高考数学题库新附加题随机变量及其概率分布 23页

高考数学题库(新)-附加题(随机变量及其概率分布)‎ ‎1．一个袋中装有黑球，白球和红球共n()个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球． ‎ ‎（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量的概率分布及数学期望；‎ ‎（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少?‎ 解：（1）设袋中黑球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，则．∴． ……………………………………1分 设袋中白球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，则， ∴， ∴或(舍)． ‎ ‎∴红球的个数为(个)． ………………………3分 ‎∴随机变量的取值为0，1，2，分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 的数学期望． …………6分 ‎（2）设袋中有黑球个，则…）．‎ 设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，‎ 则， …………………………………8分 当时，最大，最大值为．…………………………………10分 ‎2.某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8∶00，8∶20，8∶40这三个时刻随机发出，且在8∶00发出的概率为，8∶20发出的概率为，8∶40发出的概率为；第二班客车在9∶00，9∶20，9∶40这三个时刻随机发出，且在9∶00发出的概率为，9∶20发出的概率为，9∶40发出的概率为．两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计8∶10到站．‎ 求：（1）请预测旅客乘到第一班客车的概率；‎ ‎ （2）旅客候车时间的分布列；（3）旅客候车时间的数学期望．‎ ‎ 解：（1）第一班若在8∶20或8∶40发出，则旅客能乘到，其概率为P=+=．… 3分 ‎（2）旅客候车时间的分布列为：‎ 候车时间（分）‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎90‎ 概率 × × × ‎ ……6分 ‎（3）候车时间的数学期望为：10×＋30×＋50×＋70×＋90× ‎=5＋＋＋＋=30． ………………………………………9分 答：这旅客候车时间的数学期望是30分钟．………………………………… 10分 ‎3．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.‎ ‎（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望E；‎ ‎（2）求恰好得到n分的概率．‎ ‎【解】（1）所抛5次得分的概率为P(＝i)= (i=5，6，7，8，9，10)，‎ 其分布列如下：‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P E== (分) . ……………………5分 ‎（2）令pn表示恰好得到n分的概率. 不出现n分的唯一情况是得到n－1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n分”的概率是1－pn，“恰好得到n－1分”的概率是pn－1，‎ 因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有1－pn=pn－1， ……………………7分 即pn－=－.‎ 于是是以p1－=－=－为首项，以－为公比的等比数列. ‎ 所以pn－=－，即pn＝. ‎ 答：恰好得到n分的概率是. …………………10分 ‎4.计算机考试分理论考试与上机操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为，，；在上机操作考试中合格的概率分别为，，．所有考试是否合格相互之间没有影响．‎ ‎（1）甲、乙、丙三人在同一次计算机考试中谁获得“合格证书”可能性最大？‎ ‎（2）求这三人计算机考试都获得“合格证书”的概率；‎ ‎（3）用表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数，求的分布列和数学期望．‎ 解：记“甲理论考试合格”为事件，“乙理论考试合格”为事件，“丙理论考试合格”为事件， 记为的对立事件，；记“甲上机考试合格”为事件，“乙上机考试合格”为事件，“丙上机考试合格”为事件．‎ ‎（1）记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A，记“乙计算机考试获得合格证书”为事件B，记“丙计算机考试获得合格证书”为事件C，‎ 则，，，有，‎ 故乙获得“合格证书”可能性最大； ………………………………3分 ‎（2）记“三人该课程考核都合格” 为事件．‎ ‎=×××××=，‎ 所以，这三人该课程考核都合格的概率为． …………………6分 ‎（3）用表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数，则可以取0，1，2，3，‎ 故的分布列如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎………8分 ‎3‎ P（）‎ 的数学期望： =0×+1×+2×+3×=……………10分 ‎5．下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的，，，．