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  • 2021-05-13 发布

圆锥曲线导数全国高考数学分类真题含答案

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圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题(含答案)‎ ‎ ‎ 一.选择题(共7小题)‎ ‎1.双曲线﹣y2=1的焦点坐标是(  )‎ A.(﹣,0),(,0) B.(﹣2,0),(2,0) C.(0,﹣),(0,) D.(0,﹣2),(0,2)‎ ‎2.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(  )‎ A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1‎ ‎3.设F1,F2是双曲线C:﹣=1(a>0.b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|=|OP|,则C的离心率为(  )‎ A. B.2 C. D.‎ ‎4.已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x ‎6.已知双曲线C:﹣y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=(  )‎ A. B.3 C.2 D.4‎ ‎7.设函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(  )‎ A.y=﹣2x B.y=﹣x C.y=2x D.y=x ‎ ‎ 二.填空题(共6小题)‎ ‎8.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为   .‎ ‎9.已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为   ;双曲线N的离心率为   .‎ ‎10.已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m=   时,点B横坐标的绝对值最大.‎ ‎11.已知点M(﹣1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=‎ ‎   .‎ ‎12.曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2,则a=   .‎ ‎13.曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为   .‎ ‎ ‎ 三.解答题(共13小题)‎ ‎14.设函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]ex.‎ ‎(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.‎ ‎15.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点(),焦点F1(﹣‎ ‎,0),F2(,0),圆O的直径为F1F2.‎ ‎(1)求椭圆C及圆O的方程;‎ ‎(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;‎ ‎②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为,求直线l的方程.‎ ‎16.如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.‎ ‎(Ⅰ)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;‎ ‎(Ⅱ)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.‎ ‎17.设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|•|AB|=6.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线l:y=kx(k>‎ ‎0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.‎ ‎18.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).‎ ‎(1)证明:k<﹣;‎ ‎(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.‎ ‎19.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.‎ ‎(1)求l的方程;‎ ‎(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.‎ ‎20.设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).‎ ‎(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;‎ ‎(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.‎ ‎21.记f′(x),g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.‎ ‎(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x﹣2不存在“S点”;‎ ‎(2)若函数f(x)=ax2﹣1与g(x)=lnx存在“S点”,求实数a的值;‎ ‎(3)已知函数f(x)=﹣x2+a,g(x)=.