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- 2021-05-13 发布
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专题达标检测
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x2
解析：∁RB＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，又A∪(∁RB)＝R.数轴上画图可得a≥2，故选C.
答案：C
2．已知命题p：≤2x≤，命题q：x＋∈，则下列说法正确的是 ( )
A．p是q的充要条件
B．p是q的充分不必要条件
C．p是q的必要不充分条件
D．p是q的既不充分也不必要条件
解析：≤2x≤⇒－2≤x≤－1，即x∈[－2，－1]
而若x＋∈，则x∈[－2，－]．
又[－2，－1].
∴p是q的充分不必要条件．
答案：B
3．(2010·湖南)dx等于 ( )
A．－2ln 2 B．2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2
解析：∵dx＝ln x|＝ln 4－ln 2＝ln 22－ln 2＝2ln 2－ln 2＝ln 2.
答案：D
4．(2010·课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
解析：∵f(x)＝x3－8(x≥0)且f(x)是偶函数；
∴f(x)＝
∴
或⇒或
解得x>4或x<0，故选B
答案：B
5．(2010·浙江)设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是
( )
A．[－4，－2] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[2,4]
解析：∵f(0)＝4sin 1>0，
f(2)＝4sin 5－2<0，
∴函数f(x)在[0,2]上存在零点；
∵ f(－2)＝－4sin 1＋1<0，
∴函数f(x)在[－2,0]上存在零点；
又∵2<－<4，
f＝4－>0，
而f(2)<0，∴函数f(x)在[2,4]上存在零点．故选A.
答案：A
6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如右图所示，且|x1|<|x2|，则有 ( )
A．a>0，b>0，c<0，d>0
B．a<0，b>0，c<0，d>0
C．a<0，b>0，c>0，d>0
D．a>0，b<0，c>0，d<0
解析：因f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意可知导函数f′(x)的图象如右图所示，所以
a<0，c>0，－<0，则b<0，由原函数图象可知d>0.
答案：C
二、填空题
7．已知函数f(x)＝ax4＋bcos x－x，且f(－3)＝7，则f(3)的值为________．
解析：设g(x)＝ax4＋bcos x，则g(x)＝g(－x)．由f(－3)＝g(－3)＋3，得g(－3)＝f(－
3)－3＝4，所以g(3)＝g(－3)＝4，所以f(3)＝g(3)－3＝4－3＝1.
答案：1
8．已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k>0)的单调减区间是(0,4)，则k的值是________．
解析：f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x
∵函数的单调减区间是(0,4)，∴f′(4)＝0，∴k＝.
答案：
9．(2010·烟台模拟)已知函数f(x)的值域为[0,4](x∈[－2，2])，函数g(x)＝ax－1，x∈
[－2,2]，任意x1∈[－2,2]，总存在x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则实数a的取
值范围是________．
解析：由题意知[0,4]是g(x)值域的子集．
而g(x)的值域为[－2|a|－1,2|a|－1]．
显然－2|a|－1<0，故只需2|a|－1≥4，即|a|≥，
∴a≥或a≤－.
答案：a≥或a≤－
10．(2010·潍坊模拟)给出定义：若m－0，解得A＝(－4,2)，
又y＝x＋＝(x＋1)＋－1，
所以B＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
所以A∩B＝(－4，－3]∪[1,2)．
(2)因为∁RA＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)．
由(x＋4)≤0，知a≠0.
①当a>0时，由(x＋4)≤0，得C＝，不满足C⊆∁RA；
②当a<0时，由(x＋4)≥0，得C＝(－∞，－4)∪，欲使C⊆∁RA，则≥2，
解得－≤a<0或00.
故当x≥0时，有(x＋c)2－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0.
即当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2
(2)解：由(1)知，c≥|b|.当c>|b|时，有M≥＝＝.
令t＝，则－1|b|时，M的取值集合为.
当c＝|b|时，由(1)知，b＝±2，c＝2.此时f(c)－f(b)＝－8或0，c2－b2＝0，从而f(c)
－f(b)≤(c2－b2)恒成立．
综上所述，M的最小值为.
13．(2009·湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米．余下工程只需建
两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x
米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥
墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)用m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
解：(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝－1，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋
1)(2＋)x＝256＋(2＋)x＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
00，f(x)在区间(64,640)内为增函数．所以f(x)在x＝64处取得
最小值．此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小
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