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- 2021-05-13 发布
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(2012春)22. (本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知数列满足
(1)设是公差为的等差数列.当时,求的值;
(2)设求正整数使得一切均有
(3)设当时,求数列的通项公式.
22、(18分)已知数列和的通项公式分别为,(),将集合
中的元素从小到大依次排列,构成数列。
⑴ 求;
⑵ 求证:在数列中、但不在数列中的项恰为;
⑶ 求数列的通项公式。
22、⑴ ;
⑵ ① 任意,设,则,即
② 假设(矛盾),∴
∴ 在数列中、但不在数列中的项恰为。
⑶ ,
,,
∵
∴ 当时,依次有,……
∴ 。
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分, 第3小题满分6分.
对于给定首项,由递推式得到数列,且对于任意的,都有,用数列可以计算的近似值.
(1) 取,,计算的值(精确到),归纳出,的大小关系;
(2) 当时,证明;
(3) 当时,用数列计算的近似值,要求,请你估计,并说明理由.
【解】(1) ,猜想;
(2)
, ①
因为,
所以,
所以.
由①式,,
所以.
(3) 由(2)
,
所以只要即可,
于是,
因为,
所以.
所以.
20. (本题满分13分)本题共有2个小题,第一个小题满分5分,第2个小题满分8分。
已知数列的前项和为,且,
(1)证明:是等比数列;
(2)求数列的通项公式,并求出n为何值时,取得最小值,并说明理由。
解析:(1) 当n=1时,a1=-14;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1,所以,
又a1-1=-15≠0,所以数列{an-1}是等比数列;
(2) 由(1)知:,得,从而(nÎN*);
解不等式Sn.
原式=(-b1)+(-b2)+…+(-bk)+(bk+1-)+…+(b2k-)
=(bk+1+…+b2k)-(b1+…+bk)
==.
当≤4,得k2-8k+4≤0, 4-2≤k≤4+2,又k≥2,
∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.
22. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分. 第3小题满分6分.
已知数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列;是公差为的等差数列;是公差为的等差数列().
(1)若,求;
(2)试写出关于的关系式,并求的取值范围;
(3)续写已知数列,使得是公差为的等差数列,……,依次类推,把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?
22. [解](1). …… 4分
(2), …… 8分
,
当时,. …… 12分
(3)所给数列可推广为无穷数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列,当时,数列是公差为的等差数列. …… 14分
研究的问题可以是:试写出关于的关系式,并求的取值范围.…… 16分
研究的结论可以是:由,
依次类推可得
当时,的取值范围为等. …… 18分
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
假设某市2004年新建住房面积400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
20.解:(1)设中低价房面积形成数列,由题意可知是等差数列,
其中a1=250,d=50,则
令 即
∴到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,
其中b1=400,q=1.08, 则bn=400·(1.08)n-1
由题意可知
有250+(n-1)50>400 · (1.08)n-1 · 0.85.
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6,
∴到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分.
在直角坐标平面中,已知点,其中是正整数,对平面上任一点,记为关于点的对称点,为关于点的对称点,...,为关于点的对称点.
(1)求向量的坐标;
(2)当点在曲线C上移动时,点的轨迹是函数的图象,其中是以3为周期的周期函数,且当时,.求以曲线C为图象的函数在上的解析式;
(3)对任意偶数,用表示向量的坐标.
22.[解](1)设点,A0关于点P1的对称点A1的坐标为
A1关于点P2的对称点A2的坐标为,所以,
(2)[解法一]的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移
4个单位得到.
因此,曲线C是函数的图象,其中是以3为周期的周期函数,且当
[解法二]设
若
当
(3)
由于,
20. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。
某市2004年底有住房面积1200万平方米,计划从2005年起,每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.
(1)分别求2005年底和2006年底的住房面积 ;
(2)求2024年底的住房面积.(计算结果以万平方米为单位,且精确到0.01)
20. [解](1)2005年底的住房面积为
(万平方米),
2006年底的住房面积为
(万平方米)
∴ 2005年底的住房面积为1240万平方米,2006年底的住房面积约为1282万平方米. …… 6分
(2)2024年底的住房面积为
…… 10分
(万平方米)
∴ 2024年底的住房面积约为2522.64万平方米. …… 14分