高考数学分类详解平面向量 13页

‎2007年高考数学试题分类详解 平面向量 一、选择题 ‎1．（全国1文理）已知向量，，则与 www.xkb123.com A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 解．已知向量，，，则与垂直，选A。 www.xkb123.com ‎2、（山东文5）已知向量，若与垂直，则（ ）‎ A． B． C． D．4‎ ‎【答案】:C【分析】：，由与垂直可得：‎ ‎， 。‎ ‎3、（广东文4理10）若向量满足，的夹角为60°，则=______；‎ 答案：；‎ 解析：，‎ ‎4、（天津理10） 设两个向量和其中为实数.若则的取值范围是 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【分析】由可得，设代入方程组可得消去化简得，再化简得再令代入上式得 可得解不等式得因而解得.故选A ‎5、（山东理11）在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎【答案】:C.【分析】： ，A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确.‎ ‎6、（全国2 理5）在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=,则l=‎ ‎(A) (B) (C) - (D) -‎ 解．在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则 =，∴ l=，选A。‎ ‎7、（全国2理12）设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则|FA|+|FB|+|FC|=‎ ‎(A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3‎ 解．设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则F为△ABC的重心，∴ A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3，‎ ‎∴ |FA|+|FB|+|FC|=，选B。‎ ‎8、（全国2文6）在中，已知是边上一点，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解．在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则 =，∴ l=，选A。‎ ‎9（全国2文9）把函数的图像按向量平移，得到的图像，则 ‎（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解．把函数y=ex的图象按向量=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)= ，选C。 ‎ ‎10、（北京理4）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　）‎ Ａ． Ｂ． ‎ Ｃ． Ｄ．‎ 解析：是所在平面内一点，为边中点，∴ ，且，∴ ，即，选A ‎11、（上海理14）在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则的可能值有 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 ‎【答案】B ‎ ‎【解析】解法一： ‎（1） 若A为直角，则； ‎ ‎（2） 若B为直角，则；‎ ‎（3） 若C为直角，则。‎ 所以 k 的可能值个数是2，选B ‎ 解法二：数形结合．如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B ‎12、（福建理4文8）对于向量，a 、b、c和实数，下列命题中真命题是 A 若，则a＝0或b＝0 B 若，则λ＝0或a＝0‎ C 若＝，则a＝b或a＝－b D 若，则b＝c 解析：a⊥b时也有a·b＝0，故A不正确；同理C不正确；由a·b=a·c得不到b=c，如a为零向量或a与b、c垂直时，选B ‎13、（湖南理4）设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】,若函数 的图象是一条直线，即其二次项系数为0， 0， ‎ ‎14、（湖南文2）若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ‎ ‎　 A．　　　　　 B. 　‎ C. 　 D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】由向量的减法知 ‎15、（湖北理2）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ 答案：选Ａ 解析：法一 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点，，则，带入到已知解析式中可得选Ａ ‎ 法二 由平移的意义可知，先向左平移个单位，再向下平移2个单位。‎ ‎16、（湖北文9）设a=(4,3),a在b上的投影为,b在x轴上的投影为2,且|b|＜1,则b为 A.(2,14) B.(2,- ) C.(-2, ) D.(2,8)‎ 答案：选B 解析：设a在b的夹角为θ，则有|a|cosθ=，θ=45°，因为b在x轴上的投影为2,且 ‎|b|＜1,结合图形可知选B 17、（浙江理7）若非零向量满足，则（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ． ‎ ‎【答案】：C ‎【分析】：‎ 由于是非零向量，则必有故上式中等号不成立 。‎ ‎ ∴。故选C.‎ ‎18、（浙江文9） 若非零向量满足，则（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ． ‎ ‎【答案】：A ‎【分析】：若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有a=2b；代入可知只有A、C满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC；令a, b,则a-b, ∴a-2b且 ‎；又BA+BC>AC ∴‎ ‎∴‎ ‎19、（海、宁理2文4）已知平面向量，则向量（　　）‎ Ａ． Ｂ． ‎ Ｃ． Ｄ．‎ ‎【答案】：D ‎【分析】：‎ ‎20、（重庆理10）如图，在四边形ABCD中，‎ ‎，则的值为（ ）‎ A.2 B. C.4 D.