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- 2021-05-13 发布
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第五讲 变换的不变量与特征向量
一. 特征值与特征向量
【探究】
1. 计算下列结果:
以上的计算结果与,的关系是怎样的?
2. 计算下列结果:
以上的计算结果与,的关系是怎样的?
【定义】
设矩阵A=,如果存在实数及非零向量,使得,则称是矩阵A的一个特征值。
是矩阵A的属于特征值的一个特征向量。
(结合探究1、2说明,特征值与特征向量)
【定理1】
如果是矩阵A的属于特征值的一个特征向量,则对任意的非零常数k,k也是矩阵A的属于特征值的特征向量。
其几何意义是什么?
【定理2】
属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。
【应用】
从几何角度解释旋转变换的特征值与特征向量。
二、特征值与特征向量的计算
1. 设A=,求A的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。
【总结规律】
一般的,矩阵A=的特征值及属于每个特征值的一个特征向量的求法。
【应用】
求A=的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。
【练习:P70】
【第五讲.作业】
1.设反射变换对应的矩阵为A,则下列不是A的特征向量的是 ( )
A. B. C. D.
2.下列说法错误的是 ( )
A.矩阵A的一个特征向量只能属于A的一个特征值 B.每个二阶矩阵均有特征向量 C.属于矩阵A的不同特征值的特征向量一定不共线 D. 如果是矩阵A的属于特征值的一个特征向量,则对任意的非零常数k,k也是矩阵A的属于特征值的特征向量。
3.设,分别是恒等变换与零变换的特征值,则-=
4.投影变换的所有特征值组成的集合为
5.矩阵的特征多项式为
6.已知A是二阶矩阵,且A2=0,则A的特征值为
7.若0是矩阵A=的一个特征值,则A的属于0的特征向量为
8.已知1、2是矩阵A=的特征值,则=
9.若向量是矩阵的一个特征向量,则m=
10.求下列矩阵的特征值及其对应的所有特征向量:①
11.已知向量是矩阵的一个特征向量,求m的值。
12.设A=,分别求满足下列条件的所有矩阵A:①是A的属于2的一个特征向量。②是A的一个特征向量。
13.对任意实数x,矩阵总存在特征向量,求m的取值范围。
14设A是可逆的二阶矩阵,求证:①A的特征值一定不是0;②若是A的特征值,则1/是A-1的特征值。
1.D 2.B 3.1 4.{0,1} 5. 6.0 7. 8. 9.1 10.① 或;②或③或 11.m=0
12.①② 13.-3≤m≤2 14.①有特征多项式证明;② , 得征。