1986年全国统一高考数学试卷(理科) 15页

‎1986年全国统一高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）函数y=（0.2）﹣x+1的反函数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y=log5x+1‎ B．‎ y=logx5+1‎ C．‎ y=log5（x﹣1）‎ D．‎ y=log5x﹣1‎ ‎　‎ ‎3．（3分）极坐标方程表示（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 一条平行于x轴的直线 B．‎ 一条垂直于x轴的直线 ‎　‎ C．‎ 一个圆 D．‎ 一条抛物线 ‎　‎ ‎4．（3分）函数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 周期为的奇函数 B．‎ 周期为的偶函数 ‎　‎ C．‎ 周期为的奇函数 D．‎ 周期为的偶函数 ‎　‎ ‎5．（3分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1789‎ B．‎ ‎1799‎ C．‎ ‎1879‎ D．‎ ‎1899‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2004•重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 充分不必要条件 B．‎ 必要不充分条件 ‎　‎ C．‎ 充要条件 D．‎ 既不充分也不必要条件 ‎　‎ ‎7．（3分）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ D=E B．‎ D=F C．‎ E=F D．‎ D=E=F ‎　‎ ‎8．（3分）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ SG⊥△EFG所在平面 B．‎ SD⊥△EFG所在平面 C．‎ GF⊥△SEF所在平面 D．‎ GD⊥△SEF所在平面 ‎　‎ ‎9．（3分）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）当x∈[﹣1，0]时，在下面关系式中正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎　‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ 二、解答题（共13小题，满分90分）‎ ‎11．（4分）求方程的解．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）已知的值．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）求．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）求展开式中的常数项．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）已知的值．‎ ‎　‎ ‎17．（10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）当sin2x＞0，求不等式log0.5（x2﹣2x﹣15）＞log0.5（x+13）的解集．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）C⊂A∪B且C中含有3个元素，（2）C∩A≠∅（∅表示空集）．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）过点M（﹣1，0）的直线L1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点记：线段P1P2的中点为P；过点P和这个抛物线的焦点F的直线为L2；L1的斜率为k试把直线L2的斜率与直线L1的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知x1＞0，x1≠1，且，（n=1，2，…）．试证：数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn＜xn+1，或者对任意自然数n都满足xn＞xn+1．‎ ‎　‎ ‎23．附加题：‎ ‎（1）求y=xarctgx2的导数；‎ ‎（2）求过点（﹣1，0）并与曲线相切的直线方程．‎ ‎　‎ ‎1986年全国统一高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 复数的基本概念． ‎ 分析：‎ 复数的三角形式是r（cosθ+isinθ），观察所给的四种形式，只有一种形式符合要求，注意式子中各个位置的符号，可得结果．‎ 解答：‎ 解：∵Z=r（cosθ+isinθ），‎ ‎∴Z=2（cos+isin），‎ 故选B 点评：‎ 复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）函数y=（0.2）﹣x+1的反函数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y=log5x+1‎ B．‎ y=logx5+1‎ C．‎ y=log5（x﹣1）‎ D．‎ y=log5x﹣1‎ 考点：‎ 反函数． ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 本题考查的是指数式与对数式的互化及反函数的求法，利用指对互化得到反函数的解析式y=log5（x﹣1）即可选择答案．‎ 解答：‎ 解：根据指数式与对数式的互化，‎ 由y=（0.2）﹣x+1解得x=log5（y﹣1）‎ x，y互换得：y=log5（x﹣1）‎ 故选C 点评：‎ 本题小巧灵活，很好的体现了指数是与对数式的互化，抓住选项特点，求出反函数的解析式就可以判断出正确答案，不必求出反函数的定义域等．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）极坐标方程表示（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 一条平行于x轴的直线 B．‎ 一条垂直于x轴的直线 ‎　‎ C．‎ 一个圆 D．