间上的二次函数的最值。
例6 当x取何值时，函数y=取最小值？求出这个最小值。
【解】 y=1-,令u,则0-(b+1)，即b>-2时，x2+bx在[0，-(b+1)]上是减函数，
所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-,b=-.
综上，b=-.
7.一元二次不等式问题的解法。
例8 已知不等式组 ①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。
【解】 因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a,
若a≤0，则x11-2a.
因为1-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式组无解。
若a>0，ⅰ）当0时，a>1-a，由②得x>1-2a，
所以不等式组的解集为1-a1且a-(1-a)≤3，
所以10，△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0恒成立，所以(B-A-C)2-4AC≤0，即A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)
同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。
再证充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)，
1）若A=0，则由B2+C2≤2BC得(B-C)2≤0，所以B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。
2）若A>0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。
综上，充分性得证。
9．常用结论。
定理1 若a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
【证明】 因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,
所以|a+b|≤|a|+|b|（注：若m>0，则-m≤x≤m等价于|x|≤m）.
又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|,
即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理1得证。
定理2 若a,b∈R, 则a2+b2≥2ab；若x,y∈R+,则x+y≥
(证略)
注 定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。
三、基础训练题
1．下列四个命题中属于真命题的是________，①“若x+y=0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“两个全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。
2．由上列各组命题构成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题中，p或q为真，p且q为假，非p为真的是_________.①p；3是偶数，q：4是奇数；②p:3+2=6,q:③p:a∈(a,b),q:{a}{a,b}; ④ p: QR, q: N=Z.
3. 当|x-2|0的解是10}，则集合{x|x∈A且xA∩B}=_________.
11. 求使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。
12．对任意x∈[0,1],有 ①②成立，求k的取值范围。
四、高考水平训练题
1．若不等式|x-a|0当|a|≤1时恒成立的x的取值范围是_________.
3．若不等式-x2+kx-4<0的解集为R，则实数k的取值范围是_________.
4．若集合A={x||x+7|>10}, B={x||x-5|0和a2x2+b2x+c2>0解集分别为M和N，那么“”是“M=N”的_________条件。
6．若下列三个方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_________.
7．已知p, q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则r是q的_________条件。
8．已知p: |1-|≤2, q: x2-2x+1-m2≤0(m>0)，若非p是非q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_________.
9．已知a>0，f(x)=ax2+bx+c，对任意x∈R有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2)0且|x|≤1时，g(x)最大值为2，求f(x).
11.设实数a,b,c,m满足条件：=0，且a≥0,m>0，求证：方程ax2+bx+c=0有一根x0满足00，当函数的最小值取最大值时，a+b2+c3=_________.
4. 已知f(x)=|1-2x|, x∈[0,1]，方程f(f(f)(x)))=x有_________个实根。
5．若关于x的方程4x2-4x+m=0在[-1，1]上至少有一个实根，则m取值范围是_________.
6．若f(x)=x4+px3+qx2+x对一切x∈R都有f(x)≥x且f(1)=1，则p+q2=_________.
7. 对一切x∈R，f(x)=ax2+bx+c(a、=、<）
9．若a100，试问满足|f(x)|≤50的整数x最多有几个？
2．设函数f(x)=ax2+8x+3(a<0)，对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得在整个区间[0，l(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立。求l(a)的最大值及相应a的值。
3．设x1,x2,…,xn∈[a, a+1]，且设x=, y=, 求f=y-x2的最大值。
4．F(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R, 且|F(0)|≤1,|F(1)|≤1,|F(-1)|≤1,则对于|x|≤1，求|F(x)|的最大值。
5．已知f(x)=x2+ax+b，若存在实数m，使得|f(m)|≤,|f(m+1)|≤,求△=a2-4b的最大值和最小值。
6．设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R, a0)满足下列条件：
1）当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；
2）当x∈(0, 2)时，f(x)≤;
3）f(x)在R上最小值为0。
求最大的m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1, m]就有f(x+t)≤x.
7.求证：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0,1)内至少有一个实根。
8．设a,b,A,B∈R+, af(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。
（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。
定义8 如果实数aa}记作开区间（a, +∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞,a].
定义9 函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y
轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。
定理3 复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y=, u=2-x在（-∞,2）上是减函数，y=在（0，+∞）上是减函数，所以y=在（-∞,2）上是增函数。
注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。
二、方法与例题
1．数形结合法。
例1 求方程|x-1|=的正根的个数.
【解】 分别画出y=|x-1|和y=的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。
例2 求函数f(x)=的最大值。
【解】 f(x)=，记点P(x, x?2)，A（3，2），B（0，1），则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。
因为|PA|-|PA|≤|AB|=,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立。
所以f(x)max=
2.函数性质的应用。
例3 设x, y∈R，且满足，求x+y.
【解】 设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若a0，所以f(t)递增。
由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.
例4 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范围。
【解】 因为f(x) 是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a)0，则由①得n<0，设f(t)=t(+1),则f(t)在（0，+∞）上是增函数。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=
ⅱ)若m<0，且n>0。同理有m+n=0,x=,但与m<0矛盾。
综上，方程有唯一实数解x=
3.配方法。
例7 求函数y=x+的值域。
【解】 y=x+=[2x+1+2+1]-1
=(+1)-1≥-1=-.
当x=-时，y取最小值-，所以函数值域是[-，+∞）。
4．换元法。
例8 求函数y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。
【解】令+=u，因为x∈[0,1]，所以2≤u2=2+2≤4,所以≤u≤2,所以≤≤2，1≤≤2，所以y=,u2∈[+2，8]。
所以该函数值域为[2+，8]。
5．判别式法。
例9 求函数y=的值域。
【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ①
当y1时，①式是关于x的方程有实根。
所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得≤y≤1.
又当y=1时，存在x=0使解析式成立，
所以函数值域为[，7]。
6．关于反函数。
例10 若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，求证：y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。
【证明】设x10,
所以f(x)在（-∞，-）上递增，同理f(x)在[-，+∞）上递增。
在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y，则y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-，+∞）.
若xy，设xy也可得出矛盾。所以x=y.
即f(x)=x，化简得3x5+2x4-4x-1=0,
即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,
因为x≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+1>0，所以x=1.
