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- 2021-05-13 发布
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2016年高考数学微专题
求数列通项的常用方法
一、 高考考纲要求
(1)数列的概念和简单表示法
①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)。
②了解数列是自变量为正整数的一类函数。
(2)等差数列、等比数列
①理解等差数列、等比数列的概念。
②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。
③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题。
④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。
二、 知识点解析
1.数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义:
①数列:按照一定顺序排列的一列数.
②数列的项:数列中的每一个数.
(2)数列的通项公式:
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
2.数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫数列的递推公式.
3. 求通项的方法
(1)由数列的前几项求数列的通项公式.
(2)由an与Sn的关系求通项an,公式法:an=
(3)由递推关系式求数列的通项公式
三、知识点精讲
方法一:由数列的前几项求数列的通项公式
例一、1.下列公式可作为数列{an}:1,2,1,2,1,2,…的通项公式的是( )
A.an=1 B.an=
C.an=2- D.an=
解析:选C 由an=2-可得a1=1,a2=2,a3=1,a4=2,….
2.根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式:
(1)4,6,8,10,…;
(2)-,,-,,…;
(3)a,b,a,b,a,b,…(其中a,b为实数);
(4)9,99,999,9 999,….
解:(1)各数都是偶数,且最小为4,所以通项公式an=2(n+1)(n∈N*).
(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式an=(-1)n×.
(3)这是一个摆动数列,奇数项是a,偶数项是b,所以此数列的一个通项公式an=
(4)这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1 000-1,10 000-1,所以它的一个通项公式an=10n-1.
方法二:由an与Sn的关系求通项an
例二、已知下面数列{an}的前n项和Sn,求{an}的通项公式:
(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n+b.
[解] (1)a1=S1=2-3=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,
由于a1也适合此等式,∴an=4n-5.
(2)a1=S1=3+b,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1.
当b=-1时,a1适合此等式.
当b≠-1时,a1不适合此等式.
∴当b=-1时,an=2·3n-1;
当b≠-1时,an=
训练:已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N*,求{an}的通项公式.
解:由a1=S1=(a1+1)(a1+2),
解得a1=1或a1=2,
由已知a1=S1>1,因此a1=2.
又由an+1=Sn+1-Sn=(an+1+1)(an+1+2)-(an+1)·(an+2),
得an+1-an-3=0或an+1=-an.
因为an>0,故an+1=-an不成立,舍去.
因此an+1-an-3=0.
即an+1-an=3,从而{an}是以公差为3,首项为2的等差数列,故{an}的通项公式为an=3n-1.
方法三:累乘法
形如an+1=anf(n),求an
例三.已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
解:(1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2,
解得a2=3a1=3.
由S3=a3得3(a1+a2+a3)=5a3,
解得a3=(a1+a2)=6.
(2)由题设知a1=1.
当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=an-an-1,
整理得an=an-1.
即=.
∴an=a1·····…···
=1·····…···
=(n≥2)
当n=1时,a1=1.
综上可知,{an}的通项公式an=.
方法四:累加法 形如an+1=an+f(n),求an
例四.已知a1=2,an+1=an+3n+2,求an.
解:∵an+1-an=3n+2,
∴an-an-1=3n-1(n≥2),
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(n≥2).
当n=1时,a1=×(3×1+1)=2符合公式,
∴an=n2+.
方法五构造法 形如an+1=Aan+B(A≠0且A≠1),求an
例五.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,求an.
解:∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1),
∴=3,∴数列{an+1}为等比数列,公比q=3,
又a1+1=2,∴an+1=2·3n-1,
∴an=2·3n-1-1.
四、 高考试题精练
一、选择题
1.(2016·太原模拟)数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是an等于( )
A. B.cos
C.cos π D.cos π
解析 令n=1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D正确.
答案 D
2.(2016·黄冈模拟)设an=-3n2+15n-18,则数列{an}中的最大项的值是( )
A. B. C.4 D.0
解析 ∵an=-3+,由二次函数性质,得当n=2或3时,an最大,最大为0.
答案 D
3.(2016·黄冈模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式为( )
A.an=2n-3 B.an=2n+3
C.an= D.an=
解析 当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3,由于a1的值不适合上式,故选C.
答案 C
4.数列{an}满足an+1+an=2n-3,若a1=2,则a8-a4=( )
A.7 B.6 C.5 D.4
解析 依题意得(an+2+an+1)-(an+1+an)=[2(n+1)-3]-(2n-3),即an+2-an=2,所以a8-a4=(a8-a6)+(a6-a4)=2+2=4.
答案 D
5.(2015·石家庄二模)在数列{an}中,已知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(n∈N*)的个位数,则a2 015=( )
A.8 B.6 C.4 D.2
解析 由题意得a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现,周期为6,故a2 015=a335×6+5=a5=2.
答案 D
二、填空题
6.(2016·上海模拟)在数列{an}中,a1=1,对于所有的n≥2,n∈N*,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5=________.
解析 由题意知a1·a2·a3·…·an-1=(n-1)2,
∴an=(n≥2),∴a3+a5=+=.
答案
7.(2016·潍坊一模)已知数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式an=________.
解析 当n=1时,a1=S1=a1+,∴a1=1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,∴=-.
∴数列{an}为首项a1=1,公比q=-的等比数列,故an=.
答案
8.(2015·太原二模)已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=nanan+1(n∈N*),则an=________.
解析 由已知得-=n,
∴-=n-1,-=n-2,…,-=1,
∴-=,∴=,∴an=.
答案
三、解答题
9.根据下列条件,确定数列{an}的通项公式.
(1)a1=1,an+1=3an+2;
(2)a1=1,an+1=(n+1)an;
(3)a1=2,an+1=an+ln.
解 (1)∵an+1=3an+2,
∴an+1+1=3(an+1),
∴=3,
∴数列{an+1}为等比数列,公比q=3,又a1+1=2,
∴an+1=2·3n-1,∴an=2·3n-1-1.
(2)∵an+1=(n+1)an,∴=n+1.
∴=n,=n-1,
……
=3,=2,a1=1.
累乘可得,an=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n!.
故an=n!.
(3)∵an+1=an+ln,
∴an+1-an=ln=ln.
∴an-an-1=ln,an-1-an-2=ln,
……
a2-a1=ln,
∴an-a1=ln+ln+…+ln=ln n.
又a1=2,∴an=ln n+2.
10.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a(a∈R且a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*.
(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;
(2)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.
解 (1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,
即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),
又S1-31=a-3(a≠3),故数列{Sn-3n}是首项为a-3,公比为2的等比数列,
因此,所求通项公式为bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*.
(2)由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,
于是,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,
an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2
=2n-2,
当n≥2时,an+1≥an⇔12·+a-3≥0⇔a≥-9.
又a2=a1+3>a1.
综上,所求的a的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).