‎ 一条抛物线 考点：‎ 点的极坐标和直角坐标的互化． ‎ 专题：‎ 选作题；转化思想．‎ 分析：‎ 首先由极坐标与直角坐标系的转换公式，把极坐标转化为直角坐标系下的方程，然后再判断曲线所表示的图形．‎ 解答：‎ 解：由极坐标与直角坐标系的转换公式，‎ 可得到X=即是一条垂直于x轴的直线．‎ 所以答案选择B．‎ 点评：‎ 此题主要考查极坐标系与直角坐标系的转化，以及公式的应用．计算量小题目较容易．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）函数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 周期为的奇函数 B．‎ 周期为的偶函数 ‎　‎ C．‎ 周期为的奇函数 D．‎ 周期为的偶函数 考点：‎ 二倍角的正弦． ‎ 分析：‎ 逆用二倍角的正弦公式，整理三角函数式，应用周期的公式求出周期，再判断奇偶性，这是性质应用中的简单问题．‎ 解答：‎ 解：∵y=sin2xcos2x=sin4x ‎∴T=2π÷4=，‎ ‎∵原函数为奇函数，‎ 故选A 点评：‎ 利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式．化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数．把函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式再解决三角函数性质有关问题．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1789‎ B．‎ ‎1799‎ C．‎ ‎1879‎ D．‎ ‎1899‎ 考点：‎ 收集数据的方法． ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 本题要求求20个数字的和，数字个数较多，解题时要细心，不要漏掉数字或重复使用数字．‎ 解答：‎ 解：由题意知本题是一个求和问题，‎ ‎87+91+94+88+93+91+89+87+92+86+90+92+88+90+91+86+89+92+95+88=1799，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题是一个最基本的问题，考查的是数字的加法运算，这样的题目若出上，则是一个送分的题目．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2004•重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 充分不必要条件 B．‎ 必要不充分条件 ‎　‎ C．‎ 充要条件 D．‎ 既不充分也不必要条件 考点：‎ 必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 由题设条件知p⇒r⇒s⇒q．但由于r推不出p，所以q推不出p．‎ 解答：‎ 解：依题意有p⇒r，‎ r⇒s，‎ s⇒q，‎ ‎∴p⇒r⇒s⇒q．‎ 但由于r推不出p，‎ ‎∴q推不出p．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查充分条件，必要条件，充要条件的判断，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ D=E B．‎ D=F C．‎ E=F D．‎ D=E=F 考点：‎ 圆的一般方程． ‎ 分析：‎ 圆关于直线y=x对称，只需圆心坐标满足方程y=x即可．‎ 解答：‎ 解：曲线关于直线y=x对称，就是圆心坐标在直线y=x上，圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）中，D=E．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查圆的一般方程，对称问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ SG⊥△EFG所在平面 B．‎ SD⊥△EFG所在平面 C．‎ GF⊥△SEF所在平面 D．‎ GD⊥△SEF所在平面 考点：‎ 空间中直线与平面之间的位置关系． ‎ 分析：‎ 根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3‎ F，即SG⊥GE，SG⊥GF，由线面垂直的判定定理，易得SG⊥平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．‎ 解答：‎ 解：∵在折叠过程中，‎ 始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，‎ 即SG⊥GE，SG⊥GF，‎ 所以SG⊥平面EFG．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 函数的图象与图象变化． ‎ 专题：‎ 压轴题；数形结合．‎ 分析：‎ 要分析满足条件的y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象情况，我们可以使用排除法，由二次项系数a与二次函数图象开口方向及一次函数单调性的关系，可排除A，C；由二次函数常数项c为0，函数图象过原点，可排除B．‎ 解答：‎ 解：在A中，由二次函数开口向上，故a＞0‎ 故此时一次函数应为单调递增，故A不正确；‎ 在B中，由y=ax2+bx，则二次函数图象必过原点 故B也不正确；‎ 在C中，由二次函数开口向下，故a＜0‎ 故此时一次函数应为单调递减，故C不正确；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）当x∈[﹣1，0]时，在下面关系式中正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎　‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 反三角函数的运用． ‎ 专题：‎ 压轴题；阅读型．‎ 分析：‎ 利用三角函数的运算法则，以及几何意义对选项一一验证，可求正确选项．‎ 解答：‎ 解：当x在（﹣1，0）x∈[﹣1，0]内变化时：由于0＜1﹣x2＜1，‎ 每一个关系式的右端均为锐角．