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.‎ ‎22.已知函数f(x)=﹣lnx.‎ ‎(Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8﹣8ln2;‎ ‎(Ⅱ)若a≤3﹣4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+‎ a与曲线y=f(x)有唯一公共点.‎ ‎23.已知函数f(x)=ax,g(x)=logax,其中a>1.‎ ‎(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)﹣xlna的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2)=;‎ ‎(Ⅲ)证明当a≥e时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.‎ ‎24.已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x.‎ ‎(1)若a=0,证明:当﹣1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0;‎ ‎(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.‎ ‎25.已知函数f(x)=ex﹣ax2.‎ ‎(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;‎ ‎(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.‎ ‎26.已知函数f(x)=﹣x+alnx.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<a﹣2.‎ ‎ ‎ 圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题(含答案)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题(共7小题)‎ ‎1.双曲线﹣y2=1的焦点坐标是(  )‎ A.(﹣,0),(,0) B.(﹣2,0),(2,0) C.(0,﹣),(0,) D.(0,﹣2),(0,2)‎ ‎【解答】解:∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上,且a2=3,b2=1,‎ 由此可得c==2,‎ ‎∴该双曲线的焦点坐标为(±2,0)‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎2.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(  )‎ A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1‎ ‎【解答】解:由题意可得图象如图,CD是双曲线的一条渐近线 y=,即bx﹣ay=0,F(c,0),‎ AC⊥CD,BD⊥CD,FE⊥CD,ACDB是梯形,‎ F是AB的中点,EF==3,‎ EF==b,‎ 所以b=3,双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,可得,‎ 可得:,解得a=.‎ 则双曲线的方程为:﹣=1.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.设F1,F2是双曲线C:﹣=1(a>0.b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|=|OP|,则C的离心率为(  )‎ A. B.2 C. D.‎ ‎【解答】解:双曲线C:﹣=1(a>0.b>0)的一条渐近线方程为y=x,‎ ‎∴点F2到渐近线的距离d==b,即|PF2|=b,‎ ‎∴|OP|===a,cos∠PF2O=,‎ ‎∵|PF1|=|OP|,‎ ‎∴|PF1|=a,‎ 在三角形F1PF2中,由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O,‎ ‎∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×=4c2﹣3b2=4c2﹣3(c2﹣a2),‎ 即3a2=c2,‎ 即a=c,‎ ‎∴e==,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:由题意可知:A(﹣a,0),F1(﹣c,0),F2(c,0),‎ 直线AP的方程为:y=(x+a),‎ 由∠F1F2P=120°,|PF2|=|F1F2|=2c,则P(2c,c),‎ 代入直线AP:c=(2c+a),整理得:a=4c,‎ ‎∴题意的离心率e==.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x ‎【解答】解:∵双曲线的离心率为e==,‎ 则=====,‎ 即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.已知双曲线C:﹣y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=(  )‎ A. B.3 C.2 D.4‎ ‎【解答】解:双曲线C:﹣y2=1的渐近线方程为:y=,渐近线的夹角为:60°,不妨设过F(2,0)的直线为:y=,‎ 则:解得M(,),‎ 解得:N(),‎ 则|MN|==3.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.