三、基础训练题
1．已知X={-1, 0, 1}, Y={-2, -1, 0, 1, 2}，映射f：X→Y满足：对任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)为偶数，这样的映射有_______个。
2．给定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：X→Y，若f为单射，则f有_______个；若f为满射，则f有_______个；满足f[f(x)] =f(x)的映射有_______个。
3．若直线y=k(x-2)与函数y=x2+2x图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有_______个交点。
4．函数y=f(x)的值域为[]，则函数g(x)=f(x)+的值域为_______。
5．已知f(x)=，则函数g(x)=f[f(x)]的值域为_______。
6．已知f(x)=|x+a|，当x≥3时f(x)为增函数，则a的取值范围是_______。
7．设y=f(x)在定义域（，2）内是增函数，则y=f(x2-1)的单调递减区间为_______。
8．若函数y=(x)存在反函数y=-1(x)，则y=-1(x)的图象与y=-(-x)的图象关于直线_______对称。
9．函数f(x)满足=1-，则f()=_______。
10. 函数y=, x∈(1, +∞)的反函数是_______。
11．求下列函数的值域：（1）y=; (2)y=; (3)y=x+2; (4) y=
12. 已知定义在R上，对任意x∈R, f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函数，又当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[-2,0]时，求f(x)的解析式。
四、高考水平训练题
1．已知a∈, f(x)定义域是（0,1]，则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______。
2．设0≤a<1时，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒为正值。则f(x)定义域为_______。
3．映射f: {a, b, c, d}→{1，2，3}满足100，函数f(x)定义域为R，且f(x+a)=，求证：f(x)为周期函数。
11．设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α，β（α<β），已知函数f(x)=,（1）求f(α)、f(β)；（2）求证：f(x)在[α，β]上是增函数；（3）对任意正数x1, x2，求证：<2|α-β|.
五、联赛一试水平训练题
1．奇函数f(x)存在函数f-1(x)，若把y=f(x)的图象向上平移3个单位，然后向右平移2个单位后，再关于直线y=-x对称，得到的曲线所对应的函数是________.
2．若a>0，a1,F(x)是奇函数，则G(x)=F(x)是________（奇偶性）.
3．若=x，则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)= ；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x.
4.设函数f：R→R满足f(0)=1，且对任意x,y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)=________.
5．已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)= ________.
6. 函数f(x)=的单调递增区间是________.
7. 函数f(x)=的奇偶性是：________奇函数，________偶函数（填是，非）。
8. 函数y=x+的值域为________.
9．设f(x)=,
对任意的a∈R，记V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-min{f(x)-ax|x∈[1, 3]}，试求V(a)的最小值。
10．解方程组： （在实数范围内）
11．设k∈N+, f: N+→N+满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意n∈N+, 有f[f(n)]=kn，求证：对任意n∈N+, 都有n≤f(n)≤
六、联赛二试水平训练题
1．求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足：（1）对任意x≠0, f(x)=x·f；（2）对所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).
2.设f(x)对一切x>0有定义，且满足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函数；(ⅱ)任意x>0, f(x)f=1，试求f(1).
3. f:[0,1]→R满足：（1）任意x∈[0, 1], f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）当x, y, x+y∈[0, 1]时，f(x)+f(y)≤f(x+y)，试求最小常数c，对满足（1），（2），（3）的函数f(x)都有f(x)≤cx.
4. 试求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0, y>0)的最小值。
5．对给定的正数p,q∈(0, 1)，有p+q>1≥p2+q2，试求f(x)=(1-x)+在[1-q,p]上的最大值。
6．已知f: (0,1)→R且f(x)=.
当x∈时，试求f(x)的最大值。
7．函数f(x)定义在整数集上，且满足f(n)=，求f(100)的值。
8．函数y=f(x)定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。（1）求证：方程f(x)=x恰有一个解；（2）试给出一个具有上述性质的函数。
9．设Q+是正有理数的集合，试构造一个函数f: Q+→Q+，满足这样的条件：f(xf(y))=x, y∈Q+.
高中数学竞赛讲义（四）
──几个初等函数的性质
一、基础知识
1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当01时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。
2．分数指数幂：。
3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当01时，y=logax为增函数。
4．对数的性质（M>0, N>0）；
1）ax=Mx=log aM(a>0, a1)；
2）log a (MN)= log a M+ log a N；
3）log a（）= log a M- log a N；4）log a Mn=n log a M；，
5）log a =log a M；6）alog a M=M; 7) log a b=(a,b,c>0, a, c1).
5. 函数y=x+（a>0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和。（请读者自己用定义证明）
6．连续函数的性质：若a0.
【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，则f(x)是关于x的一次函数。
所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-10，
f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0，
所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.
例2 （柯西不等式）若a1, a2,…,an是不全为0的实数，b1, b2,…,bn∈R，则（）·（）≥()2，等号当且仅当存在R，使a i=, i=1, 2, …, n时成立。
【证明】 令f(x)= （）x2-2()x+=,
因为>0，且对任意x∈R, f(x)≥0，
所以△=4()-4（）()≤0.
展开得（）()≥()2。
等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使a i=, i=1, 2, …, n。
例3 设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2]，求u=的最小值。
【解】u==xy+≥xy++2·
=xy++2.
令xy=t，则00，所以=
例5 对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且，求证：a+b=c.
【证明】 由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.
所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，
相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设，
所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.
所以abc=70=2×5×7.
若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a>1.
又a≤b≤c，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7.
所以a+b=c.
例6 已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab.
【证明】 由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得
，
因为ac>0, ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.
注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。
3．指数与对数方程的解法。
解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。
例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.
【解】 方程可化为=1。设f(x)= , 则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3.
例8 解方程组：（其中x, y∈R+）.
【解】 两边取对数，则原方程组可化为 ①②
把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0.
由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得x+y=6，
代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.
又y>0，所以y=2, x=4.
所以方程组的解为 .
例9 已知a>0, a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。
【解】由对数性质知，原方程的解x应满足.①②③
若①、②同时成立，则③必成立，
故只需解.
由①可得2kx=a(1+k2)， ④
当k=0时，④无解；当k0时，④的解是x=，代入②得>k.
若k<0，则k2>1，所以k<-1；若k>0，则k2<1，所以00且a1，比较大小：|loga(1-b)|_________|loga(1+b).
7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。
8．若x=，则与x最接近的整数是_________。
9．函数的单调递增区间是_________。
10．函数f(x)=的值域为_________。
11．设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a]，其中n为给定正整数, n≥2, a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。
12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？
四、高考水平训练题
1．函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_________.
2．已知不等式x2-logmx<0在x∈时恒成立，则m的取值范围是_________.
3．若x∈{x|log2x=2-x}，则x2, x, 1从大到小排列是_________.
4. 若f(x)=ln，则使f(a)+f(b)=_________.
5. 命题p: 函数y=log 2在[2，+∞）上是增函数；命题q：函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_________条件.
6．若00且a1，比较大小：|log a(1-b)| _________|log a(1+b)|.
7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________.
8．若x=，则与x最接近的整数是_________.
9．函数y=的单调递增区间是_________.
10．函数f(x)=的值域为_________.
11．设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a]，其中n为给定正整数，n≥2,a∈R。若f(x) 在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。
12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？
四、高考水平训练题
1．函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是__________.
