2014年版高考数学理31直接证明与间接证明二轮考点专练 3页

考点31 直接证明与间接证明 ‎1.（2013·北京高考理科·Ｔ20）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项，…的最小值记为Bn，dn=An－Bn．‎ ‎(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，)，写出d1，d2，d3，d4的值；‎ ‎(2)设d为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列；‎ ‎(3)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，则{an}的项只能是1或2，且有无穷多项为1‎ ‎【解题指南】(1)根据{dn}的定义求.‎ ‎(2)充分性:先证明{an}是不减数列,再利用定义求dn;‎ 必要性:先证明{an}是不减数列,再利用定义证明等差.‎ ‎(3)可通过取特殊值和反证法进行证明.‎ ‎【解析】（1），，‎ ‎，。‎ （2） 充分性：‎ 若为公差为的等差数列，则.‎ 因为是非负整数，所以是常数列或递增数列.‎ ‎，，‎ ‎(n=1,2,3,…).‎ 必要性：‎ 若，假设是第一个使得的项，则 ‎，，‎ ‎，这与矛盾.‎ 所以是不减数列.‎ ‎，即，‎ 是公差为的等差数列.‎ ‎（3）①首先中的项不能是0，否则，与已知矛盾.‎ ‎②中的项不能超过2，用反证法证明如下：‎ 若中有超过2的项，设是第一个大于2的项，‎ 中一定存在项为1，否则与矛盾.‎ 当时，，否则与矛盾.‎ 因此存在最大的i在2到k-1之间，使得，‎ 此时，矛盾.‎ 综上中没有超过2的项.‎ 综合①②，中的项只能是1或2.‎ 下面证明1有无数个，用反证法证明如下：‎ 若为最后一个1，则，矛盾.‎ 因此1有无数个. ‎ ‎2.（2013·北京高考文科·Ｔ20）给定数列a1，a2，…，an。对i=1，2，…n-l，该数列前i项的最大值记为Ai，后n-i项ai+1，ai+2，…，an的最小值记为Bi，di=Ai-Bi.‎ ‎（1）设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值.‎ ‎（2）设a1，a2，…，an（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0.证明：d1，d2，…dn-1是等比数列。‎ ‎（3）设d1，d2，…dn-1是公差大于0的等差数列，且d1＞0，证明：a1，a2，…，an-1是等差数列。‎ ‎【解题指南】(1)利用di的公式,求d1,d2,d3的值.‎ ‎(2)先求出{dn}的通项,再利用等比数列的定义证明{dn}是等比数列.‎ ‎(3)先证明{an}是单调递增数列,再证明an是数列{an}的最小项,最后证明{an}是等差数列.‎ ‎【解析】（1），，。‎ ‎（2）由是公比大于1的等比数列，且a1＞0，可得的通项为且为单调递增数列。‎ 于是当时，为定值。‎ 因此d1，d2，…dn-1构成首项，公比的等比数列。‎ ‎（3）若d1,d2,…,dn-1是公差大于0的等差数列,则00矛盾.‎ 因而k≥2,此时考虑dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak<0,矛盾.‎ 因此,an为数列{an}中的最小项.‎ 综上,dk=Ak-Bk=ak-an(k=1,2,…,n-1),于是ak=dk+an,‎ 从而a1,a2,…,an-1是等差数列.‎