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- 2021-05-13 发布
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【数学理】2011届高考模拟题(课标)分类汇编: 解析几何
1.(2011北京朝阳区期末)
已知点,分别是双曲线的左、右焦点,过F1且垂直于
轴的直线与双曲线交于,两点,若是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 .
2.(2011北京朝阳区期末)
设椭圆:的左、右焦点分别为,上顶点为,过点与垂直的直线交轴负半轴于点,且,若过,,三点的圆恰好与直线:相切. 过定点的直线与椭圆交于,两点(点在点,之间).
x
O
y
Q
A
·
·
F2
F1
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线的斜率,在轴上是否存在点
,使得以,为邻边的平行四
边形是菱形. 如果存在,求出的取值范围,
如果不存在,请说明理由;
(Ⅲ)若实数满足,求的取值范围.
解:(Ⅰ)因为,
所以为中点.
设的坐标为,
因为,
所以,,且过三点的圆的圆心为,半径为. …………………………………………… 2分
因为该圆与直线相切,所以.
解得,所以,.
故所求椭圆方程为. …………………………………………… 4分
(Ⅱ)设的方程为(),
由 得.
设,,则. ………………………5分
所以.
=
.
由于菱形对角线互相垂直,则. ……………………6分
所以.
故.
因为,所以.
所以
即.
所以
解得. 即.
因为,所以.
故存在满足题意的点且的取值范围是. ……………………… 8分
(Ⅲ)①当直线斜率存在时,
设直线方程为,代入椭圆方程
得.
由,得. …………………………………………………… 9分
设,,
则,.
又,所以. 所以. …… 10分
所以,.
所以. 所以.
整理得. …………………………………………… 11分
因为,所以. 即. 所以.
解得.
又,所以. …………………………………… 13分
②又当直线斜率不存在时,直线的方程为,
此时,,,,
,所以.
所以,即所求的取值范围是. ……………… 14分
3.(2011北京丰台区期末)
过点且与圆相切的直线方程为
4. (2011北京丰台区期末)
已知为平面直角坐标系的原点,过点的直线与圆交于两点.
(Ⅰ)若,求直线的方程;
(Ⅱ)若与的面积相等,求直线的斜率.
解:(Ⅰ)依题意,直线的斜率存在,
因为 直线过点,可设直线:.
因为 两点在圆上,所以 ,
因为 ,所以
所以 所以 到直线的距离等于.
所以 ,
得,
所以 直线的方程为或.
(Ⅱ)因为与的面积相等,所以,
设 ,,所以 ,.
所以 即 (*);
因为 ,两点在圆上,
所以 把(*)代入,得 ,
所以
所以 直线的斜率, 即.
5.(2011北京西城区期末)
双曲线的渐近线方程为;
若双曲线的右顶点为,过的直线与双曲线的两条渐近线交于两点,且
,则直线的斜率为.
6. (2011北京西城区期末)
在平面直角坐标系中,定义为两点,之间的“折线距离”. 则
坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是;
圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是.
7. (2011北京西城区期末)
已知椭圆()的右焦点为,离心率为.
(Ⅰ)若,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于,两点,分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上,且,求的取值范围.
解:(Ⅰ)由题意得,得. ………………2分
结合,解得,. ………………3分
所以,椭圆的方程为. ………………4分
(Ⅱ)由 得.
设.
所以, ………………6分
依题意,,
易知,四边形为平行四边形,
所以, ………………7分
因为,,
所以. ………………8分
即 , ………………9分
将其整理为 . ………………10分
因为,所以,. ………………11分
所以,即.
8、 (2011巢湖一检)已知三条直线,若关于的对称直线与垂直,则实数的值是(D)
A.-8 B.- C.8 D.
9. (2011巢湖一检)给出下列命题:
①已知椭圆两焦点为,则椭圆上存在六个不同点,使得为直角三角形;
②已知直线过抛物线的焦点,且与这条抛物线交于A、B两点,则|AB|的最小值为2;
③若过双曲线C:的一个焦点作它的一条渐近线的垂线,垂足为,为坐标原点,则;
④已知⊙,⊙,则这两圆恰有2条公切线;
其中正确命题的序号是①③④.(把你认为正确命题的序号都填上)
10.((2011巢湖一检)
已知直线,椭圆E:.