设函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(  )‎ A.y=﹣2x B.y=﹣x C.y=2x D.y=x ‎【解答】解:函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax,若f(x)为奇函数,‎ 可得a=1,所以函数f(x)=x3+x,可得f′(x)=3x2+1,‎ 曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为:1,‎ 则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为:y=x.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ 二.填空题(共6小题)‎ ‎8.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为 2 .‎ ‎【解答】解:双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线y=x的距离为c,‎ 可得:=b=,‎ 可得,即c=2a,‎ 所以双曲线的离心率为:e=.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎9.已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为  ;双曲线N的离心率为 2 .‎ ‎【解答】解:椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,‎ 可得椭圆的焦点坐标(c,0),正六边形的一个顶点(,),可得:,可得,可得e4﹣8e2+4=0,e∈(0,1),‎ 解得e=.‎ 同时,双曲线的渐近线的斜率为,即,‎ 可得:,即,‎ 可得双曲线的离心率为e==2.‎ 故答案为:;2.‎ ‎ ‎ ‎10.已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m= 5 时,点B横坐标的绝对值最大.‎ ‎【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由P(0,1),=2,‎ 可得﹣x1=2x2,1﹣y1=2(y2﹣1),‎ 即有x1=﹣2x2,y1+2y2=3,‎ 又x12+4y12=4m,‎ 即为x22+y12=m,①‎ x22+4y22=4m,②‎ ‎①﹣②得(y1﹣2y2)(y1+2y2)=﹣3m,‎ 可得y1﹣2y2=﹣m,‎ 解得y1=,y2=,‎ 则m=x22+()2,‎ 即有x22=m﹣()2==,‎ 即有m=5时,x22有最大值16,‎ 即点B横坐标的绝对值最大.‎ 故答案为:5.‎ ‎ ‎ ‎11.已知点M(﹣1,1)和抛物线C:y2‎ ‎=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=‎ ‎ 2 .‎ ‎【解答】解:∵抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),‎ ‎∴过A,B两点的直线方程为y=k(x﹣1),‎ 联立可得,k2x2﹣2(2+k2)x+k2=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则 x1+x2=,x1x2=1,‎ ‎∴y1+y2=k(x1+x2﹣2)=,y1y2=k2(x1﹣1)(x2﹣1)=k2[x1x2﹣(x1+x2)+1]=﹣4,‎ ‎∵M(﹣1,1),‎ ‎∴=(x1+1,y1﹣1),=(x2+1,y2﹣1),‎ ‎∵∠AMB=90°=0,∴•=0‎ ‎∴(x1+1)(x2+1)+(y1﹣1)(y2﹣1)=0,‎ 整理可得,x1x2+(x1+x2)+y1y2﹣(y1+y2)+2=0,‎ ‎∴1+2+﹣4﹣+2=0,‎ 即k2﹣4k+4=0,‎ ‎∴k=2.‎ 故答案为:2‎ ‎ ‎ ‎12.曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2,则a= ﹣3 .‎ ‎【解答】解:曲线y=(ax+1)ex,可得y′=aex+(ax+1)ex,‎ 曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2,‎ 可得:a+1=﹣2,解得a=﹣3.‎ 故答案为:﹣3.‎ ‎ ‎ ‎13.曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x .‎ ‎【解答】解:∵y=2ln(x+1),‎ ‎∴y′=,‎ 当x=0时,y′=2,‎ ‎∴曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x.‎ 故答案为:y=2x.‎ ‎ ‎ 三.解答题(共13小题)‎ ‎14.设函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]ex.‎ ‎(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]ex的导数为 f′(x)=[ax2﹣(2a+1)x+2]ex.‎ 由题意可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,‎ 可得(a﹣2a﹣1+2)e=0,‎ 解得a=1;‎ ‎(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=[ax2﹣(2a+1)x+2]ex=(x﹣2)(ax﹣1)ex,‎ 若a=0则x<2时,f′(x)>0,f(x)递增;x>2,f′(x)<0,f(x)递减.‎ x=2处f(x)取得极大值,不符题意;‎ 若a>0,且a=,则f′(x)=(x﹣2)2ex≥0,f(x)递增,无极值;‎ 若a>,则<2,f(x)在(,2)递减;在(2,+∞),(﹣∞,)递增,‎ 可得f(x)在x=2处取得极小值;‎ 若0<a<,则>2,f(x)在(2,)递减;在(,+∞),(﹣∞,2)递增,‎ 可得f(x)在x=2处取得极大值,不符题意;‎ 若a<0,则<2,f(x)在(,2)递增;在(2,+∞),(﹣∞,)递减,‎ 可得f(x)在x=2处取得极大值,不符题意.