2．已知不等式x2-logmx<0在x∈时恒成立，则m的取值范围是 ________.
3．若x∈{x|log2x=2-x}，则x2, x, 1从大到小排列是________.
4．若f(x)=ln，则使f(a)+f(b)=成立的a, b的取值范围是________.
5．已知an=logn(n+1)，设，其中p, q为整数，且(p ,q)=1，则p·q的值为_________.
6．已知x>10, y>10, xy=1000，则(lgx)·(lgy)的取值范围是________.
7．若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数k的取值范围是________.
8．函数f(x)=的定义域为R，若关于x的方程f?2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，则b, c应满足的充要条件是________.
（1）b<0且c>0；（2）b>0且c<0；（3）b<0且c=0；（4）b≥0且c=0。
9．已知f(x)=x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，则F(x)是________函数（填奇偶性）.
10．已知f(x)=lg，若=1，=2，其中|a|<1, |b|<1，则f(a)+f(b)=________.
11．设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。
12．设f(x)=|lgx|，实数a, b满足00且a1, f(x)=loga(x+)(x≥1)，（1）求f(x)的反函数f-1(x)；（2）若f-1(n)<(n∈N+)，求a的取值范围。
五、联赛一试水平训练题
1．如果log2[log(log2x)]= log3[log(log3x)]= log5[log(log5z)]=0，那么将x, y, z从小到大排列为___________.
2．设对任意实数x0> x1> x2> x3>0，都有log1993+ log1993+ log1993> klog1993恒成立，则k的最大值为___________.
3．实数x, y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则的值为___________.
4．已知00的解集为___________.
9．已知a>1, b>1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1).
10．（1）试画出由方程所确定的函数y=f(x)图象。
（2）若函数y=ax+与y=f(x)的图象恰有一个公共点，求a的取值范围。
11．对于任意n∈N+(n>1)，试证明：[]+[]+…+[]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn]。
六、联赛二试水平训练题
1．设x, y, z∈R+且x+y+z=1，求u=的最小值。
2．当a为何值时，不等式log·log5(x2+ax+6)+loga3≥0有且只有一个解（a>1且a1）。
3．f(x)是定义在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函数，满足条件；对于任何x, y>1及u, v>0, f(xuyv)≤[f(x)][f(y)]①都成立，试确定所有这样的函数f(x).
4. 求所有函数f：R→R，使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。
5．设m≥14是一个整数，函数f：N→N定义如下：
f(n)=,
求出所有的m,使得f(1995)=1995.
6．求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数f:
f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)·f(y), x, y∈Q.
7．是否存在函数f(n)，将自然数集N映为自身，且对每个n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。
8．设p, q是任意自然数，求证：存在这样的f(x) ∈Z(x)（表示整系数多项式集合），使对x轴上的某个长为的开区间中的每一个数x, 有
9．设α，β为实数，求所有f: R+→R，使得对任意的x,y∈R+, f(x)f(y)=y2·f成立。
高中数学竞赛讲义（五）
──数列
一、基础知识
定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1.
定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.
定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+a q；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.
定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{an}称为等比数列，q叫做公比。
定理3 等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。
定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|<，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作
定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。
定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。
竞赛常用定理
定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。
定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则xn=(c1n+c2) αn-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。
二、方法与例题
1．不完全归纳法。
这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。
例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。
【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.
例2 已知数列{an}满足a1=,a1+a 2+…+an=n2an, n≥1，求通项an.
【解】 因为a1=,又a1+a 2=22·a2,
所以a2=，a3=,猜想(n≥1).
证明；1）当n=1时，a1=，猜想正确。2）假设当n≤k时猜想成立。
当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+ a1+…+a1=[(k+1)2-1] ak+1,，
所以=k(k+2)ak+1,
即=k(k+2)ak+1,
所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=
由数学归纳法可得猜想成立，所以
例3 设01.
【证明】 证明更强的结论：1an.
又由an+1=5an+移项、平方得
①
当n≥2时，把①式中的n换成n-1得，即
②
因为an-10,
所以Sn, 所以，
所以Sn<2，得证。
4．特征方程法。
例9 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.
【解】 由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2.
故设an=(α+βn)·2n-1，其中，
所以α=3，β=0，
所以an=3·2n-1.
例10 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通项an.
【解】 由特征方程x2=2x+3得x1=3, x2=-1,
所以an=α·3n+β·(-1)n，其中，
解得α=，β，
所以·3]。
5．构造等差或等比数列。
例11 正数列a0,a1,…,an,…满足=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通项。
【解】 由得=1，
即
令bn=+1，则{bn}是首项为+1=2，公比为2的等比数列，
所以bn=+1=2n，所以=（2n-1）2，
所以an=·…··a0=
注：C1·C2·…·Cn.
例12 已知数列{xn}满足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通项。
【解】 考虑函数f(x)=的不动点，由=x得x=
因为x1=2, xn+1=,可知{xn}的每项均为正数。
又+2≥，所以xn+1≥(n≥1)。又
Xn+1-==, ①
Xn+1+==, ②
由①÷②得。 ③
又>0，
由③可知对任意n∈N+，>0且,
所以是首项为，公比为2的等比数列。
所以·，所以，
解得·。
注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。
三、基础训练题
1． 数列{xn}满足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为{xn}前n项和，当n≥2时，xn=_________.
2. 数列{xn}满足x1=，xn+1=,则{xn}的通项xn=_________.
3. 数列{xn}满足x1=1，xn=+2n-1(n≥2)，则{xn}的通项xn=_________.
4. 等差数列{an}满足3a8=5a13，且a1>0, Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_________.
5. 等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70，则S40=_________.
6. 数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，则S100=_________.
7. 数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.
8. 若，并且x1+x2+…+ xn=8，则x1=_________.
9. 等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则=_________.
10. 若n!=n(n-1)…2·1, 则=_________.
11．若{an}是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36，求的通项。
12．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）数列{bn}的前n项和Sn。
四、高考水平训练题
1．已知函数f(x)=，若数列{an}满足a1=，an+1=f(an)(n∈N+)，则a2006=_____________.
2．已知数列{an}满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，则{an}的通项an=.
3. 若an=n2+, 且{an}是递增数列，则实数的取值范围是__________.
4. 设正项等比数列{an}的首项a1=, 前n项和为Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，则an=_____________.
5. 已知，则a的取值范围是______________.
6．数列{an}满足an+1=3an+n(n ∈N+) ，存在_________个a1值，使{an}成等差数列；存在________个a1值，使{an}成等比数列。
7．已知(n ∈N+)，则在数列{an}的前50项中，最大项与最小项分别是____________.
8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________.
9. 设{an}是由正数组成的数列，对于所有自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=____________.
10. 在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数.
