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- 2021-05-13 发布
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绝密 * 启用前
2006 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题卷(理工农医类)
数学试题(理工农医类)共 5 页,满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用
橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时,必须使 0.5 毫米黑色墨水签字笔,将答案书写在答题止规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
5.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式:
如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)-P(A)+P(B) .
如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)-P(A)·P(B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立事件重复试验中恰好发生 k 次
的概率 Pn(k)=CknPk(1-P)n-k
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
(1)已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则( uA)∪( uB)=
(A){1,6} (B){4,5}
(C){1,2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7}
(2)在等差数列{an}中,若 aa+ab=12,SN 是数列{an}的前 n 项和,则 SN 的值为
(A)48 (B)54 (C)60 (D)66
(3)过坐标原点且与 x2|y2 4x|2y+ =0 相切的直线的方程为
(A)y=-3x 或 y= x (B) y=-3x 或 y=- x
(C)y=-3x 或 y=- x (B) y=3x 或 y= x
(4)对于任意的直线 l 与平同 a,在平面 a 内必有直线 m,使 m 与 l
(A)平行 (B)相交
(C)垂直 (D)互为异面直线
(5)若 n 的展开式中各项系数之和为 64,则展开式的常数项为
(A)-540 (B)
(c)162 (D)540
(6)为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁-18岁
的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下:
2
5
3
1
3
1
3
1
3
1
( x3 )
x
1
根据上图可得这 100 名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是
(A)20 (B)30
(C)40 (D)50
(7)与向量 a= 的夹解相等,且模为 1 的向量是
(A) (B) 或
(C) (D) 或
(8)将 5 名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同
的分配方案有
(A)30种 (B)90种
(C)180种 (D)270种
(9)如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB
所围成的弓形面积的2倍,则函数 y=f(x)的图象是
题 (9)图
−
b,2
1,2
7
2
7,2
1
−
5
3,5
4
−
5
3,5
4
−
5
3,5
4
−
3
1,3
22
−
3
1,3
22
−
3
1,3
22
(10)若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc=4-2 ,则 2a+b+c 的最小值为
(A) -1 (B) +1
(C) 2 +2 (D) 2 -2
一、填空题:本大题共 6 小题,共 24 分,把答案填写在答题卡相应位置上
(11)复数复数 的值是_________.
(12) _________.
(13)已知 ,sin( )=- sin 则 os =________.
(14)在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项 an=_________.
(15) 设 a>0,n 1, 函 数 f(x)=alg(x2-2n+1) 有 最 大 值 . 则 不 等 式 logn(x2-5x+7) >0 的 解 集 为
_______.
(16)已知变量 x,y 满足约束条件 1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点
(3,1)处取得最大值,则 a 的取值范围为___________.
二、解答题:本大题共6小题,共76分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分 13 分)
设函数 f(x)= cos2cos+sin rcos x+a(其中 >0,a R),且 f(x)的图象在 y 轴右侧的第一
个高点的横坐标为 .
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)如果 f(x)在区间 上的最小值为 ,求 a 的值.
(18)(本小题满分 13 分)
某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18、19、20 层可以停靠.若该电梯在底层载有 5
位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ,用ξ表示这 5 位乘客在第 20
层下电梯的人数.求:
(Ⅰ)随机变量ξ的分布列;
(Ⅱ)随机变量ξ的期望.
(19)(本小题满分13分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA 底面 ABCD, DAB 为直角,AB‖CD,AD=CD=24B,E、
3
3 3
3 3
2i3
21
+
+ i
∝−n
lim =−−
−+++
12
)12(31
2 nn
n
βα,
∈ ππ
,4
3 βα + ,5
3 ,13
12
4
=
− πβ
+
4
πα
≠
3 ω ω ω ∈
6
x
−
6
5,3
ππ
3
3
1
⊥ ∠
F 分别为 PC、CD 的中点.
(Ⅰ)试证:CD 平面 BEF;
(Ⅱ)设 PA=k·AB,且二面角 E-BD-C 的平面角大于
,求 k 的取值范围.
(20)(本小题满分 13 分)
已知函数 f(x)=(x2+bx+c)cx,其中 b,c R 为常数. 图(19)图
(Ⅰ)若 b2>4(a-1),讨论函数 f(x)的单调性;
(Ⅱ)若 b2<4(c-1),且 =4,试证:-6≤b≤2.
(21)(本小题满分 12 分)
已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.
(Ⅰ)若 f(2)-3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a);
(Ⅱ)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)= x0,求函数 f(x)的解析表达式.
(22)(本小题满分 12 分)
已知一列椭圆 Cn:x2+ =1. 0<bn<1,n=1,2. .若椭圆 C 上有一点 Pn 使 Pn 到右准线 ln 的距
离 d.是|PnFn|与|PnCn|的等差中项,其中 Fn、Cn 分别是 Cn 的左、右焦点.
