三维设计广东文人教版2014高考数学第一轮复习考案 空间中的垂直关系 文 4页

第54课 空间中的垂直关系 ‎ ‎1．（2019东城二模）给出下列命题：‎ ‎① 如果不同直线、都平行于平面，则、一定不相交；‎ ‎② 如果不同直线、都垂直于平面，则、一定平行；‎ ‎③ 如果平面互相平行，若直线，直线，则//；‎ ‎④ 如果平面互相垂直，且直线、也互相垂直，若则．‎ 则真命题的个数是（ ）‎ A．3 B．‎2 ‎ C．1 D．0‎ ‎【答案】C ‎【解析】只有②为真命题．‎ ‎2．（2019汕头二模）设、是不同的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ ‎ A．若，则 B．若，则 ‎ ‎ C．若，则 D．若，则 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，∴，∵，∴．‎ ‎3．（2019湖南高考）如图，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，∥，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积．‎ 国^教*~育出#版%【解析】（1）∵平面，‎ 平面，∴．‎ 又，，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面PAC，∴．‎ ‎（2）设和相交于点，连接，‎ 由（1）知，平面，‎ ‎∴是直线和平面所成的角，‎ 由平面，平面，知．‎ 在中，由，得．‎ ‎∵四边形为等腰梯形，，‎ ‎∴均为等腰直角三角形，‎ 从而梯形的高为 于是梯形面积 在等腰三角形中，‎ 故四棱锥的体积为 ‎4．（2019广东高考）如图所示，在四棱锥中，平面，∥，，是中点，是上的点，且，为中边上的高．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，，，求三棱锥的体积；‎ ‎（3）证明：平面．‎ ‎【解析】（1）证明：∵平面，平面，‎ ‎∵为中边上的高，∴，‎ ‎∵，∴平面．‎ ‎（2）∵是中点，‎ ‎ ∴点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，‎ ‎（3）取的中点，连结、，‎ ‎∵是中点，‎ ‎∴∥且，‎ ‎ 又∵∥且，‎ ‎∴∥且，‎ ‎∴四边形是平行四边形，∴∥．‎ ‎∵平面，∴，‎ 又∵，∴‎ ‎∵P，∴平面 ‎∵∥，∴平面.‎ ‎5．（2019江苏高考）如图，在直三棱柱中，，分别是棱 上的点（点 不同于点），且为的中点．‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎ （2）直线平面．‎ ‎【证明】（1）∵是直三棱柱，‎ ‎∴平面．‎ 又∵平面，∴．‎ 又∵,，‎ ‎∴平面．‎ 又∵平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎ （2）∵，为的中点，∴．‎ ‎ 又∵平面，平面，∴．‎ ‎ 又∵，∴平面．‎ ‎ 由（1）知，平面，∴∥．‎ ‎ 又∵平面平面，‎ ‎∴直线平面．‎ ‎6．（2019广州一模）如图所示，在三棱锥中，，平面平面，于点， ，，．‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）证明为直角三角形．‎ ‎【解析】（1）证明：∵平面平面，‎ 平面平面， ‎ 平面，，‎ ‎∴平面． ‎ 记边上的中点为，如图：‎ 在中，，∴．‎ ‎∵，∴三棱锥的体积 ‎（2）连接，在中，‎ 在△中，，，，‎ 由（1）知平面，‎ ‎∵平面，∴．‎ ‎ ∵， ∴平面． ‎ ‎ ∵平面，∴． ‎ ‎∴为直角三角形． ‎