游戏规则如下：‎ ‎① 当指针指到Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分； ‎ ‎② （ⅰ）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束；‎ ‎（ⅱ）若参加该游戏转一次获得的积分是40分，‎ 则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束．‎ Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅳ Ⅲ Ⅲ Ⅳ ‎（第23题）‎ 设某人参加该游戏一次所获积分为．‎ ‎（1）求的概率；（2）求的概率分布及数学期望．‎ 解：（1）事件“”包含：“首次积分为0分”和“首次积分为40分 ‎ 后再转一次的积分不高于40分”，且两者互斥，‎ ‎ 所以； ‎ ‎（2）的所有可能取值为0，10，40，100，‎ 由（1）知， 又，‎ ‎， ，‎ 所以的概率分布为：‎ ‎0‎ ‎10‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎ 因此，（分）． ‎ ‎6． 某射击运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6．击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．‎ ‎（1）若射击4次，每次击中目标的概率为且相互独立．设表示目标被击中的次数，求的分布列和数学期望；‎ ‎（2）若射击2次均击中目标，表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求事件发生的概率．‎ 解：（1）依题意知，的分布列 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 数学期望=（或=）．‎ ‎（2）设表示事件“第一次击中目标时,击中第部分” ，，‎ 表示事件“第二次击中目标时,击中第部分”, ．‎ 依题意，知,,‎ ‎, 所求的概率为 ‎=‎ ‎=．‎ 答：事件的概率为0.28．…‎ 另解：记“第一部分至少击中一次”为事件，“第二部分被击中二次”为事件，‎ 则，．…………………7分 ‎． 答：事件发生的概率为0.28．…10分 ‎7．（1）山水城市镇江有“三山”—— 金山，焦山，北固山，一位游客游览这三个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这三个景点相互独立，用表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求的分布列和数学期望；‎ ‎（2）某城市有（为奇数，≥3）个景点，一位游客游览每个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这个景点相互独立，用表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求的数学期望.‎ 解：（1）游客游览景点个数为0，1，2，3.可能取值为：1，3. ……1分 ‎； ‎ ‎.‎ ‎1‎ ‎3‎ 的分布列为：‎ ‎……3分 ‎ ‎ ‎. ……4分 ‎（2）当N时，游客游览景点个数可能为：0，1，2，……，.‎ 可能取值为：1，3，5，……，. ……5分 ‎；‎ ‎；‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎ ……6分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……7分 ‎，‎ ‎…8分 ‎ ‎ ‎ ……9分 答：的数学期望为. ……10分 ‎8．某射击小组有甲、乙两名射手, 甲的命中率为, 乙的命中率为, 在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测, 在一次检测中, 若两人命中次数相等且都不少于一发, 则称该射击小组为“先进和谐组”.‎ (1) 若, 求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；‎ (2) 计划在2013年每月进行1次检测, 设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为, 如果, 求的取值范围.‎ 解: (1)可得………………4分 ‎(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为 ‎,而～,‎ 所以,‎ 由,知,解得………10分 ‎9．甲乙两人进行一场不超过10局的比赛．规定：每一局比赛均分出胜负，且胜者得1分，负者得0分；每人得分按累加计分；比赛中一人的得分比另一人高出2分则赢得比赛，比赛结束，否则10局后结束比赛；各局比赛的结果是相互独立的．已知每局比赛甲获胜的概率为p(0 < p < 1)，比赛经ξ局结束．‎ ‎（1）当时，求概率P(ξ=4)；‎ ‎（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．‎ ‎【解】（1）（1）表示4局后比赛结束，即第1，2两局甲乙各胜一局，第3，4两局甲连胜或乙连胜．‎ ‎ 所以当时，．‎ ‎（2）用表示k局后比赛结束的概率．‎ ‎ 若k为奇数，则甲乙得分之差亦为奇数，所以ξ必为偶数．‎ ‎ 考虑连续两局比赛结果：(记)‎ ‎ （i）甲连胜或乙连胜两局（称为有胜负的两局），则此结果发生的概率为p2+q2；‎ ‎ （ii）甲乙各胜一局（称为无胜负的两局），有两种情况，则此结果发生的概率为2pq．‎ ‎ 由经k局比赛结束知，第1，2两局；第3，4两局；…；第k－3，k－2两局均未分胜负．