高考立体几何压轴题精选 10页

‎1．甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四 面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一 个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为,则以四个氢原子为顶点 的这个正四面体的体积为( )‎ A, B, C, D,‎ ‎2．夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之 比为( )‎ A,3:2:1 B,2:3:‎1 C,3:6:2 D,6:8:3‎ ‎3．设二面角的大小是,P是二面角内的一点,P点到的距离分别为‎1cm,‎ ‎2cm‎,则点P到棱的距离是( )‎ A, B, C, D,‎ A B C D E F ‎4．如图,E,F分别是正三棱锥ABCD的棱AB,BC 的中点,且DEEF.若BC=,则此正三棱锥的体积是( )‎ A, B,‎ C, D,‎ ‎5．棱长为的正八面体的外接球的体积是( )‎ A, B, C, D,‎ ‎6．若线段AB的两端点到平面的距离都等于2,则线段AB所在的直线和平面 ‎ 的位置关系是 .‎ ‎7．若异面直线所原角为,AB是公垂线,E,F分别是异面直线上到A,B距离为 ‎2和平共处的两点,当时,线段AB的长为 .‎ ‎8．如图(1),在直四棱柱中,当底面四边形满足条件 ‎ 时,有C(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)‎ A B C D A B C D 图(1)‎ A B E N M 图(2)‎ C D F ‎9．如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:‎ ‎①AB与EF所连直线平行; ②AB与CD所在直线异面;‎ ‎③MN与BF所在直线成; ④MN与CD所在直线互相垂直.‎ 其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出)‎ ‎10．如图,在中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC分别交AB,AC于D,E.将沿 ‎ DE折起来使得A到,且为的二面角,求到直线BC的最小距离.‎ A B O C D E O A ‎11．如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1.‎ ‎(1)问BC边上是否存在点Q使得PQQD?并说明理由;‎ ‎(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角Q的正切.‎ A B C D P Q ‎12. 已知三角形ABC的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面积. P ‎13.在正四棱柱中，， ‎ 为B‎1C1的中点．‎ ‎（1）求直线AC与平面ABP所成的角； ‎ ‎（2）求异面直线AC与BP所成的角；‎ ‎（3）求点B到平面APC的距离．‎ ‎14.如图,正四棱锥P-ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为。‎ （1） 求侧面PAD 与底面ABCD所成二面角的大小 ；‎ （2） 若E 是PB 中点，求异面直线PD与AE所成的角的正切值 ；‎ P E D C B A ‎（3）在侧面PAD上寻找一点F使EF⊥侧面PBC，试确定F的位置并证明。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎15：在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共计27个点中，问共线的三点组的个数是多少 ‎16.如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA， 点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC． (Ⅰ)求证∥平面；‎ ‎ (Ⅱ) 求直线与平面PBC所成角的正弦．‎ ‎17. 如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2 （Ⅰ）证明：AC⊥BO1；‎ 图3‎ 图1 ‎ 图2‎ ‎ （Ⅱ）求二面角O－AC－O1的余弦．‎ ‎18.已知圆柱的底面半径为3，高为4，A、B两点分别在两底面圆周上，并且AB=5，求异面直线AB与轴OO/之间的距离。‎ ‎19.简单选填题 ‎1、已知是平面，m，n是直线，给出下列命题：‎ ‎①若；‎ ‎②若； ‎ ‎③如果相交；‎ ‎④若 其中正确命题的个数是（ ）‎ ‎ A．4 B．‎3 ‎C．2 D．1‎ ‎2、已知三条不重合的直线m、n、l两个不重合的平面，有下列命题 ‎ ①若；‎ ‎ ②若；‎ ‎ ③若；‎ ‎ ④若；‎ ‎ 其中正确的命题个数是 （ ）‎ ‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎3、α、β为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列条件：①a//α、b；②a ‎⊥α、b；③a⊥α、b；④a//α、b且a与α的距离等于b与β的距离.其中是a⊥b的充分条件的有 （ ）‎ A．①④ B．① C．③ D．②③‎ ‎4、已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面，有下列命题 ‎①若； ②若；‎ ‎③若； ④若；‎ 其中正确的命题个数是 ‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎5、若l、m、n是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 A．若∥β，，则∥n B．若⊥β，，则⊥β C．若⊥n，m⊥n，则∥m D．