‎ 综上可得,a的范围是(,+∞).‎ ‎ ‎ ‎15.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点(),焦点F1(﹣,0),F2(,0),圆O的直径为F1F2.‎ ‎(1)求椭圆C及圆O的方程;‎ ‎(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;‎ ‎②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为,求直线l的方程.‎ ‎【解答】解:(1)由题意可设椭圆方程为,‎ ‎∵焦点F1(﹣,0),F2(,0),∴.‎ ‎∵∴,又a2+b2=c2=3,‎ 解得a=2,b=1.‎ ‎∴椭圆C的方程为:,圆O的方程为:x2+y2=3.‎ ‎(2)①可知直线l与圆O相切,也与椭圆C,且切点在第一象限,‎ ‎∴可设直线l的方程为y=kx+m,(k<0,m>0).‎ 由圆心(0,0)到直线l的距离等于圆半径,可得.‎ 由,可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0,‎ ‎△=(8km)2﹣4(4k2+1)(4m2﹣4)=0,‎ 可得m2=4k2+1,∴3k2+3=4k2+1,结合k<0,m>0,解得k=﹣,m=3.‎ 将k=﹣,m=3代入可得,‎ 解得x=,y=1,故点P的坐标为(.‎ ‎②设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由⇒k<﹣.‎ 联立直线与椭圆方程得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0,‎ ‎|x2﹣x1|==,‎ O到直线l的距离d=,‎ ‎|AB|=|x2﹣x1|=,‎ ‎△OAB的面积为S===,‎ 解得k=﹣,(正值舍去),m=3.‎ ‎∴y=﹣为所求.‎ ‎ ‎ ‎16.如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.‎ ‎(Ⅰ)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;‎ ‎(Ⅱ)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)证明:可设P(m,n),A(,y1),B(,y2),‎ AB中点为M的坐标为(,),‎ 抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上,‎ 可得()2=4•,‎ ‎()2=4•,‎ 化简可得y1,y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0的两根,‎ 可得y1+y2=2n,y1y2=8m﹣n2,‎ 可得n=,‎ 则PM垂直于y轴;‎ ‎(Ⅱ)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,‎ 可得m2+=1,﹣1≤m<0,﹣2<n<2,‎ 由(Ⅰ)可得y1+y2=2n,y1y2=8m﹣n2,‎ 由PM垂直于y轴,可得△PAB面积为S=|PM|•|y1﹣y2|‎ ‎=(﹣m)•‎ ‎=[•(4n2﹣16m+2n2)﹣m]•‎ ‎=(n2﹣4m),‎ 可令t==‎ ‎=,‎ 可得m=﹣时,t取得最大值;‎ m=﹣1时,t取得最小值2,‎ 即2≤t≤,‎ 则S=t3在2≤t≤递增,可得S∈[6,],‎ ‎△PAB面积的取值范围为[6,].‎ ‎ ‎ ‎17.设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|•|AB|=6.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线l:y=kx(k>‎ ‎0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2c,‎ 由椭圆的离心率为e=,‎ ‎∴=;‎ 又a2=b2+c2,‎ ‎∴2a=3b,‎ 由|FB|=a,|AB|=b,且|FB|•|AB|=6;‎ 可得ab=6,‎ 从而解得a=3,b=2,‎ ‎∴椭圆的方程为+=1;‎ ‎(Ⅱ)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),由已知y1>y2>0;‎ ‎∴|PQ|sin∠AOQ=y1﹣y2;‎ 又|AQ|=,且∠OAB=,‎ ‎∴|AQ|=y,‎ 由=sin∠AOQ,可得5y1=9y2;‎ 由方程组,消去x,可得y1=,‎ ‎∴直线AB的方程为x+y﹣2=0;‎ 由方程组,消去x,可得y2=;‎ 由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,‎ 两边平方,整理得56k2﹣50k+11=0,‎ 解得k=或k=;‎ ‎∴k的值为或.‎ ‎ ‎ ‎18.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).‎ ‎(1)证明:k<﹣;‎ ‎(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.‎ ‎【解答】解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ ‎∵线段AB的中点为M(1,m),‎ ‎∴x1+x2=2,y1+y2=2m 将A,B代入椭圆C:+=1中,可得 ‎,‎ 两式相减可得,3(x1+x2)(x1﹣x2)+4(y1+y2)(y1﹣y2)=0,‎ 即6(x1﹣x2)+8m(y1﹣y2)=0,‎ ‎∴k==﹣=﹣‎ 点M(1,m)在椭圆内,即,‎ 解得0<m ‎∴.