‎ ‎ 若k≠10，则第k－1，k两局为有胜负的两局，从而有 ‎ ．‎ ‎ 若k＝10，比赛必须结束，所以P(ξ =10)＝(2pq)4．‎ ‎ 则ξ的分布列为 ξ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ P p2+q2‎ ‎2pq (p2+q2)‎ ‎4 p2q 2 (p2+q2)‎ ‎8 p3q 3 (p2+q2)‎ ‎16 p4q 4‎ ‎ ξ的数学期望为 ‎，其中．‎ ‎10．设为随机变量，从侧面均是等边三角形的正四棱锥的8条棱中任选两条，为这两条棱所成的角．（1）求概率；‎ ‎ （2）求的分布列，并求其数学期望E()．‎ 解：（1）从正四棱锥的8条棱中任选两条，共有种不同方法，‎ 其中“”包含了两类情形：‎ ‎①从底面正方形的4条棱中任选两条相邻的棱，共有4种不同方法;‎ ‎②从4条侧棱中选两条，共有2种不同方法，‎ 所以； …… 4分 ‎（2）依题意，的所有可能取值为0，，，‎ ‎ “”包含了从底面正方形的4条棱中任选两条对棱，共2种不同方法；‎ 所以； …… 6分 从而， …… 8分 所以的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ 数学期望E()． …… 10分 ‎11． 在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为，，，4，现从这个盒 ‎ ‎ 子中有放回地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x，y，记ξ＝|x－y|．‎ ‎（1）求P(ξ＝1)；‎ ‎（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．‎ 解析：（1）； ‎ ‎ （2）的所有取值为0, 1，2，3． ‎ ‎ ，，,． ‎ ‎ 则随机变量的分布列为 ‎ ‎3‎ ‎ 的数学期望． ‎ ‎12．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量ξ是这两点间的距离．‎ ‎ （1）求概率； （2）求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ )．‎ ‎【解】（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有种．‎ 因为正方体的棱长为1，所以其面对角线长为，‎ 正方体每个面上均有两条对角线，所以共有条．‎ 因此． …………………3分 ‎（2）随机变量的取值共有1，，三种情况．‎ 正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是．…………5分 从而． …………7分 所以随机变量的分布列是 ‎1‎ P()‎ ‎…………………………………………8分 因此． ………10分 ‎13．甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，此时比赛结束．设各局比赛相互之间没有影响．令X为本场比赛的局数，求X的概率分布和数学期望．‎ 解：单局比赛甲队胜乙队的概率为，乙队胜甲队的概率为1－＝．‎ 比赛三局结束有两种情况：甲队胜三局或乙队胜三局，因而 P(X＝3)＝()3＋()3＝； …………3分 比赛四局结束有两种情况：前三局中甲队胜2局，第四局甲队胜；或前三局中乙队胜2局，第四局乙队胜，因而P(X＝4)＝C()2××＋C()2××＝； …………6分 解法一：‎ 比赛五局结束有两种情况：前四局中甲队胜2局，乙队胜2局、第五局中甲队胜或乙队胜，因而 P(X＝5)＝C()2×()2×＋C()2×()2×＝C()2×()2＝；‎ 所以X的概率分布表为 X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P E(X)＝3×＋4×＋5×＝． …………10分 解法二：‎ P(X＝5)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝；‎ 所以X的概率分布表为 X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P E(X)＝3×＋4×＋5×＝． …………10分 ‎14． 某工厂生产甲、乙两种电子产品，甲产品的正品率为80%，次品率为20%；乙产品的正品率为90%，次品率为10%.生产1件甲产品，若是正品则可盈利4万元，若是次品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是正品则可盈利6万元，若是次品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．‎ ‎（1）记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布 列与数学期望；‎ ‎（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．‎ 解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，－3，且 P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72， P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，‎ P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08， P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎－3‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎10‎ P ‎0.02‎ ‎0.08‎ ‎0.18‎ ‎0.72‎ ‎∴E(X)＝－3×0.02＋2×0.08＋5×0.18＋10×0.72＝8.2 ………………………………6分 ‎（2）设生产的4件甲产品中正品有n件，则次品有4－n件．