11．已知数列{an}中，an0，求证：数列{an}成等差数列的充要条件是
（n≥2）①恒成立。
12．已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn=(n≥2), 当a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1时，（1）求证：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求证：an+1=；（3）求数列
13．是否存在常数a, b, c，使题设等式
1·22+2·32+…+n·(n+1)2=(an2+bn+c)
对于一切自然数n都成立？证明你的结论。
五、联赛一试水平训练题
1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_________个。
2．设数列{xn}满足x1=1, xn=，则通项xn=__________.
3. 设数列{an}满足a1=3, an>0，且，则通项an=__________.
4. 已知数列a0, a1, a2, …, an, …满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，则=__________.
5. 等比数列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=__________.
6. 各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有__________项.
7. 数列{an}满足a1=2, a2=6, 且=2，则
________.
8. 数列{an} 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0, {an+1-qan}构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有__________项.
9．设h∈N+，数列{an}定义为：a0=1, an+1=。问：对于怎样的h，存在大于0的整数n，使得an=1？
10．设{ak}k≥1为一非负整数列，且对任意k≥1，满足ak≥a2k+a2k+1，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。
11．求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,…,使得
a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=
六、联赛二试水平训练题
1．设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1, 2,….
2．设a1, a2,…, an表示整数1，2，…，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：①a1=1; ②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。
试问f(2007)能否被3整除？
3．设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0，且
求证：an (n=0,1,2,…)是完全平方数。
4．无穷正实数数列{xn}具有以下性质：x0=1，xi+10)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。
定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).
定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.
定理16 若，则sinx-1，所以cos，
所以sin(cosx) ≤0,又00，
所以cos(sinx)>sin(cosx).
若，则因为sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)≤<，
所以0cos(-cosx)=sin(cosx).
综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)0，求证：
【证明】 若α+β>，则x>0，由α>-β>0得cosαsin(-β)=cosβ, 所以0<<1，
所以
若α+β<，则x<0，由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0,
所以>1。又01，
所以，得证。
注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。
3．最小正周期的确定。
例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。
【解】 首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=kπ+时，y=0（因为|2cosx|≤2<π）,
所以若最小正周期为T0，则T0=mπ, m∈N+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T0=2π。
4．三角最值问题。
例5 已知函数y=sinx+，求函数的最大值与最小值。
【解法一】 令sinx=,
则有y=
因为，所以，
所以≤1，
所以当，即x=2kπ-(k∈Z)时，ymin=0，
当，即x=2kπ+(k∈Z)时，ymax=2.
【解法二】 因为y=sinx+,
=2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)），
且|sinx|≤1≤，所以0≤sinx+≤2，
所以当=sinx，即x=2kπ+(k∈Z)时, ymax=2，
当=-sinx，即x=2kπ-(k∈Z)时, ymin=0。
例6 设0<<π，求sin的最大值。
【解】因为0<<π，所以，所以sin>0, cos>0.
所以sin（1+cos）=2sin·cos2= ≤=
当且仅当2sin2=cos2, 即tan=, =2arctan时，sin(1+cos)取得最大值。
例7 若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。
【解】 因为sinA+sinB=2sincos, ①
sinC+sin, ②
又因为，③
由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin,
所以sinA+sinB+sinC≤3sin=,
当A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）max=.
注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。
5．换元法的使用。
例8 求的值域。
【解】 设t=sinx+cosx=
因为
所以
又因为t2=1+2sinxcosx,
所以sinxcosx=，所以，
所以
因为t-1，所以，所以y-1.
所以函数值域为
例9 已知a0=1, an=(n∈N+)，求证：an>.
【证明】 由题设an>0，令an=tanan, an∈，则
an=
因为，an∈，所以an=，所以an=
又因为a0=tana1=1，所以a0=，所以·。
又因为当0x，所以
注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。
另外当x∈时，有tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。
6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A, , >0).
由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。
例10 例10 已知f(x)=sin(x+)(>0, 0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。
【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意x∈R成立。
又0≤≤π，解得=，
因为f(x)图象关于对称，所以=0。
取x=0，得=0，所以sin
所以(k∈Z)，即=(2k+1) (k∈Z).
又>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；
取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；
取k=2时，≥，此时f(x)=sin(x+)在[0，]上不是单调函数，
综上，=或2。
7．三角公式的应用。
例11 已知sin(α-β)=，sin(α+β)=- ，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值。
【解】 因为α-β∈，所以cos(α-β)=-
又因为α+β∈，所以cos(α+β)=
所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.
例12 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且，试求的值。
【解】 因为A=1200-C，所以cos=cos(600-C)，
又由于
=，
所以=0。
解得或。
又>0，所以。
例13 求证：tan20+4cos70.
【解】 tan20+4cos70=+4sin20
三、基础训练题
1．已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3, -2cos3)，则x的弧度数为___________。
2．适合-2cscx的角的集合为___________。
3．给出下列命题：（1）若αβ，则sinαsinβ；（2）若sinαsinβ,则αβ；（3）若sinα>0，则α为第一或第二象限角；（4）若α为第一或第二象限角，则sinα>0. 上述四个命题中，正确的命题有__________个。
4．已知sinx+cosx=(x∈(0, π))，则cotx=___________。
5．简谐振动x1=Asin和x2=Bsin叠加后得到的合振动是x=___________。
6．已知3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，则1，2，3，4分别是第________象限角。
7．满足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角x共有________个。
8．已知，则=___________。
9．=___________。
10．cot15cos25cot35cot85=___________。
11．已知α,β∈(0, π), tan, sin(α+β)=，求cosβ的值。
12．已知函数f(x)=在区间上单调递减，试求实数m的取值范围。
四、高考水平训练题
1．已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R，若其周长为定值c(c>0)，当扇形面积最大时，a=__________.
2. 函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________.
3. 函数的值域为__________.
4. 方程=0的实根个数为__________.
5. 若sina+cosa=tana, a，则__________a（填大小关系）.
6. (1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________.
7. 若00, k=-1，求f(x)的单调区间；（3）试求最小正整数k，使得当x在任意两个整数（包括整数本身）间变化时，函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。
五、联赛一试水平训练题（一）
1．若x, y∈R，则z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范围是____________.
2．已知圆x2+y2=k2至少盖住函数f(x)=的一个最大值点与一个最小值点，则实数k的取值范围是____________.
3．f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值为____________.
4．方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有相异两实根α，β，则α+β=____________.
5．函数f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________.
6．设sina>0>cosa, 且sin>cos，则的取值范围是____________.
7．方程tan5x+tan3x=0在[0，π]中有__________个解.
8．若x, y∈R, 则M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________.
9．若0<<, m∈N+, 比较大小：(2m+1)sinm(1-sin)__________1-sin2m+1.
10．cot70+4cos70=____________.
