2013高考数学抢分必做100题
一、选择题
1.【2013成都二诊】命题“.,都有ln(x2+1)>0”的否定为 ( )
(A) ,都有ln(x2 +1)≤0 (B) ,使得ln(x02+1)>0
(C) ,都有ln(x2+l)<0 (D) ,使得ln(x02+1)≤0
【答案】D
2.【2013四川雅安中学二诊】已知是虚数单位,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】 A
3.【2013枣庄一模】下列命题的否定为假命题的是
A. B.任意一个四边形的四个顶点共圆
C.所有能被3整除的整数都是奇数 D.
【答案】D
4.【2013湖北八校二次联考】图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图,图中第1次到14次的考试成绩依次记为图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图。那么算法流程图输出的结果是( )
A. B. C. D.
7 9
8 6 3 8
9 3 9 8 8 4 1 5
10 3 1
11 4
【答案】D
5.【2013北京石景山3月统一测试】若复数(a-i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上,则实数a的值是( )
A. 1 B.-1 C. D.-
【答案】A
6.【2013太原一模】已知函数 ,若在[1,4]上随机取一个实数x0,则使得成立的概率为
A. B. C. D.
答案.C
7. 【2013四川雅安中学二诊】设不等式组 表示的平面区域为.在区域内随机取一个点,则此点到直线的距离大于2的概率是 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
8.【2013山西山大附中3月月考】已知为上的可导函数,且,均有,则有( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
9.【2013枣庄一模】两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且仅有一个靠窗,已知火车上的座位的排法如表格所示,则下列座位号码符合要求的是
A.48,49 B.62,63 C.84,85 D.75,76
【答案】C
10.【2013湖北八校二次联考】《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题,《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天起每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现在一月(按30天计),共织390尺布”,则从第2天起每天比前一天多织( )尺布.
A. B. C. D.
【答案】D
11. 【2013广西四市3月联考】
定义在(-1,1)上的函数满足:,当时,有,若,,,则a,b,c的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】A
12.【2013开封二模】函数则
A.a>b>c B.b
c>b
【答案】D
13、【2013梅州3月质检】下列命题中假命题是
A、>0,有ln2x+lnx+1>0
B、R,使
C、“a2<b2”是“a<b”的必要不充分条件
D、,使是幂函数,且在(0,+)上递减
【答案】C
14. 【2013浙江省金丽衢十二校二次联考】 已知的三个顶点及所在平面内一点满足,则
点与的关系
A.在内部 B.在外部
C.在边上 D.在边上
【答案】D
15. 【2013蚌埠二检】△ABC的外接圆的圆的加以为O,半径为1,若,且,则向量在向量方向上的射影的数量为( )
A. B. C. 3 D.-
【答案】A
16.【2013宝鸡二模】下列命题中,真命题是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
17. 【2013汕头一模】
设α、β为两个不同的平面,m、n为两条不同的直线,,有两个命题:
P :若α//β、则m//n; q:若n丄α,则α丄β;那么()
A. “p或q是假命题 B. “ P且q”是真命题
C. “非p或q是假命题 D. “非p且q是真命题
【答案】D
18.【2013烟台3月诊断】已知函数f(x)=,则f[f(2013)]=
A. B.- C.1 D. -1
【答案】D
19、【2013梅州3月质检】某程序框图如右图所示,若输出的S=57,则判断框内填
A、k>4?
B、k>5?
C、k>6?
D、k>7?
【答案】A
20.【2013郑州二模】
―个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是
【答案】C
21.【2013西安五校二模】已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=2.∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S—ABC的体积为
A. B. C. D.
【答案】C
22.【2013西安一模】若向量则=
A.(-2,-4) B.(3.4) C.(6,10) D.(-6.-10)
【答案】A
23.【2013东北三校3月联考】已知全集,集合,,则集合 ( )
A. B. C. D.
【答案】C。,故选C
24.【2013浙江省金丽衢十二校二次联考】设m、n为空间的两条不同的直线,α、β为空间的两个不同的平面,给出下列命题:
①若m∥α,m∥β,则α∥β;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若m⊥α,n⊥α,则m∥n.
