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- 2021-05-13 发布
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【课本导读】
1.等差数列的基本概念
(1)定义:
.
(2)通项公式:an= .an=am+ .
(3)前n项和公式:Sn=na1+d=.
(4)a、b的等差中项为.
2.等差数列常用性质:等差数列{an}中
(1)若m1+m2+…+mk=n1+n2+…+nk,
则am1+am2+…+amk=an1+an2+…+ank.
特别地,若m+n=p+q,则am+an= .
(2)n为奇数时,Sn=na中,S奇=a中,S偶=a中,
∴S奇-S偶= .
(3)n为偶数时,S偶-S奇=.
(4)若公差为d,依次k项和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等差数列,新公差d′= .
(5){ }为等差数列.
【教材回归】
1.(课本习题改编)若一个数列的通项公式是an=kn+b(k,b为常数),则下列说法中正确的是( )
A.数列{an}一定不是等差数列 B.数列{an}是公差为k的等差数列
C.数列{an}是公差为b的等差数列 D.数列{an}不一定是等差数列
2.设a≠b,且数列a,x1,x2,b和a,y1,y2,y3,y4,b分别是等差数列,则=__________.
3.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=,S2=a3,则a2=________;Sn=________.
4.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=( )
A.12 B.16 C.20 D.24
5.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=( )
A.-6 B.-4 C.-2 D.2
【授人以渔】
题型一 等差数列的基本量
例1 (1)等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.
求通项an; ②若Sn=242,求n.
(2)设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}的前n
项和,求Tn.
思考题1 (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=( )
A.8 B.7 C.6 D.5
(2)在等差数列{an}中,a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{an}的首项、公差及前n项和.
题型二 等差数列的性质
例2 (1)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=________.
(2)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=( )
A.58 B.88 C.143 D.176
思考题2 (1)等差数列{an}共有63项,且S63=36,求S奇和S偶.
(2)在等差数列{an}中,a1=-2 012,其前n项和为Sn,若-=2,则S2 012的值等于( )
A.-2 011 B.-2 012 C.-2 010 D.-2 013
题型三 等差数列的证明
例3已知数列{an},an∈N*,Sn=(an+2)2.求证:{an}是等差数列.
思考题3 已知正项数列{an}的前n项和Sn满足2=an+1.求证:{an}是等差数列,并求an.
.
题型四 等差数列的综合应用
例4 等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小?
思考题4 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于( )
A.6 B.7 C.8 D.9
(2)已知等差数列{an}中,Sn是它的前n项和,若S16>0,且S17<0,则当Sn最大时n的值为( )
A.16 B.8 C.9 D.10
【本课总结】
1.深刻理解等差数列的定义,紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点.
2.等差数列中,已知五个元素a1,an,n,d,Sn中的任意三个,便可求出其余两个.
3.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是:
(1)利用定义,证明an-an-1(n≥2)为常数;
(2)利用等差中项,即证明2an=an-1+an+1(n≥2).
4.等差数列{an}中,当a1<0,d>0时,数列{an}为递增数列,Sn有最小值;当a1>0,d<0时,数列{an}为递减数列,Sn有最大值;当d=0时,{an}为常数列.
【自助餐】
1.由下列各表达式给出的数列{an}:
①Sn=a1+a2+…+an=n2; ②Sn=a1+a2+…+an=n2-1;
③a=an·an+2; ④2an+1=an+an+2 (n∈N*).
其中表示等差数列的是( )
A.①④ B.②④ C.①②④ D.①③④
2.若Sn是等差数列{an}的前n项和,a2+a10=4,则S11的值为( )
A.12 B.18 C.22 D.44
3.设{an}是公差为-2的等差数列,如果a1+a4+a7=50,那么a6+a9+a12=( )
A.40 B.30 C.20 D.10
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,它的三边成等差数列,则sinA+sinB=________.
5.已知函数f(x)=cosx,x∈(0,2π)有两个不同的零点x1,x2,且方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数m=( )
A. B.- C. D.-
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.等差数列{an}的前n项和为Sm,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为________.
8.将等差数列3,8,13,18,…按顺序抄在练习本上,已知每行抄13个数,每页抄21行.求数33 333所在的页和行.