11. 在方程组中消去x, y，求出关于a, b, c的关系式。
12．已知α，β，γ，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求tanαtanβtanγ的最小值。
13．关于x, y的方程组有唯一一组解，且sinα, sinβ, sinγ互不相等，求sinα+sinβ+sinγ的值。
14．求满足等式sinxy=sinx+siny的所有实数对（x, y）, x, y.
联赛一试水平训练题（二）
1．在平面直角坐标系中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图象与函数g(x)=的图象所围成的封闭图形的面积是__________.
2．若，则y=tan-tan+cos的最大值是__________.
3．在△ABC中，记BC=a, CA=b, AB=c, 若9a2+9b2-19c2=0，则=__________.
4．设f(x)=x2-πx, α=arcsin, β=arctan, γ=arccos, δ=arccot, 将f(α), f(β), f(γ), f(δ)从小到大排列为__________.
5．logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将a, b, c, d从小到大排列为__________.
6．在锐角△ABC中，cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα，则tanα·tanβ·tanγ=__________.
7．已知矩形的两边长分别为tan和1+cos(0<<π)，且对任何x∈R, f(x)=sin·x2+·x+cos≥0，则此矩形面积的取值范围是__________.
8．在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的取值范围是__________.
9．已知当x∈[0, 1]，不等式x2cos-x(1-x)+(1-x)2sin>0恒成立，则的取值范围是__________.
10．已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，则cos2x+ cos2y+ cos2z=__________.
11．已知a1, a2, …,an是n个实常数，考虑关于x的函数：f(x)=cos(a1+x)+cos(a2+x) +…+cos(an+x)。求证：若实数x1, x2满足f(x1)=f(x2)=0，则存在整数m，使得x2-x1=mπ.
12．在△ABC中，已知，求证：此三角形中有一个内角为。
13．求证：对任意自然数n, 均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|>.
六、联赛二试水平训练题
1．已知x>0, y>0, 且x+y<π，求证：w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0①（w∈R）.
2. 已知a为锐角，n≥2, n∈N+，求证：≥2n-2+1.
3. 设x1, x2,…, xn,…, y1, y2,…, yn,…满足x1=y1=, xn+1=xn+, yn+1=，求证：2m，求证：对一切x都有2|sinnx-cosnx|≤3|sinnx-cosnx|.
7．在△ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。
8．求的有的实数a, 使cosa, cos2a, cos4a, …, cos2na, …中的每一项均为负数。
9．已知i，tan1tan2…tann=2, n∈N+, 若对任意一组满足上述条件的
1，2，…，n都有cos1+cos2+…+cosn≤λ，求λ的最小值。
高中数学竞赛讲义（七）
──解三角形
一、基础知识
在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，为半周长。
1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。
推论1：△ABC的面积为S△ABC=
推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.
推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足，则a=A.
正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=；再证推论2，因为B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论3，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0<-A+a，-a+A<. 所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。
2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理证明几个常用的结论。
（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2= （1）
【证明】 因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos，
所以c2=AD2+p2-2AD·pcos ①
同理b2=AD2+q2-2AD·qcos， ②
因为ADB+ADC=，
所以cosADB+cosADC=0，
所以q×①+p×②得
qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=
注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式
（2）海伦公式：因为b2c2sin2A=b2c2 (1-cos2A)= b2c2 [(b+c)-a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).
这里
所以S△ABC=
二、方法与例题
1．面积法。
例1 （共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足，另外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里α，β，α+β∈(0, )，则P，Q，R的共线的充要条件是
【证明】P，Q，R共线
(α+β)=uwsinα+vwsinβ
，得证。
2．正弦定理的应用。
例2 如图所示，△ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。
求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。
【证明】 过点P作PDBC，PEAC，PFAB，垂足分别为D，E，F，则P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三组四点共圆，所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由题设及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。
所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。
所以EDF=600，同理DEF=600，所以△DEF是正三角形。
所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC，两边同时乘以△ABC的外接圆直径2R，得CP·BA=AP·BC=BP·AC，得证：
例3 如图所示，△ABC的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。
【证明】 延长PA交GD于M，
因为O1GBC，O2DBC，所以只需证
由正弦定理，
所以
另一方面，，
所以，
所以，所以PA//O1G，
即PABC，得证。
3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.
例4 在△ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.
【证明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y，则
abc=(x+y)(y+z)(z+x)
=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.
所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.
4．三角换元。
例5 设a, b, c∈R+，且abc+a+c=b，试求的最大值。
【解】 由题设，令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ,
则tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤，
当且仅当α+β=，sinγ=，即a=时，Pmax=
例6 在△ABC中，若a+b+c=1，求证: a2+b2+c2+4abc<
【证明】 设a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β.
因为a, b, c为三边长，所以c<, c>|a-b|，
从而，所以sin2β>|cos2α·cos2β|.
因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),
所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).
又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)
=sin2βcos2β+sin2αcos2α·cos4β·cos2β
=[1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β]
=+cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β)
>+cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)=.
所以a2+b2+c2+4abc<
三、基础训练题
1．在△ABC中，边AB为最长边，且sinAsinB=，则cosAcosB的最大值为__________.
2．在△ABC中，若AB=1，BC=2，则的取值范围是__________.
3．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+tanCtanB，则△ABC的面积为__________.
4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，则=__________.
5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________条件.
6．在△ABC中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，则角A的取值范围是__________.
7．在△ABC中，sinA=，cosB=，则cosC=__________.
8．在△ABC中，“三边a, b, c成等差数列”是“tan”的__________条件.
9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则三角形形状是__________.
10．在△ABC中，tanA·tanB>1，则△ABC为__________角三角形.
11．三角形有一个角是600，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12，求这个三角形的面积。
12．已知锐角△ABC的外心为D，过A，B，D三点作圆，分别与AC，BC相交于M，N两点。求证：△MNC的外接圆半径等于△ABD的外接圆半径。
13．已知△ABC中，sinC=，试判断其形状。
四、高考水平训练题
1．在△ABC中，若tanA=, tanB=，且最长边长为1，则最短边长为__________.
2．已知n∈N+，则以3，5，n为三边长的钝角三角形有________个.
3．已知p, q∈R+, p+q=1，比较大小：psin2A+qsin2B__________pqsin2C.
4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，则△ABC 为__________角三角形.
5．若A为△ABC 的内角，比较大小：__________3.
6．若△ABC满足acosA=bcosB，则△ABC的形状为__________.
7．满足A=600，a=, b=4的三角形有__________个.
8．设为三角形最小内角，且acos2+sin2-cos2-asin2=a+1，则a的取值范围是__________.