(Ⅰ)若不论k取何值,直线与椭圆E恒有公共点,试求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数式;
(Ⅱ)当时,直线与椭圆E相交于A、B两点,与y轴交于点M,若,求椭圆E方程.
解:(Ⅰ)∵直线恒过定点M(0,1),且直线与椭圆E恒有公共点,
∴点M(0,1)在椭圆E上或其内部,得,
解得.
(联立方程组,用判别式法也可)
当时,椭圆的焦点在轴上,;
当时,椭圆的焦点在轴上,.
∴
(Ⅱ)由,消去得.
设,,则①,②.
∵M(0,1),∴由得 ③.
由①③得 ④.
将③④代入②得, ,解得(不合题意,舍去).
∴椭圆E的方程为. ……
11. (2011承德期末)椭圆的右焦点到直线的距离是( A )
A. B. C.1 D.
12. (2011承德期末)双曲线的一个焦点为,顶点为,,P是双曲线上任意一点,则分别以线段为直径的两圆一定( B )
A.相交 B.相切 C.相离 D.以上情况都有可能
13. (2011承德期末)
椭圆的方程为,斜率为1的直线与椭圆交于两点.
(Ⅰ)若椭圆的离心率,直线过点,且,求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线过椭圆的右焦点F,设向量,若点在椭圆上,求 的取值范围.
解:(Ⅰ)∵, ∴.
∴.
∵ ∴ .
∴椭圆的方程为. ………………………………… 5分
(Ⅱ)得
,.
=(,), .
∵点在椭圆上 ,将点坐标代入椭圆方程中得.
∵ ,
∴ ,. …………… 12分
14.(2011佛山一检)已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点,且两曲线的一个交点为,若,则双曲线的渐近线方程为(B)
A. B. C. D.
15. (2011佛山一检)已知直线与轴,轴分别交于两点,
若动点在线段上,则的最大值为__________
16.(2011佛山一检)若点在直线上,过点的直线
与曲线只有一个公共点,
则的最小值为____4______.
17.(2011佛山一检)已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切,分别是椭圆的左右两个顶点, 为椭圆上的动点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若与均不重合,设直线与的斜率分别为,证明:为定值;
(Ⅲ)为过且垂直于轴的直线上的点,若,求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
解:(Ⅰ)由题意可得圆的方程为,
∵直线与圆相切,∴,即, 又,即,
,解得,,
所以椭圆方程为.
(Ⅱ)设, ,,则,即,
则,,
即,
∴为定值.
(Ⅲ)设,其中.
由已知及点在椭圆上可得,
整理得,其中.
①当时,化简得,
所以点的轨迹方程为,轨迹是两条平行于轴的线段;
②当时,方程变形为,其中,
当时,点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分;
当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分;
当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆.
18.(2011福州期末)若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为
( A )
A. B.5 C. D.2
19.(2011福州期末)定义:平面内横坐标为整数的点称为“左整点”,过函数图象上任意两个“左整点”作直线,则倾斜角大于的直线条数为 ( B )
A.10 B.11 C.12 D.13
20.(2011福州期末) 如图,
为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(Ⅱ)过点B的直线与曲线C交于M、N两点,与OD所在直线交于E点,若为定值。
解:(Ⅰ)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,
O为原点,建立平面直角坐标系,
∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.
且点Q在曲线C上,
∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2>|AB|=4.
∴曲线C是为以原点为中心,A、B为焦点的椭圆
设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1.
∴曲线C的方程为+y2=1 5分
(Ⅱ)证法1:设点的坐标分别为,
又易知点的坐标为.且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交.
∵,∴.
∴ ,. 7分
将M点坐标代入到椭圆方程中得:,
去分母整理,得. 10分
同理,由可得:.
∴ ,是方程的两个根,
∴ . 12分
(Ⅱ)证法2:设点的坐标分别为,又易知点的坐标为.且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交.
显然直线 的斜率存在,设直线 的斜率为 ,则直线 的方程是 .
将直线 的方程代入到椭圆 的方程中,消去 并整理得
. 8分
∴ ,.