‎ 由题意知4n－(4－n)≥10，解得n≥．‎ 又n∈N*，得n＝3，或n＝4.‎ 所以P＝C·0.83·0.2＋C·0.84＝0.819 2.‎ 故所求概率为0.819 2． ………………………………10分 ‎15．一位环保人士种植了棵树，已知每棵树是否成活互不影响，成活率均为，设表示他所种植的树中成活的棵数，的数学期望为，方差为． ‎ ‎（1）若，求的最大值；‎ ‎（2）已知，标准差，求的值并写出的分布列．‎ 解：（1）当=1，=0，1，于是的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎∴=0×()+1×=．‎ ‎∴‎ 即当时，有最大值． ‎ ‎（2）∵ ， ∴‎ ‎∴ ，∴‎ ‎∴ (=0，1，2，3，4)， ‎ 即的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎16．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有 ‎5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．‎ ‎（1）求文娱队的队员人数；‎ ‎（2）写出的概率分布列并计算．‎ ‎22．解：设既会唱歌又会跳舞的有人，‎ 则文娱队中共有（）人，只会一项的人数是（）人．……………2分 ‎（1）∵，∴，即．‎ ‎∴，解得． ‎ 故文娱队共有5人． ………5分 ‎（2），， ………7分 的概率分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∴． ……10分 ‎17．甲箱子里装有1个白球和2个红球，乙箱子里装有2个白球和3个红球. 这些球除颜色外完全相同.‎ ‎（1）从这两个箱子里各随机摸出两个球，共得四球，记其中红球的个数为，求的概率.‎ ‎（2）把甲乙两个箱子里的球全部放到箱子丙中，从箱子丙里有放回 的摸出3个球，记摸到的红球的个数为，求的分布列及数学期望.‎ 解：（1）设“从这两个箱子里各随机摸出两个球，红球的个数为‎2”‎为事件,‎ 则. ………………4分 ‎(2)由题意可知的所有可能值为0，1，2，3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以的分布列为 Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 的数学期望为.…………10分 ‎18.如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）‎ （1） 求V=0的概率； (2) 求V的分布列及数学期望 引例：（2012年江苏高考22题）设为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，（Ⅰ）求概率；（Ⅱ）求的分布列，并求其数学期望.‎ ‎（1）考虑到图形的对称性，不妨先取定第一条，然后再考虑其他的边。‎ 故；‎ ‎（2）的可能取值为，其中；；‎ 则 ‎19．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量ξ是这两点间的距离．‎ ‎（1）求概率； （2）求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ )．‎ ‎【解】（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有种．‎ 因为正方体的棱长为1，所以其面对角线长为，‎ 正方体每个面上均有两条对角线，所以共有条．‎ 因此． …………………………3分 ‎（2）随机变量的取值共有1，，三种情况．‎ 正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是．……………… 5分 从而． ……………7分 所以随机变量的分布列是 ‎1‎ P()‎ ‎……………………8分 因此． …………………………10分 ‎20．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下： ①该福利彩票中奖率为；②每张中奖彩票的中奖奖金有元，元和元三种；③顾客购买一张彩票获得元奖金的概率为，获得元奖金的概率为.‎ ‎（1）假设某顾客一次性花元购买张彩票,求该顾客中奖的概率；‎ ‎（2）设福彩中心卖出一张彩票获得的资金为元，求的概率分布（用表示）；‎ ‎（3）为了能够筹得资金资助福利事业, 求的取值范围.‎ 解: （1）设至少一张中奖为事件，‎ 则顾客中奖的概率；‎ ‎（2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为元，‎ 则可以取，的分布列为：‎ ‎（3）由（2）的期望为 ‎ ‎， ‎ 福彩中心能够筹得资金，即，‎ 所以当时，福彩中心可以获取资金资助福利事业. ‎ ‎21．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题．规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选．‎ ‎（1）求乙得分的分布列和数学期望；‎ ‎（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．