上述命题中,所有真命题的序号是
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
【答案】D
25.【2013西安一模】要得到函数y= cos(2x+1)的图象,只要将函数y=cos2x的图象
A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
【答案】C
26【2013烟台3月诊断】函数f(x)=1nx-的图像大致是
【答案】C
27. 【2013宝鸡二模】现在定义直角坐标系内任意两点之间的一种“距离”:
,给出下列三个命题:
① 若点C在线段AB上,则;
② 在△ABC中,若∠C=,则;
③ 在△ABC中,。
其中真命题的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
28.【2013东北三校3月联考】已知向量是夹角为60°的两个单位向量,向量(R)与向量垂直,则实数的值为( )
A、1 B、-1 C、2 D、0
【答案】D
29.【2013黄冈3月质检】如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇函数”.给出下列函数:①;②;③;④.其中是“同簇函数”的是
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
【答案】C
30 【2013青岛一模】定义区间,,,的长度均为. 用表示不超过的最大整数,记,其中.设,,若用表示不等式解集区间的长度,则当时,有
A. B. C. D.
【答案】A
二、填空题
31. 【2013汕头一模】函数 的定义域是________
【答案】
32. 【2013广西四市3月联考】已知球O是棱长为的正方体ABCD-的内切球,则平面截球O的截面的面积为__________。
【答案】15.
33. 【2013成都二诊】在某大型企业的招聘会上,前来应聘的本科生、硕士研究生和 博士研究生共2000人,各类毕业生人数统计如图所示,则博士研究生 的人数为_____.
【答案】240
34. 【2013江苏四市二调】某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间(单位:分钟)用茎叶图表示(如图),图中左列表示训练
S←0
For I From 1 to 28 Step 3
S←S +I
End For
Print S
(第34题)
6 4 5 7
7 2 5
8 0 1
(第33题)
时间的十位数,右列表示训练时间的个位数,则该运动员这7天的平均训练时间为 ▲ 分钟.
【答案】72
35. 【2013江苏四市二调】根据如图所示的伪代码,最后输出的S的值为 .
【答案】145
36.【揭阳一模】计算:= .
【答案】2
37.【2013江苏盐城二模】定义运算,则关于非零实数的不等式的解集为 。
【答案】
38.【2013北京石景山3月统一测试】
观察下列算式:
l3 =1,
23 =3+5,
33 = 7+9+11,
43 =13 +15 +17 +19 ,
… … … …
若某数n3按上述规律展开后,发现等式右边含有“2013”这个数,则n= .
【答案】45
39.【2013开封二模】设变量x,y满足约束条件的取值范围 。
【答案】[1/4,5]
40、【2013梅州3月质检】在极坐标系中,圆=2上的点到直线=3的距离的最小值是____
【答案】1
41. 【2013浙江省金丽衢十二校二次联考】我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”.已知、
是一对“黄金搭档”的焦点,是它们在第一象限的交点,当时,这一
对“黄金搭档”中双曲线的离心率是
【答案】
42【2013蚌埠二检】计算:i+2i2+3i3+……+359i359= 。
【答案】-180-180i
43. 【2013北京东城区3月联考】对于函数,若存在区间,使得 ,则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列三个函数:
①;②;③.
其中存在稳定区间的函数有_________________.(写出所有正确的序号)
【答案】①②
44.【2013江苏苏锡常镇四市3月调研】已知,则的值为 .
【答案】7/9
45.【2013吉林市二模】已知函数 则 .
【答案】
46.【2013黄冈3月质检】已知向量,若函数在区间上存在增区间,则的取值范围是 .
【答案】
47.【2013揭阳一模】给出下列等式:,,,……
请从中归纳出第个等式: .
【答案】
48.【2013青岛一模】给出以下命题:
① 双曲线的渐近线方程为;
② 命题“,”是真命题;
③ 已知线性回归方程为,当变量增加个单位,其预报值平均增加个单位;
④ 已知,,,,依照以上各式的规律,得到一般性的等式为,()
则正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).
【答案】①③④
49.【2013湖北八校二次联考】基尼系数是衡量一个国家贫富差距的标准。图中横轴
表示人口(按收入由低到高分组)的累积百分比,纵轴表示收入的累积百分比,弧线(称为洛伦兹曲线)与对角线之间的面积叫做“不平等面积”,折线段与对角线之间的面积叫做“完全不平等面积”,不平等面积与完全不平等面积的比值为基尼系数,则:
(1) 当洛伦兹曲线为对角线时,社会达到“共同富裕”,这是社会主义国家的目标,则此时的基尼系数等于 .