(Ⅰ)试证:bn≤ (n≥1);
(Ⅱ)取 bn= ,并用 SA 表示 PnFnGn 的面积,试
证:S1<S1 且 Sn<Sn+3 (n≥3).
图(22)图
(20)(本小题满分 13 分)
已知函数 f(x)=(x2+bx+c)cx,其中 b,c R 为常数.
(Ⅰ)若 b2>4(a-1),讨论函数 f(x)的单调性;
(Ⅱ)若 b2<4(c-1),且 =4,试证:-6≤b≤2.
(21)(本小题满分 12 分)
已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.
(Ⅰ)若 f(2)-3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a);
(Ⅱ)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)= x0,求函数 f(x)的解析表达式.
⊥
°30
∈
∞→n
lim x
cxf −)(
2
2
nb
y
2
3
2
32
+
+
n
n ∆
∈
∞→n
lim x
cxf −)(
(22)(本小题满分 12 分)
已知一列椭圆 Cn:x2+ =1. 0<bn<1,n=1,2. .若椭圆 C 上有一点 Pn 使 Pn 到右准线 ln 的距
离 d.是|PnFn|与|PnCn|的等差中项,其中 Fn、Cn 分别是 Cn 的左、右焦点.
(Ⅰ)试证:bn≤ (n≥1);
(Ⅱ)取 bn= ,并用 SA 表示 PnFnGn 的面积,试证:S1<S1 且 Sn<Sn+3 (n≥3).
图(22)图
2
2
nb
y
2
3
2
32
+
+
n
n ∆
部分参考答案
(18)(本小题 13 分)
解法一:(Ⅰ)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,5.
由等可能性事件的概率公式得
P(ξ=0)= = , P(ξ=1)=
P(ξ=2)= = , P(ξ=3)=
P(ξ=4)= = , P(ξ=5)=
从而ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4 5
P
(Ⅱ)由(Ⅰ)得ξ的期望为
Eξ=0× +1× +2× +3× +4× +5×
= = .
解法二:(Ⅰ)考察一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验,这是 5 次独立重复试验.
故ξ-B ,即有
P(ξ=k)=C ,k=0,1,2,3,4,5.
由此计算ξ的分布列如解法一.
解法三: (Ⅰ)同解法一或解二.
(Ⅱ)由对称性与等可能性,在三层的任一层下电梯的人数同分布,故期望值相
等.
即 3Eξ=5,从而 Eξ= .
(19)(本小题 13 分)
解法一:
(Ⅰ)证:由已知 DF∥AB 且 DAD 为直角,故 ABFD 是矩
2
5
3
2
243
32 =•
5
41
5
3
2C .243
80
=•
5
32
5
3
2C
243
80 =•
5
42
5
3
2C .243
40
=•
5
4
3
3
2C
243
10 =
53
1 .243
1
243
32
243
80
243
80
243
40
243
10
243
1
243
32
243
80
243
80
243
40
243
10
243
1
243
405
3
5
3
1,5
2
5
b
3
1 k−
5
3
2
3
5
∠
形,从而 CD BF.
又 PA 底面 ABCD,CD AD,故由三垂线定理知 CD PD.在△PDC 中,E、F 分别
PC、CD 的中点,故 EF∥PD,从而 CD EF,由此得 CD 面 BEF. 第(19)图1
(Ⅱ)连结 AC 交 BF 于 G.易知 G 为 AC 的中点.连接 EG,则在△PAC 中易知 EC∥PA.又因
PA 底面 ABCD,故 BC 底面 ABCD.在底面 ABCD 中,过 C 作 GH BD,垂足为 H,连接
EH.由三垂线定理知 EH BD.从而 EHG 为二面角 E-BD-C 的平面角.
设 AB=a,则在△PAC 中,有
BG= PA= ka.
以下计算 GH,考察底面的平面图(如答(19)图2).连结 GD.
因 S△CBD= BD·GH= GB·OF.
故 GH= .
在 △ ABD 中 , 因 为 AB = a,AD=2A, 得 BD= a
第(19)图2
而 GB= FB= AD-a.DF-AB,从而得
GH= = =
因此 tanEHG= =
由 k>0 知 是锐角,故要使 > ,必须
>tan =
解之得,k 的取值范围为 k>
解法二:
(Ⅰ)如图,以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴,AP 所在直线为:轴
建立空间直角坐标系,设 AB=a,则易知点 A,B,C,D,F 的坐标分别为
A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),
⊥
⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥ ⊥
⊥ ∠
2
1
2
1
2
1
2
1
BD
DFGB •
5
2
1
2
1
BD
DFGB •
a
aa
5
•
.5
5 a
GH
EG .2
5
5
5
2
1
k
a
ka
=
EHG∠ EHG∠ °30
k2
5 °30 ,3
3
.15
152
F(a,2a,0).
