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- 2021-05-13 发布
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2010年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学 (文史类)
数学试题卷(文史类)共4页。满分150分。考试时间l20分钟。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中.只有一项是符合题目要求的.
(1)的展开式中的系数为
(A)4 (B)6 (C)10 (D)20
(2)在等差数列中,,则的值为
(A)5 (B)6 (C)8 (D)10
(3)若向量,,,则实数的值为
(A) (B) (C)2 (D)6
(4)函数的值域是
(A) (B) (C) (D)
(5)某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人,则样本容量为
(A)7 (B)15 (C)25 (D)35
(6)下列函数中,周期为,且在上为减函数的是
(A) (B)
(C) (D)
(7)设变量满足约束条件则的最大值为
(A)0 (B)2 (C)4 (D)6
(8)若直线与曲线()有两个不同的公共点,则实数的取值范围为
(A) (B)
(C) (D)
(9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点
(A)只有1个 (B)恰有3个 (C)恰有4个 (D)有无穷多个
(10)某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班,每天安排2人,每人值班1天;若6位员工中的甲不值14日,乙不值16日,则不同的安排方法共有
(A)30种 (B)36种 (C)42种 (D)48种
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.
(11)设,则=____________ .
(12)已知,则函数的最小值为____________ .
(13)已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点,,则
_ _ .
(14)加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品 率分别为、、,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为____________ .
(15)如题(15)图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线,各段弧所在的圆经过同一点(点不在上)且半径相等. 设第段弧所对的圆心角为,则____________ .
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(16)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分. )
已知是首项为19,公差为-2的等差数列,为的前项和.
(Ⅰ)求通项及;
(Ⅱ)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列的通项公式及其前
项和.
(17)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分. )
在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,……,6),求:
(Ⅰ)甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率;
(Ⅱ)甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.
(18)(本小题满分13分),(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分)
设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc .
(Ⅰ) 求sinA的值;
(Ⅱ)求的值.
(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)
已知函数(其中常数a,b∈R),是奇函数.
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)讨论的单调性,并求在区间上的最大值和最小值.
(20)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分. )
如题(20)图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,点是棱的中点.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)若,求二面角的平面角的余弦值.
(21)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分. )
已知以原点为中心,为右焦点的双曲线的离心率.
(Ⅰ)求双曲线的标准方程及其渐近线方程;
(Ⅱ)如题(21)图,已知过点的直线: 与过点(其中)的直线:的交点在双曲线上,直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点,求的值.
参考答案
1-10 BADCB ACDDC
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.
(11)解析:
(12)解析:,当且仅当时,
(13)解析:由抛物线的定义可知
故2
(14)解析:加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品,由对立事件公式得
加工出来的零件的次品率
(15)解析:
又,所以
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(16)解:(I)因为是首项为公差的等差数列,
所以
(II)由题意所以
(17)
解:考虑甲、乙两个单位的排列,甲、乙两单位可能排列在6个位置中的任两个,有种等可能的结果。
(I)设A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”
则A包含的结果有种,
故所求概率为
(II)设B表示“甲、乙两单位的演出序号不相邻”
则表示甲、乙两单位序号相邻,包含的结果有种。
从而
(18)解:(I)由余弦定理得
又
(II)原式
(19)
解:(Ⅰ)由题意得
因此是奇函数,所以有
从而
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,上是减函数;当从而在区间上是增函数。
由前面讨论知,而因此
,最小值为
(20)(I)证明:如答(20)图1,由PA⊥底面ABCD,得PA⊥AB,由PA=AB知
为等腰直角三角形,又点E是棱PB的中点,故AE⊥PB
由题意知BC⊥AB,又AB是PB在面ABCD内的射影,
由垂线定理得BC⊥PB,从而PC⊥平面PAB,
因AE⊥BP,AE⊥BC,所以AE⊥平面PBC。
(II)解:由(I)知BC⊥平面PAB,又AD//BC,
得AD⊥平面PAB,故AD⊥AE。
在中,PA=AB=,
从而在,
所以为等边三角形,
取CE的中点F,连接DF,则
因BE=BC=1,且BC⊥BE,则为等腰直角三角形,连接BF,则BF⊥CE,
所以为所求的二面角的平面角。
连接BD,在中,
所以
故二面角B—EC—D的平面角的余弦值为
解法二:
(I)如答(20)图2,以A为坐标原点,射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴,建立空间直角坐标系A—xyz.
设D(0,a,0),则
.
于是
则,所以AE⊥平面PBC.
(II)解:设平面BEC的法向量为n,由(I)知,AE⊥平面BEC,
故可取
设平面DEC的法向量,则,
由 =1,得
从而
故
所以
可取
从而
所以二面角B—EC—D的平面角的余弦值为
(21)(本题12分)
解:(I)设C的标准方程是,
则由题意
因此
C的标准方程为
C的渐近线方程为
(II)解法一:如图(21)图,由题意点在直线和
上,因此有
故点M、N均在直线上,因此直线MN的方程为
设G、H分别是直线MN与渐近线及的交点,
由方程组
解得
故
因为点E在双曲线
所以
解法二:设,由方程组得
解得
故直线MN的方程为
注意到因此直线MN的方程为,
下同解法一.
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