(2)为了估计目前我国的基尼系数,统计得到洛伦兹曲线后,采用随机模拟方法:随机产生两个数组成点,共产生了1000个点,且恰好有300个点落在区域中。则据此估计该基尼系数为: .
【答案】 0 0.4
50.【2013枣庄一模】已知一个半径为Im的半圆形工件,未搬动前如图所示(直径平行于地面放置),搬动时为了保护圆弧部分不受损伤,先将半圆作如图所示的无滑动翻转,使它的直径紧贴地面,再将它沿地面平移40m,则圆心D所经过的路线长是 m
【答案】π+40
51、【2013焦作一模】下面有五个命题:
①函数的最小正周期是;
②终边在y轴上的角的集合是{α|};
③在同一坐标系中,函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点;
④把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移得y=3sin2x的图象;
⑤函数y=sin(x-)在(0,)上是减函数。
其中真命题的序号是_____
【答案】①④
52【2013潍坊一模】现有一根n节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为 10cm,最下面的三节长度之和为114cm
,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项,则n= 。
【答案】16
53【2013洛阳3月二练】
已知数组(1,2,3),(2,4,6),(3,8,11),(4,16,20),(5,32,37),…,(an,bn,cn),则c10= 。
【答案】1034
54.【2013浙江六校】
如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的体积为 .
侧视图
2
主视图
2
2
俯视图
_
开始
S=0,i=0
结束
是
否
S=S+i
输出S
i=i+2
i≤100?
【答案】 ;
55【绵阳南山中学3月月考】
右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米, 水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.
【答案】
57【2013银川二中6次月考】
双曲线的两个焦点为, 为双曲线上一点, , 成等比数列,则______
【答案】1
58【2013北海一模】的展开式中的系数是 .
【答案】.
59.【2013石家庄质检】16、当时,定义函数N(n)表示n的最大奇因数,如
则S(5)=____。
【答案】
三、解答题
60.【2013江南十校联考】
(本小题满分12分)己知现将f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移个单位,得到函数g(x)的图象
(I)求+的值;
(II)若a、b、C分别是ΔABC三个内角A、B、C的对边,a + c = 4,且当x = B时, g(x)取得最大值,求b的取值范围.
【解】:(Ⅰ)∵ ………2分
∴ ……………………5分
(Ⅱ)∵
∴当即时,取得最大值.
时取得最大值,又, ∴ ………………7分
而
……………………………………………10分
∴, 又
∴的取值范围是 …………………………………………………………12分
61.【2013南昌一模】(本小题满分12分)设角A,B,C为△ABC的三个内角,已知
(1)求角A的大小;
(2)若BC边上的高AD长的最大值。
【解】(1),因为,所以…6分
(2)由知, ……8分
所以,而……10分,
当且仅当时,上式取等号……11分
所以边上的高的最大值为.……12分
62.【四川省凉山州二诊】(12分)锐角△ABC中,a,b,c为其内角A、B、C所对边长,向量,若·= 12。
(1)求角A;
(2)若a=7,求b,c(其中b0),g(x)=x3+bx。
(1)若曲线y=f(x)与曲线y= g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;
(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其中在区间(-∞,-1)上的最大值。
78.【2013南昌一模】(本小题满分12分)设正项数列都是等差数列,且公差相等,(1)求的通项公式;(2)若的前三项,记数列
数列的前n项和为
【解】设的公差为,则,即,
由是等差数列得到:……2分,
则且,所以,……4分,
所以:……5分,……6分
(2)由,得到:等比数列的公比,
所以:, ……8分
所以……10分
……12分
79.【2013湖北八校二次联考】(本小题满分12分)如图直三棱柱的侧棱长为,,且,点分别是棱上的动点,且.
(Ⅰ)求证:无论在何处,总有 ;
(Ⅱ)当三棱锥的体积取得最大值时,求异面直线与所成角的余弦值.
(79题图)
【解】 (Ⅰ) 是正方形, …………2分
又, ………4分
,
又 ……6分
(Ⅱ)设三棱椎的体积为.当时取等号 …………8分
故当即点分别是棱上的中点时,体积最大,则为所求;,,, ……12分
80、【2013焦作一模】(本小题满分12分)
某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段[90,100),[100,110),…
,,140,150)后得到如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求分数在[120,130)内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分;
(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至多有1人在分数段[120,130)内的概率。
【解】
81. 【2013郑州二模】(本小题满分12分)
已知椭圆C: 的右焦点为F,左顶点为A,点P为曲线D上的动点,以PF为直径的圆恒与y轴相切.