9．A，B，C是一段笔直公路上的三点，分别在塔D的西南方向，正西方向，西偏北300方向，且AB=BC=1km，求塔与公路AC段的最近距离。
10．求方程的实数解。
11．求证：
五、联赛一试水平训练题
1．在△ABC中，b2=ac，则sinB+cosB的取值范围是____________.
2．在△ABC中，若，则△ABC 的形状为____________.
3．对任意的△ABC，-(cotA+cotB+cotC)，则T的最大值为____________.
4．在△ABC中，的最大值为____________.
5．平面上有四个点A，B，C，D，其中A，B为定点，|AB|=，C，D为动点，且|AD|=|DC|=|BC|=1。记S△ABD=S，S△BCD=T，则S2+T2的取值范围是____________.
6．在△ABC中，AC=BC，，O为△ABC的一点，，ABO=300，则ACO=____________.
7．在△ABC中，A≥B≥C≥，则乘积的最大值为____________，最小值为__________.
8．在△ABC中，若c-a等于AC边上的高h，则=____________.
9．如图所示，M，N分别是△ABC外接圆的弧，AC中点，P为BC上的动点，PM交AB于Q，PN交AC于R，△ABC的内心为I，求证：Q，I，R三点共线。
10．如图所示，P，Q，R分别是△ABC的边BC，CA，AB上一点，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求证：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。
11．在△ABC外作三个等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，ADC=2BAC，AEB=2ABC，BFC=2ACB，并且AF，BD，CE交于一点，试判断△ABC的形状。
六、联赛二试水平训练题
1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圆以BC的中点为圆心，且与两腰AB和AC分别相切于点D和G，EF与半圆相切，交AB于点E，交AC于点F，过E作AB的垂线，过F作AC的垂线，两垂线相交于P，作PQBC，Q为垂足。求证：，此处=B。
2．设四边形ABCD的对角线交于点O，点M和N分别是AD和BC的中点，点H1，H2（不重合）分别是△AOB与△COD的垂心，求证：H1H2MN。
3．已知△ABC，其中BC上有一点M，且△ABM与△ACM的内切圆大小相等，求证：，此处(a+b+c), a, b, c分别为△ABC对应三边之长。
4．已知凸五边形ABCDE，其中ABC=AED=900，BAC=EAD，BD与CE交于点O，求证：AOBE。
5．已知等腰梯形ABCD，G是对角线BD与AC的交点，过点G作EF与上、下底平行，点E和F分别在AB和CD上，求证：AFB=900的充要条件是AD+BC=CD。
6．AP，AQ，AR，AS是同一个圆中的四条弦，已知PAQ=QAR=RAS，求证：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。
7．已知一凸四边形的边长依次为a, b, c, d，外接圆半径为R，如果a2+b2+c2+d2=8R2，试问对此四边形有何要求？
8．设四边形ABCD内接于圆，BA和CD延长后交于点R，AD和BC延长后交于点P，A，B，C指的都是△ABC的内角，求证：若AC与BD交于点Q，则
9．设P是△ABC内一点，点P至BC，CA，AB的垂线分别为PD，PE，PF（D，E，F是垂足），求证：PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD)，并讨论等号成立之条件。
高中数学竞赛讲义（八）
──平面向量
一、基础知识
定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。
定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。
定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。
定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0，使得a=f
定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。
定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。
定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。
定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，
1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，
2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c，
3．a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),
4. a//bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0.
定义5 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则
定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=个单位得到图形，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。
定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.
【证明】 因为|a|2·|b|2-|a·b|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，
所以|a|·|b|≥|a·b|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式： (x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，
所以|a|·|b|≥|a·b|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。
2）对于任意n个向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。
二、方向与例题
1．向量定义和运算法则的运用。
例1 设O是正n边形A1A2…An的中心，求证：
【证明】 记，若，则将正n边形绕中心O旋转后与原正n边形重合，所以不变，这不可能，所以
例2 给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是
【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则
又因为BC与GP互相平分，
所以BPCG为平行四边形，所以BGPC，所以
所以
充分性。若，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则因为，则，所以GBCP，所以AG平分BC。
同理BG平分CA。
所以G为重心。
例3 在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。
【证明】 如图所示，结结BQ，QD。
因为，
所以
=·
= ①
又因为
同理 ， ②
， ③
由①，②，③可得
。得证。
2．证利用定理2证明共线。
例4 △ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：2。
【证明】 首先
=
其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE
又AHBC，所以AH//CE。
又EAAB，CHAB，所以AHCE为平行四边形。
所以
所以，
所以，
所以与共线，所以O，G，H共线。
所以OG：GH=1：2。
3．利用数量积证明垂直。
例5 给定非零向量a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.
【证明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2a·b=0ab.
例6 已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心。求证：OECD。
【证明】 设，
则，
又，
所以
a·(b-c). （因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）
又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。
所以a·(b-c)=0. 所以OECD。
4．向量的坐标运算。
例7 已知四边形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE。
【证明】 如图所示，以CD所在的直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A，B坐标分别为（-1，1）和（0，1），设E点的坐标为（x, y），则=(x, y-1), ，因为，所以-x-(y-1)=0.
又因为，所以x2+y2=2.
由①，②解得
所以
设，则。由和共线得
所以，即F，
所以=4+，所以AF=AE。
三、基础训练题
1．以下命题中正确的是__________. ①a=b的充要条件是|a|=|b|，且a//b；②(a·b)·c=(a·c)·b；③若a·b=a·c，则b=c；④若a, b不共线，则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m, y=n；⑤若，且a, b共线，则A，B，C，D共线；⑥a=(8, 1)在b=(-3, 4)上的投影为-4。
2．已知正六边形ABCDEF，在下列表达式中：①；②；③ ；④与，相等的有__________.
3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0，则|x|+|y|=__________.
4．设s, t为非零实数，a, b为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a和b的夹角为__________.
5．已知a, b不共线，=a+kb, =la+b，则“kl-1=0”是“M，N，P共线”的__________条件.
6．在△ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且，BM与CN交于D，若，则λ=__________.
7．已知不共线，点C分所成的比为2，，则__________.
8．已知=b, a·b=|a-b|=2，当△AOB面积最大时，a与b的夹角为__________.
9．把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象，c=(1, -1), 若，c·b=4，则b的坐标为__________.
10．将向量a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标为__________.
11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，试问与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值。
12．在四边形ABCD中，，如果a·b=b·c=c·d=d·a，试判断四边形ABCD的形状。
四、高考水平训练题
1．点O是平面上一定点，A，B，C是此平面上不共线的三个点，动点P满足 则点P的轨迹一定通过△ABC的________心。
2．在△ABC中，，且a·b<0，则△ABC的形状是__________.
3．非零向量，若点B关于所在直线对称的点为B1，则=__________.
4．若O为△ABC 的内心，且，则△ABC 的形状为__________.
5．设O点在△ABC 内部，且，则△AOB与△AOC的面积比为__________.