‎ ‎(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),‎ 可得x1+x2=2,‎ ‎∵++=,F(1,0),∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0,y1+y2+y3=0,‎ ‎∴x3=1,‎ ‎∵m>0,可得P在第一象限,故,m=,k=﹣1‎ 由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1,|FB|=2﹣x2,|FP|=2﹣x3=.‎ 则|FA|+|FB|=4﹣,∴|FA|+|FB|=2|FP|,‎ 联立,可得|x1﹣x2|=‎ 所以该数列的公差d满足2d=|x1﹣x2|=,‎ ‎∴该数列的公差为±.‎ ‎ ‎ ‎19.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.‎ ‎(1)求l的方程;‎ ‎(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.‎ ‎【解答】解:(1)方法一:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),当直线的斜率不存在时,|AB|=4,不满足;‎ 设直线AB的方程为:y=k(x﹣1),设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则,整理得:k2x2﹣2(k2+2)x+k2=0,则x1+x2=,x1x2=1,‎ 由|AB|=x1+x2+p=+2=8,解得:k2=1,则k=1,‎ ‎∴直线l的方程y=x﹣1;‎ 方法二:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),设直线AB的倾斜角为θ,由抛物线的弦长公式|AB|===8,解得:sin2θ=,‎ ‎∴θ=,则直线的斜率k=1,‎ ‎∴直线l的方程y=x﹣1;‎ ‎(2)过A,B分别向准线x=﹣1作垂线,垂足分别为A1,B1,设AB的中点为D,过D作DD1⊥准线l,垂足为D,则|DD1|=(|AA1|+|BB1|)‎ 由抛物线的定义可知:|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,则r=|DD1|=4,‎ 以AB为直径的圆与x=﹣1相切,且该圆的圆心为AB的中点D,‎ 由(1)可知:x1+x2=6,y1+y2=x1+x2﹣2=4,‎ 则D(3,2),‎ 过点A,B且与C的准线相切的圆的方程(x﹣3)2+(y﹣2)2=16..‎ ‎ ‎ ‎20.设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).‎ ‎(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;‎ ‎(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.‎ ‎【解答】解:(1)c==1,‎ ‎∴F(1,0),‎ ‎∵l与x轴垂直,‎ ‎∴x=1,‎ 由,解得或,‎ ‎∴A(1.),或(1,﹣),‎ ‎∴直线AM的方程为y=﹣x+,y=x﹣,‎ 证明:(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,‎ 当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,∴∠OMA=∠OMB,‎ 当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x﹣1),k≠0,‎ A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<,x2<,‎ 直线MA,MB的斜率之和为kMA,kMB之和为kMA+kMB=+,‎ 由y1=kx1﹣k,y2=kx2﹣k得kMA+kMB=,‎ 将y=k(x﹣1)代入+y2=1可得(2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,‎ ‎∴x1+x2=,x1x2=,‎ ‎∴2kx1x2﹣3k(x1+x2)+4k=(4k2﹣4k﹣12k2+8k2+4k)=0‎ 从而kMA+kMB=0,‎ 故MA,MB的倾斜角互补,‎ ‎∴∠OMA=∠OMB,‎ 综上∠OMA=∠OMB.‎ ‎ ‎ ‎21.记f′(x),g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.‎ ‎(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x﹣2不存在“S点”;‎ ‎(2)若函数f(x)=ax2﹣1与g(x)=lnx存在“S点”,求实数a的值;‎ ‎(3)已知函数f(x)=﹣x2+a,g(x)=.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)证明:f′(x)=1,g′(x)=2x+2,‎ 则由定义得,得方程无解,则f(x)=x与g(x)=x2+2x﹣2不存在“S点”;‎ ‎(2)f′(x)=2ax,g′(x)=,x>0,‎ 由f′(x)=g′(x)得=2ax,得x=,‎ f()=﹣=g()=﹣lna2,得a=;‎ ‎(3)f′(x)=﹣2x,g′(x)=,(x≠0),‎ 由f′(x0)=g′(x0),得b=﹣>0,得0<x0<1,‎ 由f(x0)=g(x0),得﹣x02+a==﹣,得a=x02﹣,‎ 令h(x)=x2﹣﹣a=,(a>0,0<x<1),‎ 设m(x)=﹣x3+3x2+ax﹣a,(a>0,0<x<1),‎ 则m(0)=﹣a<0,m(1)=2>0,得m(0)m(1)<0,‎ 又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,‎ 则m(x)在(0,1)上有零点,‎ 则h(x)在(0,1)上有零点,‎ 则f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S”点.