又 ∵,
则.∴,
同理,由,∴. 10分
∴. 12分
21.. ( 2011广东广雅中学期末)
已知椭圆的中心为坐标原点O,椭圆短半轴长为1,动点 在直线上。
(1)求椭圆的标准方程
(2)求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程;
(3)设F是椭圆的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,
求证:线段ON的长为定值,并求出这个定值。
【解析】(1)又由点M在上,得
故, 从而 ……………2分
所以椭圆方程为 或 ……………4分
(2)以OM为直径的圆的方程为
即
其圆心为,半径 ……………6分
因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2
所以圆心到直线的距离 ……………8分
所以,解得
所求圆的方程为 ……………10分
(3)方法一:由平几知:
直线OM:,直线FN: ……………12分
由得
所以线段ON的长为定值。 ……………14分
方法二、设,则
……………12分
又
所以,为定值 ……………14分
22. (2011广州调研)
已知直线经过坐标原点,且与圆相切,切点在第四象限,则直线的
方程为 .
23、(2011广州调研)
已知椭圆的离心率. 直线()与曲线交于
不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 若圆与轴相交于不同的两点,求的面积的最大值.
(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
(1)解:∵椭圆的离心率, ∴. …… 2分
解得. ∴ 椭圆的方程为. …… 4分
(2)解法1:依题意,圆心为.
由 得. ∴ 圆的半径为. …… 6分
∵ 圆与轴相交于不同的两点,且圆心到轴的距离,
∴ ,即.
∴ 弦长. …… 8分
∴的面积 …… 9分
. …… 12分
当且仅当,即时,等号成立.
∴ 的面积的最大值为. …… 14分
解法2:依题意,圆心为.
由 得.∴ 圆的半径为. …… 6分
∴ 圆的方程为.
∵ 圆与轴相交于不同的两点,且圆心到轴的距离,
∴ ,即.
在圆的方程中,令,得,
∴ 弦长. (资料来源:数学驿站 www.maths168.co
∴的面积
.
当且仅当,即时,等号成立.
∴ 的面积的最大值为.
24.(2011哈尔滨期末)
抛物线上一点到直线的距离最短,则该点的坐标是( C )
A. B. C. D.
25.(2011哈尔滨期末)
双曲线的离心率为2,则的最小值为 ( A )
A. B. C. D.
26.(2011哈尔滨期末)
椭圆上有一点,是椭圆的左、右焦点,为直角三角形,则这样的点有 (C )
A.个 B.个 C.个 D.个
27.(2011哈尔滨期末)
已知是椭圆上一点,两焦点为,点是的内心,连接并延长交于,则的值为 ( A )
A. B. C. D.
28.(2011哈尔滨期末)
是抛物线的一条焦点弦,若,则的中点到直线
的距离为
29.(2011哈尔滨期末)
若是直角三角形的三边的长(为斜边),则圆被直线
所截得的弦长为 .
30.(2011哈尔滨期末)
椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,该椭圆经过点且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆相交两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
解:(1)椭圆的标准方程为
(2)设,得:
,,
以为直径的圆过椭圆的右顶点,,
,
,,且均满足,
当时,的方程为,则直线过定点与已知矛盾
当时,的方程为,则直线过定点
直线过定点,定点坐标为
31.(2011哈尔滨期末)
已知抛物线,其焦点到准线的距离为。,
(1)试求抛物线的方程;
(2)设抛物线上一点的横坐标为,过的直线交于另一点,交轴于,过点作的垂线交于另一点,若是的切线,求的最小值.
D
解:(1)
(2)设,则直线的方程为
令,得,
,且两直线斜率存在,,即,
整理得,又在直线上,
则与共线,得
由(1)、(2)得,,或(舍)
所求的最小值为。
32.(2011湖北八校一联)
已知上的动点,定点A(2,0),B(—2,0),则的最大值为 ( D )
A.4 B.0 C.—12 D.12
33.(2011湖北八校一联)
已知点的左准线与x轴的交点,若线段AB的中点C在椭圆上,则该椭圆的离心率为 。
34.(2011湖北八校一联)
已知双曲线的左、右顶点分别为A1、A2,动直线与圆相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为
(I)求k的取值范围,并求的最小值;
(II)记直线是定值吗?证明你的结论。
解: (Ⅰ)与圆相切, ………… ①
由 , 得 ,
,
,故的取值范围为.
