江苏高考函数真题汇编 32页

江苏高考数学_函数_十年汇编（2005-2017）‎ 一．基础题组 ‎1. 【2005江苏，理2】函数的反函数的解+析表达式为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎2. 【2005江苏，理15】函数的定义域为 .‎ ‎3. 【2005江苏，理16】若‎3a=0.618,a∈,k∈Z，则k= .‎ ‎4. 【2005江苏，理17】已知a,b为常数，若则 .‎ ‎5. 【2007江苏，理6】设函数f（x）定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）＝3x-1，则有（ ）‎ A.f（）＜f（）＜f（）B.f（）＜f（）＜f（）‎ C.f（）＜f（）＜f（）D.f（）＜f（）＜f（）‎ ‎6. 【2007江苏，理8】设f（x）=lg（）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（ ）‎ A.（-1，0）B.（0，1）C.（-∞，0）D.（-∞，0）∪（1，+∞）‎ ‎7. 【2007江苏，理16】某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为‎5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则d= __________，其中t∈0，60].‎ ‎8. 【2009江苏，理10】.已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 ▲ . ‎ ‎9. 【2010江苏，理5】设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为__________．‎ ‎10. 【2011江苏，理2】函数的单调增区间是 .‎ ‎11. 【2011江苏，理8】在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于两点，则线段长的最小值为 .‎ ‎12. 【2011江苏，理11】已知实数，函数，若 ‎，则的值为 .‎ ‎13. 【2012江苏，理5】函数的定义域为__________．‎ ‎14. 【2012江苏，理10】设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若，则a＋3b的值为__________．‎ ‎15. 【2014江苏，理10】已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 .‎ ‎16.【2016年高考江苏卷】函数y=的定义域是 .‎ ‎17.【2016年高考江苏卷】设 是定义在R上且周期为2的函数，在区间)上， 其中 若 ，则的值是 ▲ .‎ 二．能力题组 ‎1. 【2010江苏，理14】将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是__________．‎ ‎2. 【2012江苏，理17】如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为‎1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎(1)求炮的最大射程；‎ ‎(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．‎ ‎3. 【2013江苏，理13】在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数(x＞0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为，则满足条件的实数a的所有值为__________．‎ ‎4. 【2014江苏，理13】已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 .‎ ‎5. 【2015高考江苏，13】已知函数，，则方程实根的个数为 ‎ 三．拔高题组 ‎1. 【2005江苏，理22】已知函数 ‎（Ⅰ）当a=2时，求使f（x）＝x成立的x的集合；‎ ‎（Ⅱ）求函数y＝f (x)在区间1,2]上的最小值.‎ ‎2. 【2006江苏，理20】设a为实数，设函数的最大值为g(a).‎ ‎　　　（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)‎ ‎（Ⅱ）求g(a)‎ ‎（Ⅲ）试求满足的所有实数a ‎3. 【2007江苏，理21】已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax2+bx2+cx+d.方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根.‎ ‎（1）求d的值；（3分）‎ ‎（2）若a=0，求c的取值范围；（6分）‎ ‎（3）若a=l，f（1）=0，求c的取值范围.（7分）‎ ‎4. 【2008江苏，理20】已知函数，（为常数）．函数定义为：对每个给定的实数，‎ ‎（1）求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）；‎ ‎（2）设是两个实数，满足，且．若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）‎ ‎ ‎ ‎5. 【2009江苏，理19】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为. ‎ 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为 ‎(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=； ‎ ‎(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ ‎ ‎(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由. ‎ ‎6. 【2009江苏，理20】设为实数，函数. ‎ ‎(1)若，求的取值范围； ‎ ‎(2)求的最小值； ‎ ‎(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.‎ ‎7.【2016年高考江苏卷】（本小题满分16分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）设.‎ ‎①求方程=2的根；‎ ‎②若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；‎ ‎（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.‎ ‎2017-14．（5分）（2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是　 　．‎ ‎2017-20．（16分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）‎ ‎（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（2）证明：b2＞3a；‎ ‎（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．‎ 答案 一．基础题组 ‎1. 【2005江苏，理2】函数的反函数的解+析表达式为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎ ‎ ‎2. 【2005江苏，理15】函数的定义域为 .‎ ‎【答案】‎ 由题意得：‎ ‎ 则由对数函数性质得：‎ ‎ 即,求得函数的定义域为：.‎ ‎3. 【2005江苏，理16】若‎3a=0.618,a∈,k∈Z，则k= .‎ ‎【答案】‎ 如图观察分析指数函数y=3x的图象，函数值为0.168上，与‎3a=0.168, ‎ ‎4. 【2005江苏，理17】已知a,b为常数，若则 .‎ ‎【答案】2‎ 由f(x)=x2+4x+3, f(ax+b)=x2+10x+24, ‎ ‎ 得：（ax+b）2+4(ax+b)+3=x2+10x+24,‎ ‎ 即：a2x2+2abx+b2+4ax+4b+3=x2+10x+24,‎ ‎ 比较系数得：‎ ‎ 求得：a=-1,b=-7, 或a=1,b=3，则‎5a-b=2.‎ ‎5. 【2007江苏，理6】设函数f（x）定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）＝3x-1，则有（ ）‎ A.f（）＜f（）＜f（）B.f（）＜f（）＜f（）‎ C.f（）＜f（）＜f（）D.f（）＜f（）＜f（）‎ ‎【答案】B ‎6. 