高考数学一轮复习总教案91　椭　圆 4页

第九章　圆锥曲线与方程 高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 1.了解圆锥曲线的实际背景， 了解圆锥曲线在刻画现实世 界和解决实际问题中的作用； 2.掌握椭圆、抛物线的定义、 几何图形、标准方程及简单性 质； 3.了解双曲线的定义、几何图 形和标准方程，知道它的简单 几何性质； 4.了解圆锥曲线的简单应用； 5.理解数形结合的思想； 6.了解方程的曲线与曲线的 方程的对应关系. 　　本章重点：1.椭圆、双曲 线、抛物线的定义、几何图形、 标准方程及简单性质；2.直线 与圆锥曲线的位置关系问题； 3.求曲线的方程或曲线的轨 迹；4.数形结合的思想，方程 的思想，函数的思想，坐标法. 本章难点：1.对圆锥曲线的定 义及性质的理解和应用；2.直 线与圆锥曲线的位置关系问 题；3.曲线与方程的对应关系. 　　圆锥曲线与函数、方程、 不等式、三角形、平面向量等 知识结合是高考常考题型.极 有可能以一小一大的形式出 现，小题主要考查圆锥曲线的 标准方程及几何性质等基础 知识、基本技能和基本方法运 用；解答题常作为数学高考的 把关题或压轴题，综合考查学 生在数形结合、等价转换、分 类讨论、逻辑推理等方面的能 力. 知识网络 9.1　椭　圆 典例精析 题型一　求椭圆的标准方程 【例 1】已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为4 5 3 和 2 5 3 ，过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】由椭圆的定义知，2a＝4 5 3 ＋2 5 3 ＝2 5，故 a＝ 5， 由勾股定理得，(4 5 3 )2－(2 5 3 )2＝4c2，所以 c2＝5 3，b2＝a2－c2＝10 3 ， 故所求方程为x2 5 ＋3y2 10 ＝1 或3x2 10 ＋y2 5 ＝1. 【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时， 需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0 且 m≠n)； (2)在求椭圆中的 a、b、c 时，经常用到椭圆的 定义及解三角形的知识. 【变式训练 1】已知椭圆 C1 的中心在原点、焦点在 x 轴上，抛物线 C2 的顶点在原点、焦 点在 x 轴上.小明从曲线 C1，C2 上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标 (x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆 C1 上，也不在抛物线 C2 上.小明的 记录如下： 据此，可推断椭圆 C1 的方程为　　　　　. 【解析】方法一：先将题目中的点描出来，如图，A(－2,2)，B(－ 2，0)，C(0， 6)，D(2，－ 2 2)，E(2 2， 2)，F(3，－2 3). 通过观察可知道点 F，O，D 可能是抛物线上的点.而 A，C，E 是椭圆上的点，这时正 好点 B 既不在椭圆上，也不在抛物线上. 显然半焦距 b＝ 6，则不妨设椭圆的方程是x2 m＋y2 6 ＝1，则将点 A(－2,2)代入可得 m＝12，故该椭圆的方程是x2 12＋y2 6 ＝1. 方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭 圆简单一些. 不妨设有两点 y21＝2px1，①y22＝2px2，②y21 y22＝x1 x2， 则可知 B(－ 2，0)，C(0， 6)不是抛物线上的点. 而 D(2，－2 2)，F(3，－2 3)正好符合. 又因为椭圆的交点在 x 轴上，故 B(－ 2，0)，C(0，6)不可能同时出现.故选用 A(－2,2)，E(2 2， 2)这两个点代入，可得椭圆的方程是x2 12＋y2 6 ＝1. 题型二　椭圆的几何性质的运用 【例 2】已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关. 【解析】(1)设椭圆的方程为x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2 中， 由余弦定理可知 4c2＝m2＋n2－2mncos 60°， 因为 m＋n＝2a，所以 m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn， 所以 4c2＝4a2－3mn，即 3mn＝4a2－4c2. 又 mn≤(m＋n 2 )2＝a2(当且仅当 m＝n 时取等号)， 所以 4a2－4c2≤3a2，所以c2 a2≥1 4， 即 e≥1 2，所以 e 的取值范围是[1 2，1). (2)由(1)知 mn＝4 3b2，所以 ＝1 2mnsin 60°＝ 3 3 b2， 即△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关. 【点拨】椭圆中△F1PF2 往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面 积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如 |PF1|·|PF2|≤(|PF1|＋|PF2| 2 )2，|PF1|≥a－c. 【变式训练 2】已知 P 是椭圆x2 25＋y2 9 ＝1 上的一点，Q，R 分别是圆(x＋4)2＋y2＝1 4和圆 (x－4)2＋y2＝1 4上的点，则|PQ|＋|PR|的最小值是　　　　. 【解析】设 F1，F2 为椭圆左、右焦点，则 F1，F2 分别为两已知圆的圆心， 则|PQ|＋|PR|≥(|PF1|－1 2)＋(|PF2|－1 2)＝|PF1|＋|PF2|－1＝9. 所以|PQ|＋|PR|的最小值为 9. 题型三　有关椭圆的综合问题 21FPFS 【例 3】设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过 F1 斜率为 1 的直 线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列. (1)求 E 的离心率； (2)设点 P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求 E 的方程. 【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a， 又 2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝4 3a. l 的方程为 y＝x＋c，其中 c＝ a2－b2. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点坐标满足方程组 化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0， 则 x1＋x2＝ －2a2c a2＋b2，x1x2＝a2(c2－b2) a2＋b2 . 因为直线 AB 斜率为 1，所以|AB|＝ 2|x2－x1|＝ 2[(x1＋x2)2－4x1x2]， 即 4 3a＝ 4ab2 a2＋b2，故 a2＝2b2， 所以 E 的离心率 e＝c a＝ a2－b2 a ＝ 2 2 . (2)设 AB 的中点为 N(x0，y0)，由(1)知 x0＝x1＋x2 2 ＝ －a2c a2＋b2＝－2 3c，y0＝x0＋c＝c 3.[来源:1] 由|PA|＝|PB|⇒kPN＝－1，即y0＋1 x0 ＝－1⇒c＝3. 从而 a＝3 2，b＝3，故 E 的方程为x2 18＋y2 9 ＝1. 【变式训练 3】已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的离心率为 e，两焦点为 F1，F2，抛物线以 F1 为顶点，F2 为焦点，P 为两曲线的一个交点，若|PF1| |PF2|＝e，则 e 的值是(　　) A. 3 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 6 3 【解析】设 F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，则椭圆左准线 x＝－a2 c ，抛物线准线为 x＝ －3c，x0－(－a2 c )＝x0－(－3c)⇒c2 a2＝1 3⇒e＝ 3 3 .故选 B. 总结提高 1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要 防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定 a、 b 的 值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)求 解. 2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆 上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.    =+ += .1 , 2 2 2 2 b y a x cxy 3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾 此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围. 天星 1 来源：天星教育 Tesoon [来源:学#科#网 Z#X#X#K] www.zxxk.com 来源：天~星~教~育~网