由于,
当时,取最小值. 6分
(Ⅱ)由已知可得的坐标分别为,
,
,
由①,得 ,
为定值. 12分
35.(2011·湖北重点中学二联)已知定点,N是圆上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是 ( B )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
36.(2011·湖北重点中学二联)设F为抛物线的焦点,与抛物线相切于点P(-4,-4)的直线轴的交点为Q,则 。
37.(2011·湖北重点中学二联)(本小题满分12分)
已知点是椭圆上任意一点,直线的方程为
(I)判断直线与椭圆E交点的个数;
(II)直线过P点与直线垂直,点M(-1,0)关于直线的对称点为N,直线PN恒
过一定点G,求点G的坐标。
解:(1)由消去并整理得……2分
,
…………4分
故直线与椭圆只有一个交点…………5分
(2)直线的方程为
即………………6分
设关于直线的对称点的坐标为
则 解得……8分
直线的斜率为
从而直线的方程为
即
从而直线恒过定点…………12分
38、(2011·淮南一模)已知双曲线中心在原点且一个焦点为,点位于该双曲线上,线段的中点坐标为,则双曲线的方程为 ( B )
A. B. C. D.
39、(2011·淮南一模)若过点的直线与曲线有公共点,则直线的斜率的取值范围为 ( D )
A. B.
C. D.
40、(2011·淮南一模)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直线坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点,且法向量为
的直线(点法式)方程为,化简得. 类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点且法向量为的平面(点法式)方程为 (请写出化简后的结果);
41、(2011·淮南一模)等腰中,斜边,一个椭圆以为其中一个焦点,另一焦点在线段上,且椭圆经过,两点,则该椭圆的离心率是 。
42、(2011·淮南一模)(本小题13分)已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴的负半轴上,过其上一点的切线方程为为常数).
(Ⅰ)求抛物线方程;
(Ⅱ)斜率为的直线与抛物线的另一交点为,斜率为的直线与抛物线的另一交点为(、两点不同),且满足,求证:线段的中点在轴上;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当时,若的坐标为,求为钝角时点的纵坐标的
取值范围.
解:(Ⅰ)由题意可设抛物线的方程为,
∵过点的切线方程为,
∴抛物线的方程为 ………………………4分
(Ⅱ)直线PA的方程为,
同理,可得,
又
∴线段PM的中点在y轴上. …………………………8分
(Ⅲ)由
∵∠PAB为钝角,且P, A, B不共线, 即
,,
……………………10分
又∵点A的纵坐标 ∴当时,;
当
∴∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围为 …13分
43. (2011·黄冈期末) 已知直线l交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点,椭圆与y轴的正半轴交于B点,若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线l的方程是 ( A )
A.6x-5y-28=0 B.6x+5y-28=0 C.5x+6y-28=0 D.5x-6y-28=0
44、 (2011·黄冈期末)过双曲线(a>0,b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线,垂足恰好落在曲线上,则双曲线的离心率为 _____
45. (2011·黄冈期末) (12分)已知圆及定点,点P是圆M上的动点,
点Q在NP上,点G在MP上,且满足,.
(1)求G的轨迹C的方程;
(2)过点作直线l,与曲线C交于A,B两点,O为坐标原点,设
,是否存在这样的直线l,使四边形OASB的对角线相等?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
解:(1),所以椭圆方程为………4分
(2)四边形为平行四边形,又其对角线相等,则
当直线的斜率不存在时,四边形的对角线不相等;…………………………6分
当直线的斜率存在时,设直线,联立
……………………9分
,
整理得(*)
代入得
所以存在直线……………………………12分
46. (2011·惠州三调)(本题满分14分)
已知椭圆:的离心率为,过坐标原点且斜率为的直线与相交于、,.
⑴求、的值;
⑵若动圆与椭圆和直线都没有公共点,试求的取值范围.