从而 =(2a,0,0), =(0,2a,0),
· =0,故 .
设 PA=b,则 P(0,0,b),而 E 为 PC 中点.故 第(19)3
E .从而 = .
· =0,故 .
由此得 CD 面 BEF.
(Ⅱ)设 E 在 xOy 平面上的投影为 G,过 G 作 GH BD 垂足为 H,由三垂线定理知 EH BD.
从而 EHG 为二面角 E-BD-C 的平面角.
由 PA=k·AB 得 P(0,0,ka),E ,G(a,a,0).
设 H(x,y,0),则 =(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),
由 · =0 得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即
x-2y=-a ①
又因 =(x,a,y,0),且 与 的方向相同,故 = ,即
2x+y=2a ②
由①②解得 x= a,y= a,从而 = ,| |= a.
tanEHG= = = .
由 k>0 知,EHC 是锐角,由 EHC> 得 tanEHG>tan 即
>
故 k 的取值范围为 k> .
(20)(本小题 13 分)
解:(Ⅰ)求导得 f2(x)=[x2+(b+2)x+b+c]ex..
因 b2>4(c-1),故方程 f2(x)=0 即 x2+(b+2)x+b+c=0 有两根;
DC BF
DC BF DC ⊥ BF
2,, baa BE
2,,0 ba
DC BE DC ⊥ BE
⊥
⊥ ⊥
∠
2,, kaaa
GH BD
GH BD
BH BH BD a
ax −
a
y
2
5
3
5
4 GH
−− 0,5
1,5
2 aa GH 5
5
GH
EC
a
Ka
5
5
2 k2
5
∠ ,30° ,30°
k2
5 .3
3
15
152
x1=- <x2=-
令 f′(x)>0,解得 x<x1 或 x>x1;
又令 f′(x)>0,解得 x1<x<x2.
故当 xε(-, x1)时,f(x)是增函数,当 xε(x2,+)时,f(x)也是增函数,但当 xε(x1 ,
x2)时,f(x)是减函数.
(Ⅱ)易知 f(0)=c,f(u)=b+c,因此
.
所以,由已知条件得
b+e=4
b2≤4(e-1),
因此 b2+4b-12≤0.
解得-6≤b≤2.
(21)(本小题 12 分)
解:(Ⅰ)因为对任意 xεR,有 f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x,所以
f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.
又由 f(2)=3,得 f(3-22+2)-3-22+2,即 f(1)=1.
若 f(0)=a,则 f(a-02+0)=a-02+0,即 f(a)=a.
(Ⅱ)因为对任意 xεR,有 f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.
又因为有且只有一个实数 x0,使得 f(x0)- x0.
所以对任意 xεR,有 f(x)- x2 +x= x0.
在上式中令 x= x0,有 f(x0)-x + x0= x0,
又因为 f(x0)- x0,所以 x0- x =0,故 x0=0 或 x0=1.
若 x0=0,则 f(x)- x2 +x=0,即
f(x)= x2 –x.
但方程 x2 –x=x 有两上不同实根,与题设条件矛质,故 x2≠0.
若 x2=1,则有 f(x)- x2 +x=1,即 f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上,所求函数为
f(x)= x2 –x+1(x R).
(22)(本小题 12 分)
证:(1)由题设及椭圆的几何性质有
设
2
)1(4
2
2 −−−+ cbcb
2
2+b .2
)1(42 −−+ cb
ebfx
fxf
x
exf +==−=−
→→ )0()0()(lim)(lim
00
2
0
2
0
∈
.1,2||||2 ==+= nnnnnn dGPFPd 故
则右准线方程为,1 2
nn bt −=
因此,由题意 应满足
即
即 ,
从而对任意
(Ⅱ)设点
得两极 ,从而易知 f(c)在( , )内是增函 数,而在( ,
1)内是减函数.
现在由题设取 是增数列.
又易知
故由前已证,知
.1
x
n exl =
nd
.1111 +≤≤−
x
n
x ede
,<,解之得:
<<
12
1
10
111
n
n
x e
e
e ≤
≤−
12
1 <ne≤
.2
3,1 ≤≥ nbn
及椭圆方程易知则出)的坐标为( 1,, −nnnn dfxP
,11 −=
n
n ex
))11(1)(1()1( 22222 −−−=−=
n
nnnn ccxby
6
131±
2
1
6
131±
6
131±
,,2
112
11,2
32 2 cnn
nbcn
nb nnn +−−+
+=−=+
+= 则
<
4
3
2 =c .5
4
6
131
nc=± <
).3(121 ≥+ nSSSS nn<,且<
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