(I)求曲线D的方程;
(II)设O为坐标原点,是否存在同时满足下列两个条件的ΔAPM?①点M在椭圆C上;②点O为ΔAPM的重心.若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.(若三角形 ABC的三点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则其重心G的坐标为,))
【解】(Ⅰ)设,由题知,所以以为直径的圆的圆心,
则,
整理得为所求. ――――4分
(Ⅱ)不存在,理由如下: ――――5分
若这样的三角形存在,由题可设,由条件①知,
由条件②得,又因为点,
所以即,故,――――9分
解之得或(舍),
当时,解得不合题意,
所以同时满足两个条件的三角形不存在. ――――12分
82.【2013揭阳一模】(本小题满分14分)
如图(3),在等腰梯形CDEF中,CB、DA是梯形的高,,,现将梯形沿CB、DA折起,使EF//AB且,得一简单组合体
如图(4)示,已知分别为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面;
(3)若,求四棱锥F-ABCD的体积. 图(3)
图(4)
【解】证明:连结,∵四边形是矩形,为中点,
∴为中点,--------------------------------------------------------------1分
在中,为中点,故--------------------------3分
∵平面,平面,平面;---4分
(2)依题意知 且
∴平面
∵平面,∴,------------------5分
∵为中点,∴
结合,知四边形是平行四边形
∴,----------------------------------------------------7分
而,∴ ∴,即-----8分
又 ∴平面,----------------------------------9分
(3)解法一:过F点作交AB于Q点,由(2)知△PAE为等腰直角三角形,
∴,从而,------------------------------------------10分
∴,-------------------------------------------------------------------11分
又由(2)可知平面ABCD,-----------------------------------------12分
∴,--------------------------------------14分
【解法2:∵三棱锥F-CBD与F-ABD等底等高,∴,-----------10分
∴,-----------------------------------------------11分
由(2)知△PAE为等腰直角三角形,∴,从而------12分
故
∴
∴--------------------------------------------------14分】
83.【2013东北三校3月联考】(本小题满分12分)
如图,三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱AA2⊥底面ABC,∠ACB = 90°,E是棱CC1的中点,F是AB中点,AC =BC =1,AA1 = 1。
(1)求证:CF∥平面AEB1;
(2)求三棱蕉C-AB1E在底面AB1E上的高。
【解】(Ⅰ)证明:取AB1的中点G,联结EG,FG,
F、G分别是AB、AB1中点,
为侧棱的中点,FG∥EC,FG=EC,
所以四边形FGEC是平行四边形 ……4分
G
,CF平面AB1E,平面AB1E 平面AB1E. ……6分
(Ⅱ)三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱,面ABC.
又AC平面ABC, , ∠ACB=90°, ,
平面EB1C, ……8分
……10分
三棱锥的高为 ……12分
84.(本小题满分1 2分)
如图,四边形ABCD中,,AD∥BC,AD =6,BC =4,AB =2,点E、F分别在BC、AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使平面ABCD平面EFDC,设AD中点为P.
( I )当E为BC中点时,求证:CP//平面ABEF
(Ⅱ)设BE=x,问当x为何值时,三棱锥A-CDF的体积有最大值?并求出这个最大值。
【解】
85.【2013南京二模】(本小题满分16分)如图,某广场中间有一块扇形绿地OAB,其中O为扇形所在圆的圆心,,广场管理部门欲在绿地上修建观光小路:在上选一点C,过C修建与OB平行的小路CD,与OA平行的小路CE,问C应选在何处,才能使得修建的道路CD与CE的总长最大,并说明理由.
【解】
86、【2013湖南湘西自治州二次联考】(本小题满分13分)
已知椭圆,的离心率为,右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点,以为底作等腰三角形,顶点为
(1)求椭圆的方程;
(2)求的面积。
【解】
87.【2013青岛一模】(本小题满分12分)
已知,数列满足,数列满足;数列为公比大于的等比数列,且为方程的两个不相等的实根.
(Ⅰ)求数列和数列的通项公式;
(Ⅱ)将数列中的第项,第项,第项,……,第项,……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列,求数列的前项和.