6．P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC 的__________心.
7．已知，则||的取值范围是__________.
8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________.
9．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则的最小值为__________.
10．已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}，集合N={a|a=(-2, -2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj MN=__________.
11．设G为△ABO的重心，过G的直线与边OA和OB分别交于P和Q，已知，△OAB与△OPQ的面积分别为S和T，
（1）求y=f(x)的解析式及定义域；（2）求的取值范围。
12．已知两点M（-1，0），N（1，0），有一点P使得成公差小于零的等差数列。
（1）试问点P的轨迹是什么？（2）若点P坐标为(x0, y0), 为与的夹角，求tan.
五、联赛一试水平训练题
1．在直角坐标系内，O为原点，点A，B坐标分别为（1，0），（0，2），当实数p, q满足时，若点C，D分别在x轴，y轴上，且，则直线CD恒过一个定点，这个定点的坐标为___________.
2．p为△ABC内心，角A，B，C所对边长分别为a, b, c. O为平面内任意一点，则=___________（用a, b, c, x, y, z表示）.
3．已知平面上三个向量a, b, c均为单位向量，且两两的夹角均为1200，若|ka+b+c|>1(k∈R)，则k的取值范围是___________.
4．平面内四点A，B，C，D满足，则的取值有___________个.
5．已知A1A2A3A4A5是半径为r的⊙O内接正五边形，P为⊙O上任意一点，则取值的集合是___________.
6．O为△ABC所在平面内一点，A，B，C为△ABC 的角，若sinA·+sinB·+sinC·，则点O为△ABC 的___________心.
7．对于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)(a-b)”的___________条件.
8．在△ABC 中，，又(c·b)：(b·a)：(a·c)=1：2：3，则△ABC 三边长之比|a|：|b|：|c|=____________.
9．已知P为△ABC内一点，且，CP交AB于D，求证：
10．已知△ABC的垂心为H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分别为O1，O2，O3，令，求证：（1）2p=b+c-a；（2）H为△O1O2O3的外心。
11．设坐标平面上全部向量的集合为V，a=(a1, a2)为V中的一个单位向量，已知从V到的变换T，由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)确定，
（1）对于V的任意两个向量x, y, 求证：T(x)·T(y)=x·y；
（2）对于V的任意向量x，计算T[T(x)]-x；
（3）设u=(1, 0)；，若，求a.
六、联赛二试水平训练题
1．已知A，B为两条定直线AX，BY上的定点，P和R为射线AX上两点，Q和S为射线BY上的两点，为定比，M，N，T分别为线段AB，PQ，RS上的点，为另一定比，试问M，N，T三点的位置关系如何？证明你的结论。
2．已知AC，CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M，N分别内分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三点共线，求r.
3．在矩形ABCD的外接圆的弧AB上取一个不同于顶点A，B的点M，点P，Q，R，S是M分别在直线AD，AB，BC，CD上的射影，求证：直线PQ与RS互相垂直。
4．在△ABC内，设D及E是BC的三等分点，D在B和F之间，F是AC的中点，G是AB的中点，又设H是线段EG和DF的交点，求比值EH：HG。
5．是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？
6．已知点O在凸多边形A1A2…An内，考虑所有的AiOAj，这里的i, j为1至n中不同的自然数，求证：其中至少有n-1个不是锐角。
7．如图，在△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N，求证：（1）OBDF，OCDE，（2）OHMN。
8．平面上两个正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列顺序一致，过平面上一点O作，求证△ABC为正三角形。
9．在平面上给出和为的向量a, b, c, d，任何两个不共线，求证：
|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.
高中数学竞赛讲义（九）
──不等式
一、基础知识
不等式的基本性质：
（1）a>ba-b>0； （2）a>b, b>ca>c；
（3）a>ba+c>b+c； （4）a>b, c>0ac>bc；
（5）a>b, c<0acb>0, c>d>0ac>bd;
（7）a>b>0, n∈N+an>bn; （8）a>b>0, n∈N+;
（9）a>0, |x|ax>a或x<-a;
（10）a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;
（11）a, b∈R，则(a-b)2≥0a2+b2≥2ab;
（12）x, y, z∈R+，则x+y≥2, x+y+z
前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。
（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若，由性质（7）得，即a≤b，与a>b矛盾，所以假设不成立，所以
；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2≥0，所以x+y≥，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥，等号当且仅当x=y=z时成立。
二、方法与例题
1．不等式证明的基本方法。
（1）比较法，在证明A>B或A0）与1比较大小，最后得出结论。
例1 设a, b, c∈R+，试证：对任意实数x, y, z, 有x2+y2+z2
【证明】 左边-右边= x2+y2+z2
所以左边≥右边，不等式成立。
例2 若alog(1-x)(1-x)=1（因为0<1-x2<1，所以>1-x>0, 0<1-x<1）.
所以|loga(1+x)|>|loga(1-x)|.
（2）分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。
例3 已知a, b, c∈R+，求证：a+b+c-3≥a+b
【证明】 要证a+b+c≥a+b只需证，
因为，所以原不等式成立。
例4 已知实数a, b, c满足0(n+1)n.
【证明】 1）当n=3时，因为34=81>64=43，所以命题成立。
2）设n=k时有kk+1>(k+1)k，当n=k+1时，只需证(k+1)k+2>(k+2)k+1，即>1. 因为，所以只需证，即证(k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1，只需证(k+1)2>k(k+2)，即证k2+2k+1>k2+2k. 显然成立。
所以由数学归纳法，命题成立。
（4）反证法。
例6 设实数a0, a1,…,an满足a0=an=0，且a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,…, an-2-2an-1+an≥0，求证ak≤0(k=1, 2,…, n-1).
【证明】 假设ak(k=1, 2,…,n-1) 中至少有一个正数，不妨设ar是a1, a2,…, an-1中第一个出现的正数，则a1≤0, a2≤0,…, ar-1≤0, ar>0. 于是ar-ar-1>0，依题设ak+1-ak≥ak-ak-1(k=1, 2, …, n-1)。
所以从k=r起有an-ak-1≥an-1-an-2 ≥…≥ar-ar-1>0.
因为an≥ak-1≥…≥ar+1≥ar >0与an=0矛盾。故命题获证。
（5）分类讨论法。
例7 已知x, y, z∈R+，求证：
【证明】 不妨设x≥y, x≥z.
ⅰ）x≥y≥z，则，x2≥y2≥z2，由排序原理可得
，原不等式成立。
ⅱ）x≥z≥y，则，x2≥z2≥y2，由排序原理可得
，原不等式成立。
（6）放缩法，即要证A>B，可证A>C1, C1≥C2,…,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈N+).
