• 154.37 KB
  • 2021-05-13 发布

高考数学第二轮复习考点突破专题演练圆锥曲线的概念及性质

  • 7页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
第二讲 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 ‎1.(2010·安徽)双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为(  )‎ A.B.C.D.(,0)‎ 解析:∵原方程可化为-=1,a2=1,‎ b2=,c2=a2+b2=,‎ ‎∴右焦点为.‎ 答案:C ‎2.(2010·天津)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个 焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为(  )‎ A.-=1B.-=1‎ C.-=1D.-=1‎ 解析:∵渐近线方程是y=x,∴=.①‎ ‎∵双曲线的一个焦点在y2=24x的准线上,‎ ‎∴c=6.②‎ 又c2=a2+b2,③‎ 由①②③知,a2=9,b2=27,‎ 此双曲线方程为-=1.‎ 答案:B ‎4.(2010·辽宁)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,‎ A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=(  )‎ A.4B.‎8C.8D.16‎ 解析:解法一:AF直线方程为:‎ y=-(x-2),‎ 当x=-2时,y=4,∴A(-2,4).‎ 当y=4时代入y2=8x中,x=6,‎ ‎∴P(6,4),‎ ‎∴|PF|=|PA|=6-(-2)=8.故选B.‎ 解法二:∵PA⊥l,∴PA∥x轴.‎ 又∵∠AFO=60°,∴∠FAP=60°,‎ 又由抛物线定义知PA=PF,‎ ‎∴△PAF为等边三角形.‎ 又在Rt△AFF′中,FF′=4,‎ ‎∴FA=8,∴PA=8.故选B.‎ 答案:B ‎5.高‎8m和‎4m的两根旗杆笔直竖在水平地面上,且相距‎10m,则地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点的轨迹为(  )‎ A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 解析:如图1,假设AB、CD分别为高‎4m、‎8m的旗杆,P点为地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点,由于∠BPA=∠DPC,则Rt△ABP∽Rt△CDP,=,从而 PC=2PA.在平面APC上,以AC为x轴,AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图 ‎2),则A(-5,0),C(5,0),设P(x,y),得=2 化简得x2+y2+x+25=0,显然,P点的轨迹为圆.‎ 答案:A 二、填空题 解析:由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则c0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在 抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为________.‎ 解析:F,则B,‎ ‎∴2p×=1,解得p=.‎ ‎∴B,因此B到该抛物线的准线的距离为+=.‎ 答案: ‎8.(2010·北京)已知双曲线-=1的离心率为2,焦点与椭圆+=1的焦点相同,‎ 那么双曲线的焦点坐标为________;渐近线方程为________.‎ 解析:∵椭圆+=1的焦点为(±4,0),∴双曲线的焦点坐标为(±4,0),‎ ‎∴c=4,=2,c2=a2+b2,‎ ‎∴a=2,b2=12,‎ ‎∴双曲线方程为-=1,‎ ‎∴渐近线方程为y=±x=±x,‎ 即x±y=0.‎ 答案:(±4,0) x±y=0‎ 即xD=,由椭圆的第二定义得|FD|=e=a-.又由|BF|=2|FD|,得a=‎ ‎2a‎-,整理得a2=‎3c2,‎ 即e2=,解得e=.‎ 答案: 三、解答题 ‎10.已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和,‎ 过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求此椭圆的方程.‎ 解:解法一:设椭圆的标准方程是+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0),两个焦点 分别为F1、F2,则由题意,知‎2a=|PF1|+|PF2|=2,∴a=.在方程+=1‎ 中,令x=±c,得|y|=.在方程+=1中,令y=±c,得|x|=.依题意知=,‎ ‎∴b2=.即椭圆的方程为+=1或+=1.‎ 解法二:设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,‎ 则|PF1|=,|PF2|=.‎ 由椭圆的定义,知‎2a=|PF1|+|PF2|=2,即a=.‎ 由|PF1|>|PF2|知,PF2垂直于长轴.‎ 故在Rt△PF‎2F1中,‎4c2=|PF1|2-|PF2|2=,‎ ‎∴c2=,于是b2=a2-c2=.‎ 又所求的椭圆的焦点可以在x轴上,也可以在y轴上,故所求的椭圆方程为+ ‎=1或+=1.‎ ‎11.(2010·湖北)已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到 y轴距离的差都是1.‎ ‎(1)求曲线C的方程;‎ ‎(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线,‎ 都有·<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)设P(x,y)是曲线C上任意一点,那么点P(x,y)满足-x=1(x>0),‎ 化简得y2=4x(x>0).‎ ‎(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 设l的方程为x=ty+m,由得 y2-4ty-‎4m=0,‎ Δ=16(t2+m)>0,于是①‎ 又=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),‎ ·<0⇔(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.②‎ 又x=,于是不等式②等价于·+y1y2-+1<0⇔+y1y2-[(y1+‎ y2)2-2y1y2]+1<0,③‎ 由①式,不等式③等价于m2-‎6m+1<4t2,④‎ 对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式④对于一切t成立等价于m2-‎6m+1<0,‎ 即3-20,b>0),离心率e=,顶点 到渐近线的距离为.‎ ‎(1)求双曲线C的方程;‎ ‎ (2)如图,P是双曲线C上一点,A,B两点在双曲线C的两 条渐近线上,且分别位于第一、二象限.若=λ,λ∈‎ ,求△AOB面积的取值范围.‎ 解:解法一:(1)由题意知,双曲线C的顶点(0,a)到渐近线ax-by=0的距离为,‎ ‎∴=,即=.‎ 由得 ‎∴双曲线C的方程为-x2=1.‎ ‎(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x.‎ 设A(m,‎2m),B(-n,2n),m>0,n>0.‎ 由=λ=λ得P点的坐标为,‎ 将P点坐标代入-x2=1,‎ 化简得mn=,‎ 设∠AOB=2θ,∵tan=2,‎ ‎∴tanθ=,sin2θ=.‎ 又|OA|=m,|OB|=n,‎ ‎∴S△AOB=|OA|·|OB|·sin2θ ‎=2mn=+1.‎ 记S(λ)=+1,λ∈,‎ 则S′(λ)=.‎ 由S′(λ)=0得λ=1,又S(1)=2,‎ S=,S(2)=,‎ ‎∴当λ=1时,△AOB的面积取得最小值2,当λ=时,△AOB的面积取得最大值.∴△AOB面积的取值范围是.‎ 解法二:(1)同解法一.‎ ‎(2)设直线AB的方程为y=kx+m,‎ 由题意知|k|<2,m>0.‎ 由 得A点的坐标为,‎ 由,得B点的坐标为.‎ 由=λ得P点的坐标为 ,‎ 将P点坐标代入-x2=1得=.‎ 设Q为直线AB与y轴的交点,则Q点的坐标为(0,m).‎ S△AOB=S△AOQ+S△BOQ=|OQ|·|xA|+|OQ|·|xB|=m·(xA-xB)=m=· ‎=+1.‎ 以下同解法一.‎