‎ 解：（1）设乙答题所得分数为，则的可能取值为． ‎ ‎ ； ；‎ ‎； ． ‎ 乙得分的分布列如下：‎ ‎． ‎ ‎（2）由已知甲、乙至少答对题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件.‎ 则 ，． ‎ 故甲乙两人至少有一人入选的概率 ‎ ‎22．已知从“神六”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败.若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值.‎ ‎（1）求随机变量ξ的数学期望E(ξ)；‎ ‎（2）记“函数f(x)= x2－x-1在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，‎ 求事件A发生的概率P（A）．‎ ‎（1）由题意知：ξ的可能取值为0，2，4．‎ ‎“=‎0”‎指的是实验成功2次 ，失败2次；.‎ ‎ “ξ=‎2”‎指的是实验成功3次 ，失败1次或实验成功1次 ，失败3次； ‎ ‎ “=‎4”‎指的是实验成功4次 ，失败0次或实验成功0次 ，失败4次；‎ ‎.‎ ‎.‎ 故随机变量ξ的数学期望E(ξ)为.‎ ‎（2）由题意知：f(2)f(3)=(3-2)(8-3)，故 .‎ ‎，故事件A发生的概率P（A）为.‎ ‎23．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，‎ 记所得数字分别为x，y．设为随机变量，若为整数，则；若为小于1的分数，‎ 则；若为大于1的分数，则．‎ ‎（1）求概率；（2）求的分布列，并求其数学期望．‎ 解：（1）依题意，数对（x，y）共有16种，其中使为整数的有以下8种：‎ ‎（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），‎ 所以； ‎ ‎（2）随机变量的所有取值为，，，‎ 有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），‎ 故；‎ 有以下2种：（3，2），（4，3）， 故；‎ ‎0‎ ‎1‎ 所以的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎，‎ 答：的数学期望为． ‎ ‎24．某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立. 又知电梯只在有人下时才停止.‎ ‎（1）求某乘客在第层下电梯的概率 ；‎ ‎（2）求电梯在第2层停下的概率；‎ ‎（3）求电梯停下的次数的数学期望.‎ 解：（1）； （2） ‎ ‎（3）可取1、2、3、4四种值 ‎； ；‎ ‎；‎ 故的分别列如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ ‎ ‎∴‎ ‎25．在2015年春运期间，一名大学生要从南京回到徐州老家有两种选择，即坐火车或汽车.已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到.若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票.‎ ‎（1）求这名大学生先去买火车票的概率；‎ ‎（2）若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱为，‎ 求的数学期望值.‎ 解：（1）设先去买火车票的概率为P（A），先去买汽车票的概率为P（B），‎ 则由条件可知，解得.‎ 即先去买火车票的概率为0.75. …………………………………………5分 ‎ （2）该大学生首先到火车站且买到火车票的概率为 ‎∴该大学生买汽车票的概率为 设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，可得ξ的分布表为：‎ ξ ‎120‎ ‎280‎ P ‎0.45‎ ‎0.55‎ ‎∴该大学生购买车票所花费钱数的期望值为 ‎ …………………………………………10分 ‎26．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)=x，f2(x)=x2，f3(x)=x3，f4(x)=sinx，f5(x)=cosx，f6(x)=2．‎ ‎（1‎ ‎）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；‎ ‎（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．‎ 解：（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知 ………………………………4分 ‎（2）ξ可取1，2，3，4． ，‎ ‎ ；………………8分 ‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ ‎ ‎ 答：ξ的数学期望为 …………10分 ‎27. 某高中高一高二联合组织一场乒乓球赛,其中报名参赛的高一选手不超过7人,高二选手比高一选手恰多9人.比赛采用单循环制,即每两位选手间赛一场,胜者得1分,负者不得分.比赛结束,高二选手的总积分恰好是高一选手总积分的9倍.若高一有n位选手,甲是其中积分最高的选手.‎ ‎(1) 求n;‎ ‎(2) 甲最多可能得多少分?至少可以得多少分?‎ ‎28． 某同学参加政治、历史、生物、地理四门学科的学业水平测试，假设该同学历史学科测试成绩为的概率为，其余三门学科测试成绩为的概率均为，且四门学科测试成绩是否为相互独立．‎ ‎（1）求该同学恰有两门学科测试成绩为的概率；‎ ‎（2）设四门学科中测试成绩为的门数为，求的分布列及数学期望．‎ 解：（1）设事件分别表示“该同学政治、历史、生物、地理四门学科测试成绩为” ． 