每一个关系式的左端均为两项，第一项均为π；‎ 考查第二项，由于arccos（﹣x）和arcsin（﹣x）均为锐角，‎ 所以π﹣arccos（﹣x）=钝角，（A）不正确．‎ π﹣arcsin（﹣x）=钝角，（B）不正确．‎ 由于arcsinx为负锐角，所以π﹣arcsinx＞π，（D）不正确．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查反函数的运算，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．‎ ‎　‎ 二、解答题（共13小题，满分90分）‎ ‎11．（4分）求方程的解．‎ 考点：‎ 指数函数综合题． ‎ 分析：‎ 将方程两侧化成以5为底数的指数式，由同底数的指数式相等必有指数相等即可解．‎ 解答：‎ 解：∵===‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 点评：‎ 本题主要考查解指数方程的问题．注意方程两侧可都化成同底数后再求解．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）已知的值．‎ 考点：‎ 复数代数形式的混合运算． ‎ 分析：‎ ω的值是1的一个立方虚根，ω2+ω+1=0是它的性质．‎ 解答：‎ 解：由==0‎ 点评：‎ 本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积．‎ 考点：‎ 棱柱、棱锥、棱台的体积． ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 画出图形，旋转后的几何体是一个圆台，去掉一个倒放的圆锥，求出圆台的体积，减去圆锥的体积即可．‎ 解答：‎ 解：在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3），这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体是：底面半径为3，高为2，上底面半径为1的圆台，去掉一个底面半径为1，高为1的圆锥，‎ 所以几何体的体积是：=．‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 本题是基础题，考查旋转体的体积，旋转体的图形特征，棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）求．‎ 考点：‎ 极限及其运算． ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 当x→∞时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则．本题中，可将分子、分母都除以3n，再利用商的极限运算法则进行计算．‎ 解答：‎ 解：原式=，又．‎ 则原式=．‎ 故答案是．‎ 点评：‎ 在求此类分式极限式时，注意到常用的技巧，分子分母同时除以3n．即可完成极限计算．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）求展开式中的常数项．‎ 考点：‎ 二项式定理． ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0求出常数项．‎ 解答：‎ 解：展开式的通项Tr+1=（﹣1）r25﹣rC5rx15﹣5r 令15﹣5r=0得r=3‎ 所以展开式的常数项为﹣22C53=﹣40‎ 点评：‎ 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）已知的值．‎ 考点：‎ 同角三角函数基本关系的运用． ‎ 分析：‎ 先对sinθ﹣cosθ=两边平方得到sinθcosθ=，再由sin3θ﹣cos3θ=（sinθ﹣cosθ）（sin2+sinθcosθ+cos2θ）‎ 可得答案．‎ 解答：‎ 解：∵sinθ﹣cosθ=，∴∴sinθcosθ=‎ sin3θ﹣cos3θ=（sinθ﹣cosθ）（sin2+sinθcosθ+cos2θ）‎ ‎=×（1+）=‎ 点评：‎ 本题主要考查已知关于三角函数的等式求3次三角函数值的问题．这里要注意三角函数的变形应用．‎ ‎　‎ ‎17．（10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC．‎ 考点：‎ 平面与平面垂直的判定． ‎ 专题：‎ 证明题；综合题．‎ 分析：‎ 要证明平面PAC垂直于平面PBC，直线证明平面PBC内的直线BC，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可．‎ 解答：‎ 证明：连接AC ‎ ‎∵AB是圆O的直径 ‎∴∠ACB=90°即BC⊥AC ‎ 又∵PA⊥圆O所在平面，且BC在这个平面内 ‎∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线 ‎∴BC⊥平面PAC∴△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直．‎ 点评：‎ 本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）当sin2x＞0，求不等式log0.5（x2﹣2x﹣15）＞log0.5（x+13）的解集．‎ 考点：‎ 对数函数的单调性与特殊点；对数函数的定义域；一元二次不等式的解法． ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由sin2x＞0得到x取值范围；再接对数不等式，又得到x取值范围，最后将得到的这2个范围取交集即得原不等式的解集．‎ 解答：‎ 解：满足sin2x＞0 的x取值范围是 ，（1）‎ 而由log0.5（x2﹣2x﹣15）＞log0.5（x+13），‎ 得 解得：﹣4＜x＜﹣3，5＜x＜7，（5）‎ 由（1）、（5）可知所求解集为（﹣π，﹣3）∪（2π，7）．‎ 点评：‎ 本题考查对数函数的定义域，对数函数的单调性与特殊点，及一元二次不等式的解法．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值．‎ 考点：‎ 基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切函数． ‎ 专题：‎ 计算题；函数思想．