若⊥， ∥β，则⊥β ‎6、若二面角为 ，直线，直线，则直线与所成的角取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7、已知直线与平面成角，直线，若直线在内的射影与直线也成45°角，则与所成的角是 A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎8、设正方体ABCD-A1B‎1C1D1中E，F分别是棱A‎1A，B1B中点，G为BC上一点，若C‎1F⊥EG，则为（ ）‎ ‎ A．60° B．90° C．120° D．150°‎ ‎9、已知三棱锥中，，点E、F分别在AC、AD上，使面，则平面BEF与平面BCD所成的二面角的正弦值为 （ ）‎ A B C D ‎ ‎10、从P点出发三条射线PA，PB，PC两两成60°，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球的体积为，则OP的距离为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．2‎ ‎11、直线与平面成45°角，若直线在内的射影与内的直线成45°角，则与 所成的角是（ ）‎ ‎ A．30° B．45° C． 60° D．90°‎ ‎12、一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是 （ ） ‎ ‎ A．8 B．‎6 C．4 D． ‎13、已知线段AB在平面外，AB两点到平面的距离分别是1和3，则线段AB中点到平面的距离是__________. ‎ ‎14、正三棱锥P－ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是____________. ‎ ‎15、(江苏省启东中学高三综合测试三)三棱锥P－ABC的四个顶点点在同一球面上，若PA⊥底面ABC，底面ABC是直角三角形，PA=2, AC=BC=1，则此球的表面积为　　　　　　　　　　。 ‎ ‎16、四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为　　　　。‎ 答案：1．过顶点A,V与高作一截面交BC于点M,点O为正四面体的中心,为底面ABC的中心,‎ 设正四面体VABC的棱长为,则AM==VM,=,‎ ‎,,得 在中,,即,得.‎ 则,有.选B.‎ 温馨提示:正四面体外接球的半径:内切球的半径=.‎ ‎2． ,选B.‎ ‎3．设PA棱于点A,PM平面于点M,PN平面于点N,PA=,,则 ‎,得,有或(舍去),‎ 所以,选B.‎ ‎4．由DEEF,EF//AC,有DEAC,又ACBD,DEBD=D,得AC平面ABD.‎ 由对称性得,于是.‎ ‎,选B.‎ ‎5．可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有,得,‎ 外接球的体积,选D.‎ ‎6．当时,AB//;当时,AB//或AB;当时,AB//或与斜交.‎ ‎7．由,得 ‎(1)当时,有,得;‎ ‎(2)当时,有,得.‎ ‎8． ACBD.(或ABCD是正方形或菱形等)‎ ‎9．将展开的平面图形还原为正方体,可得只②,④正确.‎ ‎10．解:设的高AO交DE于点,令,‎ 由AO=,有,‎ 在中,,有 得.‎ 当时,到直线BC的最小距离为6.‎ ‎11．解:(1)(如图)以A为原点建立空间直角坐标系,设,则 Q,P(0,0,1),D得,‎ 由,有,得 ①‎ 若方程①有解,必为正数解,且小于.由,,得.‎ ‎(i)当时,BC上存在点Q,使PQQD;‎ ‎(ii)当时, BC上不存在点Q,使PQQD.‎ ‎(2)要使BC边上有且只有一个点Q,使PQQD,则方程①有两个相等的实根,‎ 这时,,得,有.‎ 又平面APD的法向量,设平面PQD的法向量为 而,,‎ 由,得,解得有,则 ‎,则所以二面角的正切为.‎ ‎12. 根据向量积的定义, 可知三角形ABC的面积 ‎. 由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此 =4i-6j+2k.‎ 于是 . ‎13. （1）∵AB⊥平面BC1，PC平面BC1，∴AB⊥PC ‎ 在矩形BCC1B1 中，BC=2，BB1=1，P为B‎1C1的中点，∴PC⊥PB ‎ ‎∴PC⊥平面ABP，∴∠CAP为直线AC与平面ABP所成的角 ‎ ‎∵PC=，AC=，∴在Rt△APC中，∠CAP=300‎ ‎∴直线AC与平面ABP所成的角为300 ‎ ‎（2）取A1D1中点Q，连结AQ、CQ，在正四棱柱中，有AQ∥BP，‎ ‎∴∠CAQ为异面直线AC与BP所成的角 ‎ 在△ACQ中，‎ ‎∴∠CAQ=600 ‎ ‎∴异面直线AC与BP所成的角为600 （也可用向量法） ‎ ‎（3）过点B作BH⊥AP于H， 由题（1） PC⊥平面ABP，∴PC⊥BH ‎∴BH⊥平面APC ‎ ‎∴BH的长即为点B到平面APC的距离 在Rt△ABP中，AB=2，‎ ‎14、方法一：（Ⅰ）证明：‎ ‎ （Ⅱ）解：取VD的中点E，连结AE，BE ‎∵VAD是正三角形 ‎∴AE⊥VD，AF=AD∵AB⊥平面VAD ∴AB⊥AE 又由三垂线定理知BE⊥VD 因此，是所求二面角的平面角 于是，‎ 即得所求二面角的大小为 ‎15解答：两端点都为顶点的共线三点组共有个；两端点都为面的中心共线三点组共 有个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有个，且没有别的类型的共线三点组，所以总共有个 ‎16.解答 ‎ ‎ ‎．‎ ‎17.解答（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1．所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB． 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）O1（0，0，）．‎ 从而 所以AC⊥BO1． ‎ ‎ （II）解：因为所以BO1⊥OC，由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量．设是0平面O1AC的一个法向量，由得． 设二面角O—AC—O1的大小为，由、的方向可知，>，所以COS，>=即二面角O—AC—O1的大小是 ‎18. 在圆柱底面上AO⊥OO/，BO/⊥OO/，又OO/是圆柱的高，AB=5，所以d=。即异面直线AB与轴OO/之间的距离为。‎ ‎19. 答案 1~5 CBCBD 6~12 CCBBBCC 13、 1或2 14、3 15、6p 16、