‎ ‎【答案】：C ‎【分析】：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21、（重庆文9）已知向量且则向量等于 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】：D ‎【分析】：设 ‎ 联立解得 ‎22、（辽宁理3文4）若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ 解析：因为，所以向量与垂直，选D ‎23、（辽宁理6）若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：函数为，令得平移公式，所以向量，选A ‎24、（辽宁文7）若函数的图象按向量平移后，得到函数 的图象，则向量（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：函数为，令得平移公式，所以向量，选C ‎25、（四川理7文8）设，，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为（　　）‎ ‎（A）　　（B）　　（C）　　（D）‎ 解析：选A．由与在方向上的投影相同，可得：即 ，．‎ ‎26、（全国2理9）把函数y=ex的图象按向量a=(2,3)平移，得到y=f(x)的图象，则f(x)=‎ ‎(A) ex-3+2 (B) ex+3－2 (C) ex-2+3 (D) ex+2－3‎ 解．把函数y=ex的图象按向量=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)= ，选C。‎ 二、填空题 B A C D ‎1、（天津文理15） 如图，在中，是边上一点，则.‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】法一：由余弦定理得可得，‎ 又夹角大小为，，‎ 所以.‎ 法二： 根据向量的加减法法则有:‎ ‎,此时 ‎.‎ ‎2、(安徽文理13) 在四面体O-ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则= （用a，b，c表示）‎ 解析：在四面体O－ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则=‎ ‎=。‎ ‎3、（北京文11）已知向量．若向量，则实数的值是 ．‎ 解析：已知向量．向量，，则2+λ+4+λ=0，实数=－3．‎ ‎4、（上海文6）若向量的夹角为，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】。‎ ‎5、（江西理15）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为 ．‎ 解析：由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=1，n=1，故m+n=2，填2‎ ‎6、（江西文13）在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点 分别为，，则 ．‎ 解析：‎ ‎7、（陕西理15文16）如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，||＝，若 ‎＝λ+μ（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为 .ZXXK.COM 解析：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°角AOC=30°，=得平行四边形的边长为2和4，2+4=6‎ 三、解答题：‎ ‎1、（宁夏，海南17）（本小题满分12分）‎ 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．‎ 解：在中，．‎ 由正弦定理得．‎ 所以．‎ 在中，．‎ ‎2、（福建17）（本小题满分12分）‎ 在中，，．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．‎ 本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．‎ 解：（Ⅰ），‎ ‎．又，．‎ ‎（Ⅱ），边最大，即．‎ 又，角最小，边为最小边．‎ 由且，‎ 得．由得：．‎ 所以，最小边．‎ ‎3、（广东16）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知△顶点的直角坐标分别为.‎ ‎ （1）若，求sin∠的值;‎ ‎ （2）若∠是钝角，求的取值范围.‎ ‎ 解：(1) , 当c=5时，‎ ‎ 进而 ‎(2)若A为钝角，则 AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)2<0 解得c>‎ 显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为[，+)‎ ‎4、（广东文16）(本小题满分14分)‎ ‎ 已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．‎ ‎ (1)若，求的值；‎ ‎(2)若，求sin∠A的值 解: (1) ‎ ‎ 由 得 ‎ ‎ (2) ‎ ‎ ‎ ‎5、（浙江18）（本题14分）已知的周长为，且．‎ ‎（I）求边的长；‎ ‎（II）若的面积为，求角的度数．‎ ‎（18）解：（I）由题意及正弦定理，得，‎ ‎，‎ 两式相减，得．‎ ‎（II）由的面积，得，‎ 由余弦定理，得 ‎ 　　，‎ 所以．‎ ‎6、（山东20）（本小题满分12分）如图,甲船以每小时海里 的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的 北偏西的方向处,此时两船相距‎20海里.当甲船航 行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方 向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?‎ 解：如图，连结，，，‎ 是等边三角形，，‎ 在中，由余弦定理得 ‎，‎ 因此乙船的速度的大小为 答：乙船每小时航行海里.‎ ‎7、（山东文17）（本小题满分12分）‎ 在中，角的对边分别为．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，且，求．‎ 解：（1）‎ ‎ 又 解得．‎ ‎ ，是锐角． ．‎ ‎（2）， ， ．‎ ‎ 又 ． ．‎ ‎ ． ．‎ ‎8、（上海17）（本题满分14分）‎ ‎ 在中，分别是三个内角的对边．若，，求的面积．‎ 解： 由题意，得为锐角，， ‎ ‎ ， ‎ ‎ 由正弦定理得 ， ． ‎ ‎9、（全国Ⅰ文17）（本小题满分10分）‎ 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．‎ ‎（Ⅰ）求B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，，求b．‎ 解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，‎ 由为锐角三角形得．‎ ‎（Ⅱ）根据余弦定理，得．‎ 所以，．‎ ‎10、（全国Ⅱ17）（本小题满分10分）‎ 在中，已知内角，边．设内角，周长为．‎ ‎（1）求函数的解析式和定义域；‎ ‎（2）求的最大值．‎ 解：（1）的内角和，由得．‎ ‎ 应用正弦定理，知 ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以，‎ ‎ （2）因为 ‎ ，‎ ‎ 所以，当，即时，取得最大值．‎