【解】(Ⅰ) ,
……………………………………………3分
因为为方程的两个不相等的实数根.
所以,……………………………………………………………4分
解得:,,所以:……………………………………………………6分
(Ⅱ)由题知将数列中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列中的奇数列与偶数列仍成等比数列,首项分别是,公比均是 …………9分
88.【2013江苏苏锡常镇四市3月调研】(本小题满分16分)
某部门要设计一种如图所示的灯架,用来安装球心为,半径为(米)的球形灯泡.该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成,其中圆弧形灯托,,,所在圆的圆心都是、半径都是(米)、圆弧的圆心角都是(弧度);灯杆垂直于地面,杆顶到地面的距离为(米),且;灯脚,,,是正四棱锥的四条侧棱,正方形的外接圆半径为(米),四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为(弧度).已知灯杆、灯脚的造价都是每米(元),灯托造价是每米(元),其中,,都为常数.设该灯架的总造价为(元) .
(1)求关于的函数关系式;
(2)当取何值时,取得最小值?
【解】
89. 【北京东城区3月联考】((本小题共14分)
已知函数,当时,的值中所有整数值的个数记为.
(Ⅰ)求的值,并求的表达式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和;
(Ⅲ)设,,若对任意的,都有
成立,求的最小值.
【解】(Ⅰ)当时,在上递增,
所以,,.----------------------------2分
因为在上单调递增,
所以,,
从而.------------------4分
(Ⅱ)因为,-------------------5分
所以
.----------------------------6分
当是偶数时,-----7分
;-----------------8分
当是奇数时,
.--------------------------------------------------10分
(Ⅲ),-----------------------------------11分
,
,
错位相减得,-----------12分
所以,.---------------------------------------13分
因为,
若对任意的,都有成立,则,
所以,的最小值为.----------------------------------------14分
90. 【2013郑州二模】
已知函数f(x)=|x—a|
(I)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;
(II)在(I)的条件下,若f(x)+f(x + 5)m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
【解】(Ⅰ)由得,解得.
又已知不等式的解集为,所以,解得.――――4分
(Ⅱ)当时,,设,
于是 ――――6分
所以当时,; 当时,; 当时,.
综上可得,的最小值为5.――――9分
从而若,即对一切实数恒成立,
则的取值范围为(-∞,5].――――10分
91. 【2013吉林市二模】(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知关于的不等式.
(Ⅰ)当时,求此不等式的解集;
(Ⅱ)若此不等式的解集为,求实数的取值范围.
【解】(Ⅰ)解:当时, 不等式为.
由绝对值的几何意义知,不等式的意义可解释为数轴上的点到1,2的距离之和大于
于2.∴或 ∴不等式的解集为. ……5分
注 也可用零点分段法求解.
(Ⅱ)解:∵,
∴原不等式的解集为R等价于, ∴或,又,
∴.
92.(本小题满分14分)已知函数.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线与直线垂直,求实数的值.
(Ⅱ)若,求的最小值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)上求证:.
【解】(Ⅰ)的定义域为,,根据题意有,
所以解得或. ………………………………4分
(Ⅱ)
当时,因为,由得,解得,
由得,解得,
所以函数在上单调递减,在上单调递增; …………………6分
(Ⅲ)由(2)知,当a>0, 的最小值为
令
当
。 …………………14分
93.【2013南京二模】(本小题满分16分)在平面直角坐标系中,椭圆C:过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点在椭圆C上,F为椭圆的左焦点,直线的方程为.
①求证:直线与椭圆C有唯一的公共点;
②若点F关于直线的对称点为Q,求证:当点P在椭圆C上运动时,直线PQ恒过定点,并求出此定点的坐标.
【解】
94.【北京东城区3月联考】(本小题共14分)
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,一个顶点为,且其右焦点到直线的距离等于3.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在经过点,斜率为的直线,使得直线与椭圆交于两个不同的点,并且?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
【解】(Ⅰ)设椭圆的方程为,其右焦点的坐标为.
由已知得.由得,所以.----4分
所以,椭圆的方程为.-------------------------------5分
(Ⅱ)假设存在满足条件的直线,设,
的中点为.---------------------------------------------6分
由得,------------------8分
则,且由得.------------------10分
由得,所以,----------------11分
即,
所以,,将代入解得
,
所以.--------------------------------------------13分
故存在满足条件的直线,其方程为.-------------14分
【注】其它解法酌情给分.