例8 求证：
【证明】
，得证。
例9 已知a, b, c是△ABC的三条边长，m>0，求证：
【证明】
（因为a+b>c），得证。
（7）引入参变量法。
例10 已知x, y∈R+, l, a, b为待定正数，求f(x, y)=的最小值。
【解】 设，则，f(x,y)=
(a3+b3+3a2b+3ab2)=
，等号当且仅当时成立。所以f(x, y)min=
例11 设x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1，求证：(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.
【证明】 设x1=k(x2+x3+x4)，依题设有≤k≤1, x3x4≥4，原不等式等价于(1+k)2(x2+x3+x4)2≤4kx2x3x4(x2+x3+x4)，即
(x2+x3+x4) ≤x2x3x4，因为f(k)=k+在上递减，
所以(x2+x3+x4)=(x2+x3+x4)
≤·3x2=4x2≤x2x3x4.
所以原不等式成立。
（8）局部不等式。
例12 已知x, y, z∈R+，且x2+y2+z2=1，求证：
【证明】 先证
因为x(1-x2)=,
所以
同理，
，
所以
例13 已知0≤a, b, c≤1，求证：≤2。
【证明】 先证 ①
即a+b+c≤2bc+2.
即证(b-1)(c-1)+1+bc≥a.
因为0≤a, b, c≤1，所以①式成立。
同理
三个不等式相加即得原不等式成立。
（9）利用函数的思想。
例14 已知非负实数a, b, c满足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=的最小值。
【解】 当a, b, c中有一个为0，另两个为1时，f(a, b, c)=，以下证明f(a, b, c) ≥. 不妨设a≥b≥c，则0≤c≤, f(a, b, c)=
因为1=(a+b)c+ab≤+(a+b)c，
解关于a+b的不等式得a+b≥2(-c).
考虑函数g(t)=, g(t)在[）上单调递增。
又因为0≤c≤，所以3c2≤1. 所以c2+a≥4c2. 所以2≥
所以f(a, b, c)=
≥
=
=
≥
下证0 ① c2+6c+9≥9c2+9≥0 因为，所以①式成立。
所以f(a, b, c) ≥，所以f(a, b, c)min=
2．几个常用的不等式。
（1）柯西不等式：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, …, n，则
等号当且仅当存在λ∈R，使得对任意i=1, 2, , n, ai=λbi,
变式1：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, …, n，则
等号成立条件为ai=λbi,(i=1, 2, …, n)。
变式2：设ai, bi同号且不为0(i=1, 2, …, n)，则
等号成立当且仅当b1=b2=…=bn.
（2）平均值不等式：设a1, a2,…,an∈R+，记Hn=, Gn=, An=，则Hn≤Gn≤An≤Qn. 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。
其中等号成立的条件均为a1=a2=…=an.
【证明】 由柯西不等式得An≤Qn，再由Gn≤An可得Hn≤Gn，以下仅证Gn≤An.
1）当n=2时，显然成立；
2）设n=k时有Gk≤Ak，当n=k+1时，记=Gk+1.
因为a1+a2+…+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥
≥2kGk+1,
所以a1+a2+…+ak+1≥(k+1)Gk+1，即Ak+1≥Gk+1.
所以由数学归纳法，结论成立。
（3）排序不等式：若两组实数a1≤a2≤…≤an且b1≤b2≤…≤bn，则对于b1, b2, …, bn的任意排列，有a1bn+a2bn-1+…+anb1≤≤a1b1+a2b2+…+anbn.
【证明】 引理：记A0=0，Ak=，则 =（阿贝尔求和法）。
证法一：因为b1≤b2≤…≤bn，所以≥b1+b2+…+bk.
记sk=-( b1+b2+…+bk)，则sk≥0(k=1, 2, …, n)。
所以-(a1b1+a2b2+…+anbn)= +snan≤0.
最后一个不等式的理由是aj-aj+1≤0(j=1, 2, …, n-1, sn=0),
所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。
证法二：（调整法）考察，若，则存在。
若(j≤n-1)，则将与互换。
因为
≥0，
所 调整后，和是不减的，接下来若，则继续同样的调整。至多经n-1次调整就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减的，这说明右边不等式成立，同理可得左边不等式。
例15 已知a1, a2,…,an∈R+，求证；a1+a2+…+an.
【证明】证法一：因为，…， ≥2an.
上述不等式相加即得≥a1+a2+…+an.
证法二：由柯西不等式(a1+a2+…+an)≥(a1+a2+…+an)2，
因为a1+a2+…+an >0，所以≥a1+a2+…+an.
证法三： 设a1, a2,…,an从小到大排列为，则，，由排序原理可得
=a1+a2+…+an≥，得证。
注：本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。
三、基础训练题
1．已知0m，则m的最小值是____________.
6．“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8的解集是{x|-20, b>0且ab, m=aabb, n=abba, 则比较大小：m_________n.
11．已知n∈N+，求证：
12．已知0x2>0, 1>a>0，记，比较大小：x1x2________y1y2.
8．已知函数的值域是，则实数a的值为________.
9．设a≤b0, P=(a1-a2)(c1-c2), Q=(b1-b2)2，比较大小：P_______Q.
2．已知x2+y2-xy=1，则|x+y-3|+|x+y+2|=__________.
3．二次函数f(x)=x2+ax+b，记M=max{|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|}，则M的最小值为__________.
4．设实数a, b, c, d满足a≤b≤c≤d或者a≥b≥c≥d，比较大小：
4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).
5．已知xi∈R+, i=1, 2, …,n且，则x1x2…xn的最小值为__________（这里n>1）.
6．已知x, y∈R, f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72的最小值为__________.
7．已知0≤ak≤1(k=1, 2, …,2n)，记a2n+1=a1, a2n+2=a2，则的最大值为__________.
8．已知0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1，则的最大值为__________.
9．已知≤x≤5，求证：
10．对于不全相等的正整数a, b, c，求证：
11．已知ai>0(i=1, 2, …, n)，且=1。又0<λ1≤λ2≤…≤λn，求证：≤
六、联赛二试水平训练题
1．设正实数x, y, z满足x+y+z=1，求证：
2．设整数x1, x2, …,xn与y1, y2, …, yn满足1y1+y2+…+ym，求证：x1x2xn>y1y2…ym.
3．设f(x)=x2+a，记f(x), fn(x)=f(fn-1(x))(n=2, 3, …)，M={a∈R|对所有正整数n, |fn(0)| ≤2}，求证：。
4．给定正数λ和正整数n(n≥2)，求最小的正数M（λ），使得对于所有非负数x1, x2,…,xn ，有M(λ)
5．已知x, y, z∈R+，求证：(xy+yz+zx)
6．已知非负实数a, b, c满足a+b+c=1，求证：2≤(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤(1+a)(1+b)(1+c)，并求出等号成立的条件。
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