则．‎ ‎ （1）该同学恰有两门学科测试成绩为的概率是 ‎ ‎ ‎ ．------------------------------------5分 ‎ （2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4． ‎ ‎ 所以，‎ ‎ ．‎ ‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的数学期望． -----------------------10分 ‎29． (本小题满分10分)‎ 袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．‎ ‎（1）求袋中原有白球的个数；‎ ‎（2）求随机变量X的概率分布及数学期望．‎ 解：（1）设袋中原有个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，‎ ‎ 由题意知=，即，化简得．‎ 解得或（舍去） 故袋中原有白球的个数为6. ‎ ‎ （2）由题意，X的可能取值为1，2，3，4.‎ ‎ ； ；‎ ‎ ；. ‎ ‎ 所以取球次数X的概率分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ 所求数学期望为E（X）=1+2+3+4= ‎ ‎30．某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．‎ ‎（1）求恰有2人申请A大学的概率；‎ ‎（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．‎ 解（1）记“恰有2人申请A大学”为事件A， ‎ P(A)＝＝＝． ‎ 答：恰有2人申请A大学的概率为． ……………4分 ‎（2）X的所有可能值为1，2，3．‎ P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝＝，‎ P(X＝3)＝＝＝．‎ X的概率分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝． ……………………10分 ‎ 31. 从集合中，抽取三个不同元素构成子集 ‎（1）求对任意的 ‎（2）若成等差数列，设其公差为求随机变量的分布列与数学期望。‎ 解：(Ⅰ)基本事件数为，满足条件，及取出的元素不相邻，则用插空法，有种，故所求事件的概率是 ……………… 4分 ‎（Ⅱ）分析三数成等差的情况：‎ ‎ 的情况有7种，123，234，345，456，567，678，789‎ ‎ 的情况有5种，135，246，357，468，579‎ ‎ 的情况有3种，147，258，369‎ ‎ 的情况有1种，159‎ 分布列是 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎． 10分 ‎32．如图，圆周上有n个固定点，分别为A1，A2，…，An（n，n≥2），在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为an．‎ ‎（1）写出a2，a3，a4的值； （2）写出an的表达式，并用数学归纳法证明．‎ 解：（1）a2 = 6，a3 = 6，a4 = 18． ………… 3分 ‎（2）．（*） ………… 5分 证明如下：① 当n = 2时，a2 = 6，符合（*）式．‎ ‎② 假设当n = k时，（*）式成立，即成立， ‎ 那么n = k + 1时，‎ 因为A1有3种标法，A2有2种标法，…，Ak有2种标法，‎ Ak+1 若仅与Ak不同，则有2种标法：‎ 一种与A1数不同，符合要求，有ak + 1 种；‎ 一种与A1数相同，不符合要求，但相当于k 个点的标法总数，有ak 种．‎ 则有． ………… 8分 ‎∴．‎ 即n = k+1时，（*）式也成立．‎ 由①②知（*）式成立，即证． ………… 10分 ‎33． 甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．‎ ‎（1）求甲同学至少有4次投中的概率；（2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望．‎ 解：（1）设甲同学在5次投篮中，有次投中，“至少有4次投中”的概率为，则 ‎ …………………2分 ‎==． …………………4分 ‎（2）由题意．‎ ‎，，，，‎ ‎．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 的分布表为 ‎…………8分 的数学期望． ……10分 ‎34. 口袋中有个白球，3个红球。依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么 继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球。记取球的次数为X。若 ‎，求：（1）n的值；（2）X的概率分布与数学期望。‎ 解：（1）由题知 …………‎ ‎（2）由题知，X的可能取值为1，2，3，4，所以 所以，X的概率分布表为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以 答：X的数学期望是 ………………10分 ‎35．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，‎ 比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.‎ ‎（1）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； （2）求比赛局数X的分布列和数学期望E(X)．‎