【2007江苏，理8】设f（x）=lg（）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（ ）‎ A.（-1，0）B.（0，1）C.（-∞，0）D.（-∞，0）∪（1，+∞）‎ ‎【答案】A ‎7. 【2007江苏，理16】某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为‎5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则d= __________，其中t∈0，60].‎ ‎【答案】10sin ‎ ‎ ‎8. 【2009江苏，理10】.已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 ▲ . ‎ ‎ ‎ ‎9. 【2010江苏，理5】设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为__________．‎ ‎【答案】－1‎ ‎∵函数f(x)＝x(ex＋ae－x)，x∈R是偶函数，‎ ‎∴设g(x)＝ex＋ae－x，x∈R.由题意知g(x)应为奇函数(奇函数×奇函数＝偶函数)，‎ 又∵x∈R，∴g(0)＝0，则1＋a＝0，∴a＝－1. ‎ ‎10. 【2011江苏，理2】函数的单调增区间是 .‎ ‎【答案】‎ 由，得，所以函数的单调增区间是.‎ ‎11. 【2011江苏，理8】在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于两点，则线段长的最小值为 .‎ ‎ 12. 【2011江苏，理11】已知实数，函数，若，则的值为 .‎ ‎【答案】‎ 本题考查了函数的概念及函数和方程的关系，是A级要求， 中档题.由题意得，当时， ，，解之得，不合舍去；当时，，，解之得.本题只要根据题意对分类，把问题化为方程问题求解即可，而无需画图，否则较易错.要分析各类问题的特点，恰当转化是解决问题的关键，要培养相关的意识.‎ ‎13. 【2012江苏，理5】函数的定义域为__________．‎ ‎【答案】(0，]‎ 要使函数有意义，则需 解得0＜x≤，故f(x)的定义域为(0，].‎ ‎14. 【2012江苏，理10】设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若，则a＋3b 的值为__________．‎ ‎ ‎ ‎15. 【2014江苏，理10】已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 .‎ ‎【答案】‎ 据题意解得．‎ ‎16.【2016年高考江苏卷】函数y=的定义域是 .‎ ‎【答案】‎ 试题分析：要使函数式有意义，必有，即，解得．故答案应填：‎ ‎【考点】函数定义域 ‎【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先“列”后“解”是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指（对）数不等式、三角不等式等联系在一起. ‎ ‎17.【2016年高考江苏卷】设 是定义在R上且周期为2的函数，在区间)上， 其中 若 ，则的值是 ▲ .‎ 二．能力题组 ‎1. 【2010江苏，理14】将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ 设剪成的上一块正三角形的边长为x. ‎ 则S＝ (0＜x＜1)，‎ S′＝‎ ‎＝－，‎ 令S′＝0，得x＝或3(舍去)．‎ x＝是S的极小值点且是最小值点．‎ ‎∴Smin＝. ‎ ‎2. 【2012江苏，理17】如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为‎1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎(1)求炮的最大射程；‎ ‎(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．‎ ‎ 3. 【2013江苏，理13】在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数(x＞0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为，则满足条件的实数a的所有值为__________．‎ ‎ 4. 【2014江苏，理13】已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ 作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有．‎ ‎5. 【2015高考江苏，13】已知函数，，则方程实根的个数为 ‎ 三．拔高题组 ‎1. 【2005江苏，理22】已知函数 ‎（Ⅰ）当a=2时，求使f（x）＝x成立的x的集合；‎ ‎（Ⅱ）求函数y＝f (x)在区间1,2]上的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎(Ⅰ)由题意,f(x)=x2‎ 当x<2时,f(x)=x2(2-x)=x,解得x=0,或x=1;‎ 当x 综上所述,所求解集为.‎ ‎(Ⅱ)设此最小值为m.‎ ‎①当 ‎ 因为:‎ ‎ 则f(x)是区间1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1-a..‎ ‎ ‎ ‎2. 【2006江苏，理20】设a为实数，设函数的最大值为g(a).‎ ‎　　　（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)‎ ‎（Ⅱ）求g(a)‎ ‎（Ⅲ）试求满足的所有实数a ‎【答案】（Ⅰ）m(t)=‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎（Ⅲ）或a=1‎ 综上有 ‎ ‎ 矛盾.‎ 情形5：当时，，此时g(a)=a+2, ‎ 由解得矛盾.‎ 情形6：当a>0时，，此时g(a)=a+2, ‎ 由，由a>0得a=1.‎ 综上知，满足的所有实数a为或a=1. ‎ ‎3. 【2007江苏，理21】已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax2+bx2+cx+d.方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根.‎ ‎（1）求d的值；（3分）‎ ‎（2）若a=0，求c的取值范围；（6分）‎ ‎（3）若a=l，f（1）=0，求c的取值范围.（7分）‎ ‎【答案】（1）d=0.（2）0，4）.（3）0， ）‎ ‎（3）由a=1，f（1）=0得b= -c，f（x）=bx2+cx=cx（-x+1），‎ g（f（x））=f（x）f2（x）-cf（x）+c].　　 ③‎ 由f（x）=0可以推得g（f（x））=0，知方程f（x） =0的根一定是方程g（f（x））=0的根.‎ 当c=0时，符合题意.‎ 当c≠0时，b≠0，方程f（x）=0的根不是方程f2（x）-cf（x）+c=0　　④‎ 的根，因此，根据题意，方程④应无实数根，那么 当（-c）2‎-4c＜0，即0＜c＜4时，f2（x）-cf（x）+c>0，符合题意.‎ 当（-c）2‎-4c≥0，即c＜0或c≥4时，由方程④得 f（x）=-cx2+cx=，即cx2–cx+=0，　　 ⑤‎ 则方程⑤应无实数根，所以有 ‎（-c）2‎-4c＜0且（-c）2‎-4c＜0.‎ 当c＜0时，只需-c2‎-2c＜0，解得0＜c＜，矛盾，舍去.‎ 当c≥4时，只需-c2+‎2c＜0，解得0＜c＜.‎ 因此，4≤c＜.‎ 综上所述，所示c的取值范围为0， ）. ‎ ‎4. 【2008江苏，理20】已知函数，（为常数）．函数定义为：对每个给定的实数，‎ ‎（1）求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）；‎ ‎（2）设是两个实数，满足，且．若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 再由的单调性可知，‎ 函数在区间上的单调增区间的长度 为（参见示意图1）‎ O y x ‎(a,f(a))‎ ‎(b,f(b))‎ 图1‎ ‎ ‎ 解得图象交点的横坐标为 ‎ ⑴‎ 显然，‎ 这表明在与之间.由⑴易知 ‎ ‎ 综上可知，在区间上， （参见示意图2）‎ O y x ‎(a,f(a))‎ ‎(b,f(b))‎ ‎(x0,y0)‎ ‎(p2,2)‎ ‎(p1,1)‎ 图2‎ ‎ ‎ ‎5. 