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  • 2021-05-13 发布

高考复习专题 变换的不变量与特征向量

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第五讲 变换的不变量与特征向量 一. 特征值与特征向量 ‎【探究】‎ 1. 计算下列结果:‎ 以上的计算结果与,的关系是怎样的?‎ 2. 计算下列结果:‎ 以上的计算结果与,的关系是怎样的?‎ ‎【定义】‎ 设矩阵A=,如果存在实数及非零向量,使得,则称是矩阵A的一个特征值。‎ 是矩阵A的属于特征值的一个特征向量。‎ ‎(结合探究1、2说明,特征值与特征向量)‎ ‎【定理1】‎ 如果是矩阵A的属于特征值的一个特征向量,则对任意的非零常数k,k也是矩阵A的属于特征值的特征向量。‎ 其几何意义是什么?‎ ‎【定理2】‎ 属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。‎ ‎【应用】‎ 从几何角度解释旋转变换的特征值与特征向量。‎ 二、特征值与特征向量的计算 ‎1. 设A=,求A的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。 ‎ ‎【总结规律】‎ 一般的,矩阵A=的特征值及属于每个特征值的一个特征向量的求法。‎ ‎【应用】‎ 求A=的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。‎ ‎【练习:P70】‎ ‎【第五讲.作业】‎ ‎1.设反射变换对应的矩阵为A,则下列不是A的特征向量的是 ( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.下列说法错误的是 ( )‎ A.矩阵A的一个特征向量只能属于A的一个特征值 B.每个二阶矩阵均有特征向量 C.属于矩阵A的不同特征值的特征向量一定不共线 D. 如果是矩阵A的属于特征值的一个特征向量,则对任意的非零常数k,k也是矩阵A的属于特征值的特征向量。‎ ‎3.设,分别是恒等变换与零变换的特征值,则-= ‎ ‎4.投影变换的所有特征值组成的集合为 ‎ ‎5.矩阵的特征多项式为 ‎ ‎6.已知A是二阶矩阵,且A2=0,则A的特征值为 ‎ ‎7.若0是矩阵A=的一个特征值,则A的属于0的特征向量为 ‎ ‎8.已知1、2是矩阵A=的特征值,则= ‎ ‎9.若向量是矩阵的一个特征向量,则m= ‎ ‎10.求下列矩阵的特征值及其对应的所有特征向量:①‎ ‎11.已知向量是矩阵的一个特征向量,求m的值。‎ ‎12.设A=,分别求满足下列条件的所有矩阵A:①是A的属于2的一个特征向量。②是A的一个特征向量。‎ ‎13.对任意实数x,矩阵总存在特征向量,求m的取值范围。‎ ‎14设A是可逆的二阶矩阵,求证:①A的特征值一定不是0;②若是A的特征值,则1/是A-1的特征值。‎ ‎1.D  2.B  3.1  4.{0,1}  5.  6.0  7.  8.   9.1  10.① 或;②或③或  11.m=0‎ ‎12.①②  13.-3≤m≤2  14.①有特征多项式证明;② ,   得征。‎