解:⑴依题意,:……1分,不妨设设、()
由得,……3分,所以……5分,
解得,……6分.
⑵由消去得……7分,动圆与椭圆没有公共点,当且仅当或……9分,解得或……10分。动圆与直线没有公共点当且仅当,即……12分。解或……13分,得的取值范围为……14分.………………14分
47、(2011·锦州期末)设斜率为2的直线过抛物线的焦点,且和轴交于点A,若△(为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( B )
(A) (B) (C) (D)
48、(2011·锦州期末)已知直线相交于A,B两点,且则= .
49、(2011·锦州期末)双曲线=1(b∈N)的两个焦点、,为双曲线上一点,成等比数列,则=____1_____
50、(2011·锦州期末)(本小题12分)
如图所示,已知圆为圆上一动点,点在上,点在上,且满足的轨迹为曲线.
(I)求曲线的方程;
(II)若过定点F(0,2)的直线交曲线于不同的两点
(点在点之间),且满足,求的取值范围.
【解】(Ⅰ)
∴NP为AM的垂直平分线,∴|NA|=|NM|.…………………………2分
又
∴动点N的轨迹是以点C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆.
且椭圆长轴长为焦距2c=2. ……………5分
∴曲线E的方程为………………6分
(Ⅱ)当直线GH斜率存在时,
设直线GH方程为
得
设……………………8分
,
……………………10分
又当直线GH斜率不存在,方程为
…………………
51.(2011·金华十二校一联)若,则方程表示的曲线只可能是( C )
A B C D
52.(2011·金华十二校一联)设分别为双曲线的左右焦点,为双曲线的左顶点,以为直径的圆交双曲线某条渐近线于两点,且满足,则该双曲线的离心率为 .
53.(2011·金华十二校一联)(本题满分15分)
已知椭圆的两个焦点分别为,点在椭圆上,且满足,直线与圆相切,与椭圆相交于两点.
(I)求椭圆的方程;
(II)证明为定值(为坐标原点).
解:(I)由题意,,
解三角形得,由椭圆定义得,
从而又,则,所以椭圆的方程为 (6分)
(II)设交点,
联立消去得
由韦达定理得 (9分)
又直线与圆相切,
则有 (11分)
从而
(14分)
所以,即为定值. (15分)
54.(2011·九江七校二月联考)直线与圆C:的位置关系是( A )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
55.(2011·九江七校二月联考)设抛物线=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于C,=2,则与的面积之比=( D )
A. B. C. D.
56.(2011·九江七校二月联考)(本小题满分13分)
已知抛物线:的焦点为,过点作直线交抛物线于、两点;椭圆的中心在原点,焦点在轴上,点是它的一个顶点,且其离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)经过、两点分别作抛物线的切线、,切线与相交于点.证明:
;
(3) 椭圆上是否存在一点,经过点作抛物线的两条切线、(、为切点),使得直线过点?若存在,求出抛物线与切线、所围成图形的面积;若不存在,试说明理由.
解:(1)设椭圆的方程为 ,半焦距为.
由已知条件,得,
∴
解得 .
所以椭圆的方程为:. …………分
(2)显然直线的斜率存在,否则直线与抛物线只有一个交点,不合题意,
故可设直线的方程为 ,,
由
消去并整理得 ,
∴ . …………分
∵抛物线的方程为,求导得,
∴过抛物线上、两点的切线方程分别是
, ,
即 , ,
解得两条切线、的交点的坐标为,即,……分
∴
∴. …………8分
(3)假设存在点满足题意,由(2)知点必在直线上,又直线与椭圆有唯一交点,故的坐标为,
设过点且与抛物线相切的切线方程为:,其中点为切点.
令得,,
解得或 , …………10分
故不妨取,即直线过点.
综上所述,椭圆上存在一点,经过点作抛物线的两条切线、 (、为切点),能使直线过点.
此时,两切线的方程分别为和. …………11分
抛物线与切线、所围成图形的面积为
. ……
57.(2011·南昌期末)设圆的圆心在双曲线的右焦点上,且与此双曲线的渐近线相切,若圆被直线截得的弦长等于2,则( C )
A. B. C. D.
58. (2011·南昌期末)(在给出的二个题中,任选一题作答. 若多选做,则按所做的第①题给分)
①已知圆的极坐标方程为,则该圆的圆心到直线的距离为____________.