‎ ‎ ‎ ‎22.已知函数f(x)=﹣lnx.‎ ‎(Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8﹣8ln2;‎ ‎(Ⅱ)若a≤3﹣4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)∵函数f(x)=﹣lnx,‎ ‎∴x>0,f′(x)=﹣,‎ ‎∵f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,‎ ‎∴=﹣,‎ ‎∵x1≠x2,∴+=,‎ 由基本不等式得:=≥,‎ ‎∵x1≠x2,∴x1x2>256,‎ 由题意得f(x1)+f(x2)==﹣ln(x1x2),‎ 设g(x)=,则,‎ ‎∴列表讨论:‎ ‎ x ‎ (0,16)‎ ‎ 16‎ ‎ (16,+∞)‎ ‎ g′(x)‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ g(x)‎ ‎↓‎ ‎ 2﹣4ln2‎ ‎↑‎ ‎∴g(x)在[256,+∞)上单调递增,‎ ‎∴g(x1x2)>g(256)=8﹣8ln2,‎ ‎∴f(x1)+f(x2)>8﹣8ln2.‎ ‎(Ⅱ)令m=e﹣(|a|+k),n=()2+1,‎ 则f(m)﹣km﹣a>|a|+k﹣k﹣a≥0,‎ f(n)﹣kn﹣a<n(﹣﹣k)≤n(﹣k)<0,‎ ‎∴存在x0∈(m,n),使f(x0)=kx0+a,‎ ‎∴对于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点,‎ 由f(x)=kx+a,得k=,‎ 设h(x)=,则h′(x)==,‎ 其中g(x)=﹣lnx,‎ 由(1)知g(x)≥g(16),‎ 又a≤3﹣4ln2,∴﹣g(x)﹣1+a≤﹣g(16)﹣1+a=﹣3+4ln2+a≤0,‎ ‎∴h′(x)≤0,即函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,‎ ‎∴方程f(x)﹣kx﹣a=0至多有一个实根,‎ 综上,a≤3﹣4ln2时,对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.‎ ‎ ‎ ‎23.已知函数f(x)=ax,g(x)=logax,其中a>1.‎ ‎(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)﹣xlna的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2)=;‎ ‎(Ⅲ)证明当a≥e时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.‎ ‎【解答】(Ⅰ)解:由已知,h(x)=ax﹣xlna,有h′(x)=axlna﹣lna,‎ 令h′(x)=0,解得x=0.‎ 由a>1,可知当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表:‎ ‎ x ‎ (﹣∞,0)‎ ‎ 0‎ ‎ (0,+∞)‎ ‎ h′(x)‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ h(x)‎ ‎↓‎ ‎ 极小值 ‎↑‎ ‎∴函数h(x)的单调减区间为(﹣∞,0),单调递增区间为(0,+∞);‎ ‎(Ⅱ)证明:由f′(x)=axlna,可得曲线y=f(x)在点(x1,f(x1‎ ‎))处的切线的斜率为lna.‎ 由g′(x)=,可得曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线的斜率为.‎ ‎∵这两条切线平行,故有,即,‎ 两边取以a为底数的对数,得logax2+x1+2logalna=0,‎ ‎∴x1+g(x2)=;‎ ‎(Ⅲ)证明:曲线y=f(x)在点()处的切线l1:,‎ 曲线y=g(x)在点(x2,logax2)处的切线l2:.‎ 要证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线,‎ 只需证明当a≥时,存在x1∈(﹣∞,+∞),x2∈(0,+∞)使得l1与l2重合,‎ 即只需证明当a≥时,方程组 由①得,代入②得:‎ ‎,③‎ 因此,只需证明当a≥时,关于x1 的方程③存在实数解.‎ 设函数u(x)=,既要证明当a≥时,函数y=u(x)存在零点.‎ u′(x)=1﹣(lna)2xax,可知x∈(﹣∞,0)时,u′(x)>0;x∈(0,+∞)时,u′(x)单调递减,‎ 又u′(0)=1>0,u′=<0,‎ 故存在唯一的x0,且x0>0,使得u′(x0)=0,即.‎ 由此可得,u(x)在(﹣∞,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,‎ u(x)在x=x0处取得极大值u(x0).‎ ‎∵,故lnlna≥﹣1.‎ ‎∴=.‎ 下面证明存在实数t,使得u(t)<0,‎ 由(Ⅰ)可得ax≥1+xlna,当时,有 u(x)≤=.‎ ‎∴存在实数t,使得u(t)<0.‎ 因此,当a≥时,存在x1∈(﹣∞,+∞),使得u(x1)=0.‎ ‎∴当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.‎ ‎ ‎ ‎24.已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x.‎ ‎(1)若a=0,证明:当﹣1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0;‎ ‎(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.‎ ‎【解答】(1)证明:当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)﹣2x,(x>﹣1).