95. 【2013汕头一模】(本小题满分14分)
数列{an}的前Sn项和为存在常数A,B,C,使得an+Sn=A2 +Bn + C对任意正整数 n都成立.
(1)若,C = 1,设bn=an+n,求证:数列{bn}是等比数列;
(2)在(1)的条件下,cn=(2n+1)bn,数列{cn}的前n项和为Tn;,证明:Tn <5;
(3)若C= 0, {an}是首项为1的等差数列,若对任意的正整数n都成立,求实数的取值范围.(注:)
【解】
96【2013洛阳3月二练】(本题满分 12 分)
已知函数.
(1)判断函数是否存在斜率为3的切线,若存在,求出切线方程,若不存在,说明理由;
(2)设函数在点处的切线方程为,求使恒成立的点P的坐标。
【解】
97.【2013南平质检】(本小题满分14分)
如图,设椭圆C:()的离心率,顶点M、N的距离为,
O
y
x
A
M
B
N
O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点.
(ⅰ)试判断点O到直线AB的距离是否为定值.若是请求出这个定值,若不是请说明理由;
(ⅱ)求的最小值.
【解】(Ⅰ)由得………1分
由顶点M、N的距离为,得………2分
又由,解得
所以椭圆C的方程为………4分
(Ⅱ)解法一:(ⅰ)点O到直线AB的距离为定值………5分
设,
① 当直线AB的斜率不存在时,则为等腰直角三角形,不妨设直线OA:
将代入,解得
所以点O到直线AB的距离为;………6分
② 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为与椭圆C:
联立消去得………7分
,………8分
因为,所以,
即………10分
所以,整理得,
所以点O到直线AB的距离
综上可知点O到直线AB的距离为定值………11分
(ⅱ)在Rt中,因为
又因为≤,所以≥………13分
所以≥,当时取等号,即的最小值是………14分
解法二:(ⅰ)点O到直线AB的距离为定值………5分
设,
①当直线OA的斜率为0时,,,此时
同理,当直线OA的斜率不存在时,………6分
②当直线OA的斜率存在且不为0时,设直线OA的方程为与椭圆C:
联立,解得………7分
………8分
同理,………9分
所以………10分
所以,即
综上可知点O到直线AB的距离为定值………11分
(ⅱ)………12分
≥………13分
当且仅当,即时,的最小值是………14分
98.【2013湖北八校二次联考】(本小题满分14分)已知函数,其中是常数且.
(Ⅰ)若时,在区间上单调递增,求的取值范围;
(Ⅱ)当时,讨论的单调性;
(Ⅲ)设是正整数,证明:
.【解】(Ⅰ) ∵,故,∴.
∵当时,是增函数,∴在时恒成立. …2分
即在时恒成立.∵当时,是减函数,
∴当时,∴. ………4分
(II) ,故
,所以 ……5分
当时,,故的减区间为,
增区间为
当时,,故的减区间为,
增区间为 …………9分
(Ⅲ) 由(Ⅰ)知,当时,在是增函数.
∴即,
∵,∴,∴,
即 ………12分
∴
∴ ………14分
99.【2013江南十校联考】(本小题满分13分)巳知直线与圆Cn:x2+y2=2an+n交于不同的两点数列{an}满足:•
(I)求数列{an}的通项公式;
(E)若,求数列{bn}的前n项和Tn
【解】(Ⅰ)圆的圆心到直线的距离,半径
………………4分
又 ……………………………………………6分
(Ⅱ)当为偶数时,
. ………………………………9分
当为奇数时,为偶数,
而,∴. ………………12分
…………………
100.【2013浙江六校联考】 (本题满分15分)
已知抛物线C的方程为,直线l:轴的交点在抛物线C准线的右侧.
(Ⅰ)求证:直线l与抛物线C恒有两个不同交点;
(Ⅱ)已知定点,若直线l与抛物线C的交点为Q、R,满足,是否存在实数, 使得原点到直线l的距离不大于,若存在,求出正实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解】(本题满分15分)
证明:(Ⅰ)由题知,联立,消去x可得
且
所以直线与抛物线恒有两个不同的交点; ………………5分
(Ⅱ)解:设,由(﹡)可得
故
………………8分
(如上各题若有其他解法,均可酌情给分)
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