②若不等式 对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是____________________.
59. (2011·南昌期末)(本小题满分13分)
从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰好为椭圆的左焦点是椭圆的右顶点,是椭圆的上顶点,且.
(1)求该椭圆的离心率;
(2)若过右焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点,点关于轴的对称点为,直线与轴交于点,求椭圆的方程.
解:(1)令,得,
所以点P的坐标为,………………………2分
由得到:, ……………………………………………4分
所以,即离心率………………………………………………5分
(2)设直线的方程为:,与椭圆方程
联立得到:即:…6分
记,,
则……………………………………………………7分
由A关于轴的对称点为,得,
则直线的方程是:,过点得到:
…………………………………9分
即:
所以:……………………………………………………11分
得到:,所以:……………………………………………………12分
所以所求椭圆方程为:…………………………………………………13分
60、(2011·日照一调)已知圆P的方程为(x-3)2+(y-2)2=4,直线y=mx与圆P交于A、B两点,直线y=nx与圆P交于C、D两点,则·+·(O为坐标原点)等于( D )
(A)4 (B)8 (C)9 (D)18
61、.(2011·三明三校二月联考)已知点F为抛物线y 2 = -8x的焦点,O为原点,点P是抛物线准线上一动点,点A在抛物线上,且
|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为 (C )
A. 6 B. C. D.4+2
62、 (2011·三明三校二月联考)(本题满分14分) 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,其中
F2也是抛物线的焦点,M是C1与C2在第一象限的交点,且
(I)求椭圆C1的方程; (II)已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上,顶点B、D在直线上,求直线AC的方程。
解:(I)设由抛物线定义,
…………3分, M点C1上,
舍去.
椭圆C1的方程为…………6分
(II)为菱形,,设直线AC的方程为 在椭圆C1上,设,则 …………10分
的中点坐标为,由ABCD为菱形可知,点在直线BD:上,
∴直线AC的方程为…………14分
63. (2011·上海普陀区高三期末)若直线的一个法向量为,则直线的倾斜角为 .
64. (2011·上海普陀区高三期末)抛物线的顶点在坐标原点,焦点是椭圆的一个焦点,则此抛物线的焦点到其准线的距离为 4 .
65. (2011·上海普陀区高三期末)方程为的曲线上任意两点之间距离的最大值为 .
66. (2011·上海普陀区高三期末)双曲线上到定点的距离是6的点的个数是 ( B )
A. 0个; B. 2个; C. 3个; D. 4个.
67. (2011·泰安高三期末)已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为( D )
A.5x2- y2=1 B.
C. D. 5x2-y2=1
68. (2011·泰安高三期末)由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的图形的面积为 .
69. (2011·泰安高三期末)圆心在曲线上,且与直线2x+y+1=0
相切的面积最小的圆的方程为 (x-1)2+(y-2)2=5 .
70. (2011·泰安高三期末)(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为e=,且过点()
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+m(k≠0,m>0)与椭圆交于P,Q两点,且以PQ为对角线的菱形的一顶点为(-1,0),求:△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程.
.解:(Ⅰ)∵e= ∴c= a ∴b2=a2-c2= a2
故所求椭圆为:
又椭圆过点() ∴ ∴a2 =4. b2 =1 ∴
(Ⅱ)设P(x1,y1), Q(x2,y2),PQ的中点为(x0,y0)
将直线y=kx+m与
联立得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0
①
又x0=
又点[-1,0)不在椭圆OE上,
依题意有
整理得3km=4k2+1 ②…
由①②可得k2>,∵m>0, ∴k>0,∴k>…分)
设O到直线l的距离为d,则
S△OPQ =
=……………分)
当的面积取最大值1,此时k=
∴直线方程为y= ……………………………
71. (2011苏北四市二调)已知直线:和:,则的充要条件是
72. (2011苏北四市二调)双曲线的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点在“上”区域内,则双曲线离心率的取值范围是 .