‎ ‎,,‎ 可得x∈(﹣1,0)时,f″(x)≤0,x∈(0,+∞)时,f″(x)≥0‎ ‎∴f′(x)在(﹣1,0)递减,在(0,+∞)递增,‎ ‎∴f′(x)≥f′(0)=0,‎ ‎∴f(x)=(2+x)ln(1+x)﹣2x在(﹣1,+∞)上单调递增,又f(0)=0.‎ ‎∴当﹣1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.‎ ‎(2)解:由f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x,得 f′(x)=(1+2ax)ln(1+x)+﹣2=,‎ 令h(x)=ax2﹣x+(1+2ax)(1+x)ln(x+1),‎ h′(x)=4ax+(4ax+2a+1)ln(x+1).‎ 当a≥0,x>0时,h′(x)>0,h(x)单调递增,‎ ‎∴h(x)>h(0)=0,即f′(x)>0,‎ ‎∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,故x=0不是f(x)的极大值点,不符合题意.‎ 当a<0时,h″(x)=8a+4aln(x+1)+,‎ 显然h″(x)单调递减,‎ ‎①令h″(0)=0,解得a=﹣.‎ ‎∴当﹣1<x<0时,h″(x)>0,当x>0时,h″(x)<0,‎ ‎∴h′(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,‎ ‎∴h′(x)≤h′(0)=0,‎ ‎∴h(x)单调递减,又h(0)=0,‎ ‎∴当﹣1<x<0时,h(x)>0,即f′(x)>0,‎ 当x>0时,h(x)<0,即f′(x)<0,‎ ‎∴f(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,‎ ‎∴x=0是f(x)的极大值点,符合题意;‎ ‎②若﹣<a<0,则h″(0)=1+6a>0,h″(e﹣1)=(2a﹣1)(1﹣e)<0,‎ ‎∴h″(x)=0在(0,+∞)上有唯一一个零点,设为x0,‎ ‎∴当0<x<x0时,h″(x)>0,h′(x)单调递增,‎ ‎∴h′(x)>h′(0)=0,即f′(x)>0,‎ ‎∴f(x)在(0,x0)上单调递增,不符合题意;‎ ‎③若a<﹣,则h″(0)=1+6a<0,h″(﹣1)=(1﹣2a)e2>0,‎ ‎∴h″(x)=0在(﹣1,0)上有唯一一个零点,设为x1,‎ ‎∴当x1<x<0时,h″(x)<0,h′(x)单调递减,‎ ‎∴h′(x)>h′(0)=0,∴h(x)单调递增,‎ ‎∴h(x)<h(0)=0,即f′(x)<0,‎ ‎∴f(x)在(x1,0)上单调递减,不符合题意.‎ 综上,a=﹣.‎ ‎ ‎ ‎25.已知函数f(x)=ex﹣ax2.‎ ‎(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;‎ ‎(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.‎ ‎【解答】证明:(1)当a=1时,函数f(x)=ex﹣x2.‎ 则f′(x)=ex﹣2x,‎ 令g(x)=ex﹣2x,则g′(x)=ex﹣2,‎ 令g′(x)=0,得x=ln2.‎ 当x∈(0,ln2)时,g′(x)<0,当x∈(ln2,+∞)时,g′(x)>0,‎ ‎∴g(x)≥g(ln2)=eln2﹣2•ln2=2﹣2ln2>0,‎ ‎∴f(x)在[0,+∞)单调递增,∴f(x)≥f(0)=1,‎ 解:(2),f(x)在(0,+∞)只有一个零点⇔方程ex﹣ax2=0在(0,+∞)只有一个根,‎ ‎⇔a=在(0,+∞)只有一个根,‎ 即函数y=a与G(x)=的图象在(0,+∞)只有一个交点.‎ G,‎ 当x∈(0,2)时,G′(x)<0,当∈(2,+∞)时,G′(x)>0,‎ ‎∴G(x)在(0,2)递减,在(2,+∞)递增,‎ 当→0时,G(x)→+∞,当→+∞时,G(x)→+∞,‎ ‎∴f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=G(2)=.‎ ‎ ‎ ‎26.已知函数f(x)=﹣x+alnx.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<a﹣2.‎ ‎【解答】解:(1)函数的定义域为(0,+∞),‎ 函数的导数f′(x)=﹣﹣1+=﹣,‎ 设g(x)=x2﹣ax+1,‎ 当a≤0时,g(x)>0恒成立,即f′(x)<0恒成立,此时函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,‎ 当a>0时,判别式△=a2﹣4,‎ ‎①当0<a≤2时,△≤0,即g(x)>0,即f′(x)<0恒成立,此时函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,‎ ‎②当a>2时,x,f′(x),f(x)的变化如下表:‎ ‎ x ‎ (0,)‎ ‎ ‎ ‎ (,)‎ ‎ ‎ ‎ (,+∞)‎ ‎ f′(x)‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ ‎ f(x)‎ ‎ 递减 ‎ 递增 递减 综上当a≤2时,f(x)在(0,+∞)上是减函数,‎ 当a>2时,在(0,),和(,+∞)上是减函数,‎ 则(,)上是增函数.‎ ‎(2)由(1)知a>2,0<x1<1<x2,x1x2=1,‎ 则f(x1)﹣f(x2)=(x2﹣x1)(1+)+a(lnx1﹣lnx2)=2(x2﹣x1)+a(lnx1﹣lnx2),‎ 则=﹣2+,‎ 则问题转为证明<1即可,‎ 即证明lnx1﹣lnx2>x1﹣x2,‎ 即证2lnx1>x1﹣在(0,1)上恒成立,‎ 设h(x)=2lnx﹣x+,(0<x<1),其中h(1)=0,‎ 求导得h′(x)=﹣1﹣=﹣=﹣<0,‎ 则h(x)在(0,1)上单调递减,‎ ‎∴h(x)>h(1),即2lnx﹣x+>0,‎ 故2lnx>x﹣,‎ 则<a﹣2成立.‎ ‎ ‎