【2009江苏，理19】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为. ‎ 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为 ‎(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=； ‎ ‎(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ ‎ ‎(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由. ‎ ‎【答案】(1)详见解+析； (2) 时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 (3) 不能 ‎ 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力.满分16分.‎ ‎(1) ‎ 当时，,‎ ‎, =‎ ‎（3）由（2）知：=‎ 由得：，‎ 令则，即：.‎ 同理，由得：‎ 另一方面，‎ 当且仅当，即=时，取等号.‎ 所以不能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立.‎ ‎6. 【2009江苏，理20】设为实数，函数. ‎ ‎(1)若，求的取值范围； ‎ ‎(2)求的最小值； ‎ ‎(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.‎ ‎（1）若，则 ‎（2）当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 综上 ‎（3）时，得，‎ 当时，；‎ 当时，△>0,得：‎ 讨论得：当时，解集为;‎ 当时，解集为;‎ 当时，解集为.‎ ‎7.【2016年高考江苏卷】（本小题满分16分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）设.‎ ‎①求方程=2的根；‎ ‎②若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；‎ ‎（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.‎ 所以对于恒成立.‎ 而，且，‎ 所以，故实数的最大值为4.‎ 间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.‎ 若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.‎ 因此，.‎ 于是，故，所以.‎ ‎【考点】指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点 ‎【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图等确定其中参数的范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充 ‎14．（5分）（2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}‎ ‎，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是　8　．‎ ‎【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，‎ 第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，‎ 又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，‎ ‎∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ 同理：‎ 区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ 区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ 区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ 区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ 区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ 区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ 区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ 在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；‎ 故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；‎ 即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，‎ 故答案为：8‎ ‎【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．‎ ‎20．（16分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）‎ ‎（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（2）证明：b2＞3a；‎ ‎（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．‎ ‎（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；‎ ‎（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．‎ ‎【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，‎ 所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，‎ 令g′（x）=0，解得x=﹣．‎ 由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；‎ 所以f′（x）的极小值点为x=﹣，‎ 由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，‎ 所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，‎ 所以b=+（a＞0）．‎ 因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，‎ 所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，‎ 所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，‎ 所以b=+（a＞3）．‎ ‎（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），‎ 由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；‎ ‎（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，‎ 设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，‎ 所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2‎ ‎=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2‎ ‎=﹣+2，‎ 又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，‎ 所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，‎ 因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，‎ 所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，‎ 所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，‎ 由于a＞3时2a2+12a+9＞0，‎ 所以a﹣6≤0，解得a≤6，‎ 所以a的取值范围是（3，6]．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．‎ ‎　‎