73. (2011苏北四市二调)(本小题满分16分)
O
M
N
F2
F1
y
x
(第18题)
如图,椭圆过点,其左、右焦点分别为,离心率,是椭圆右准线上的两个动点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最小值;
(3)以为直径的圆是否过定点?
请证明你的结论.
解:(1),且过点,
解得 椭圆方程为。
设点 则,
, 又,
的最小值为.
圆心的坐标为,半径.
圆的方程为,
整理得:.
,
令,得,.
圆过定点.…
74. (2011苏北四市二调)(本小题满分10分)
已知动圆过点且与直线相切.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)过点作一条直线交轨迹于两点,轨迹在两点处的切线相交于点,为线段的中点,求证:轴.
O
F
x
y
·
·
P
第22题
解:(1)根据抛物线的定义,可得动圆圆心的轨迹C的方程为…………4分
证明:设, ∵, ∴ ,∴ 的斜率分别
O
F
x
y
·
·
P
第22题
为,故的方程为,的方程为 …7分
即,两式相减,得,又
,
∴ 的横坐标相等,于是………………10分
75、 ( 2011·温州八校联考)F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,A是其右顶点,过F2作轴的垂线与双曲线的一个交点为P,G是,则双曲线的离心率是 ( C )
A.2 B. C.3 D.
76.( 2011·温州八校联考)点P在椭圆上运动,Q、R分别在两圆和上运动,则的取值范围为 ______[2,6] 。
77.( 2011·温州八校联考)(本小题满分15分)
已知抛物线的顶点在原点,焦点坐标为,点的坐标为,设过点的直线l交抛物线于两点,点关于原点的对称点为点.
(1)当直线l的斜率为1时,求的面积关于m的函数表达式.
(2)试问在轴上是否存在一定点,使得TA,TB与轴所成的锐角相等?若存在,求出定点 的坐标,若不存在,请说明理由.
y
P
o
x
A
B
78、(2011·温州十校高三期末)
已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABF2为钝角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是 ( D )
(A)(1,)(B) (C) (D)
79、(2011·温州十校高三期末)由直线上的一点向圆引切线,则切线长的最小值为
80、(2011·温州十校高三期末)设直线系M: ,对下列四个命题:
(1)M中所有直线均经过一个定点
(2)存在固定区域P,M中的任一条直线都不过P
(3)对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上
(4)M中的直线所能围成的正三角形面积相等
其中真命题的代号是 (2),(3) (写出所有真命题的代号)
81、(2011·温州十校高三期末)(本小题满分15分)设、分别是椭圆 的左、右焦点,是该椭圆上的一个动点,为坐标原点.
(1)求的取值范围;
(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点M、N,且∠为锐角,求直线的斜率的取值范围. 21(本小题满分15分)
解:(1)易知
所以,设,则
,故-21 ------------6分
(2)显然直线不满足题设条件,可设直线,
则消去,整理得:
由得: 或---①--------------------9分
又∵
又0°<∠MON<90°cos∠MON>0>0
∴-------------------------11分
∴,即 ∴---② ----13分
故由①、②得或 ------------------------15
82. (2011烟台一调)已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为( D )
A. B. C. D.
83. (2011烟台一调)椭圆的左、右焦点分别是F1,F2,过F2作倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为M,若MF1垂直于x轴,则椭圆的离心率为________________
84. (2011烟台一调)(本小题满分12分)
如图,平面上定点F到定直线l的距离|FM|=2,P为该平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为Q,且
(1)试建立适当的平面直角坐标系,求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线于点N,已知为定值.
解:(1)方法一:如图,以线段的中点为原点,以线段所在的直线为轴建立直角坐标系.则,.…………2分
设动点的坐标为,则动点的坐标为
,, ……………3分
由·,得. ………5分
方法二:由. ………2分
所以,动点的轨迹是抛物线,以线段的中点
为原点,以线段所在的直线为轴建立直角坐标系,可得轨迹的方程为:
.
(2)方法一:如图,设直线的方程为,,分
则.联立方程组 消去得,
,,
故
由,得,
,,
整理得,,
·.
方法二:由已知,,得.
于是, , ①分
如图,过、两点分别作准线的垂线,垂足分别为、,
则有== , ②
由①、②得.