‎ 分析：‎ 首先题目给定y轴的正半轴上的两点A、B，求x轴的正半轴上点C，使∠ACB取得最大值．故可以设A的坐标为（0，a）、点B的坐标为（0，b），C的坐标为（x，0）记∠BCA=α，∠OCB=β，．然后根据三角形角的关系，求出tanα的值再根据基本不等式求出其最大值，因为在内tanα是增函数，即所得的角为最大角．‎ 解答：‎ 解：设点A的坐标为（0，a）、点B的坐标为（0，b），0＜b＜a，又设所求点C的坐标为（x，0）．‎ 记∠BCA=α，∠OCB=β，则∠OCA=α+β．显然，．现在有 tanα=tg[（α+β）﹣β]==．‎ 记，那么，当时，y取得最小值2‎ 因此，当时，tanα取得最大值．‎ 因为在内tanα是增函数，所以当时，∠ACB取最大值．‎ 故所求点C的坐标为（，0）．‎ 故答案为（，0）．‎ 点评：‎ 此题主要考查基本不等式在求最值问题中的应用，题中涉及到两角和与差的正切函数，有一定的技巧性，属于中档题目．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）C⊂A∪B且C中含有3个元素，（2）C∩A≠∅（∅表示空集）．‎ 考点：‎ 子集与交集、并集运算的转换． ‎ 分析：‎ 集合韦恩图求出A∪B中元素的个数，再利用排列组合知识求解即可．‎ 解答：‎ 解：因为A、B各含12个元素，A∩B含有4个元素，因此 A∪B元素的个数是12+12﹣4=20‎ 故满足题目条件（1）的集合的个数是C203，‎ 在上面集合中，还满足A∩C=∅的集合C的个数是C83‎ 因此，所求集合C的个数是C203﹣C83=1084‎ 点评：‎ 本题考查集合中元素的个数、子集个数以及排列组合知识，难度不大．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）过点M（﹣1，0）的直线L1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点记：线段P1P2的中点为P；过点P和这个抛物线的焦点F的直线为L2；L1的斜率为k试把直线L2的斜率与直线L1的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数．‎ 考点：‎ 抛物线的简单性质． ‎ 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ 先设直线L1的方程是y=k（x+1），然后与抛物线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积，将直线L1与该抛物线有两个交点转化为△=（2k2﹣4）2﹣4k2•k2＞0且k≠0，进而可得到k的范围，设点P的坐标为，可以得到直线L1、直线L2的斜率，记，则可以得到，再由，可以得到，再分析单调性即可．‎ 解答：‎ 解：由已知条件可知，直线L1的方程是y=k（x+1）①‎ 把①代入抛物线方程y2=4x，‎ 整理后得到k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0②‎ 因此，直线L1与该抛物线有两个交点的充要条件是：（2k2﹣4）2﹣4k2•k2＞0③‎ 及k≠0．④‎ 解出③与④得到k∈（﹣1，0）∪（0，1）‎ 现设点P的坐标为，‎ 则直线L1的斜率，而直线L2的斜率，‎ 记，则 今记L1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2，‎ 由韦达定理及②得 ‎，由此得到，‎ 定义域是（﹣1，0）∪（0，1）‎ 显然，1﹣k2在（﹣1，0）内递增，在（0，1）内递减 所以，在（0，1）内为增函数，在（﹣1，0）内为减函数 点评：‎ 本题主要考查直线与抛物线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的一个重要考点，要着重复习．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知x1＞0，x1≠1，且，（n=1，2，…）．试证：数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn＜xn+1，或者对任意自然数n都满足xn＞xn+1．‎ 考点：‎ 用数学归纳法证明不等式；数列递推式． ‎ 专题：‎ 证明题；压轴题；归纳法．‎ 分析：‎ 首先，，故xn与xn+1，的大小关系取决于xn与1的大小，猜想分两类：x1＜1和x1＞1，最后利用数学归纳法进行证明即可．‎ 解答：‎ 证：首先，，‎ 由于x1＞0，由数列{xn}的定义可知xn＞0，（n=1，2，…）‎ 所以，xn+1﹣xn与1﹣xn2的符号相同．‎ ‎①假定x1＜1，我们用数学归纳法证明1﹣xn2＞0（n∈N）‎ 显然，n=1时，1﹣x12＞0‎ 设n=k时1﹣xk2＞0，那么当n=k+1时 ‎，‎ 因此，对一切自然数n都有1﹣xn2＞0，‎ 从而对一切自然数n都有xn＜xn+1②若x1＞1，‎ 当n=1时，1﹣x12＜0；‎ 设n=k时1﹣xk2＜0，那么当n=k+1时 ‎=，‎ 因此，对一切自然数n都有1﹣xn2＜0，‎ 从而对一切自然数n都有xn＞xn+1‎ 点评：‎ 本题主要考查了用数学归纳法证明不等式、不等式的证明，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎23．附加题：‎ ‎（1）求y=xarctgx2的导数；‎ ‎（2）求过点（﹣1，0）并与曲线相切的直线方程．‎ 考点：‎ 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算． ‎ 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据（uv）′=u′v+uv′，（arctgx）′=，根据复合函数求导数的法则求出即可；‎ ‎（2）根据（）′=求出y′，把x等于﹣1代入y′的值即为切线的斜率，利用切点的斜率写出切线方程即可．‎ 解答：‎ 解：（1）y′=（xarctgx2）′=x′arctgx2+x•（arctgx2）′‎ ‎=arctgx2+x•2x•=arctgx2+；‎ ‎（2），‎ 而点（﹣1，0）在曲线上，y'|x=﹣1=1，‎ 所以所求的切线方程为y=x+1‎ 点评：‎ 此题考查学生利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，灵活运用求导法则求函数的导数，是一道中档题．‎ ‎　‎