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  • 2021-05-13 发布

高考数学一轮题组训练平面向量的数量积

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第3讲 平面向量的数量积 ‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时:40分钟)‎ 一、填空题 ‎1.(2013·湛江二模)向量a=(1,2),b=(0,2),则a·b=________.‎ 解析 a·b=(1,2)·(0,2)=1×0+2×2=4.‎ 答案 4‎ ‎2.(2014·绍兴质检)在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=120°,则在方向上的投影为________.‎ 解析 如图所示,在方向上的投影为||cos 60°=2×=1.‎ 答案 1‎ ‎3.(2013·山东省实验中学诊断)已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,).若a+2b与c垂直,则k=________.‎ 解析 由题意知(a+2b)·c=0,即a·c+2b·c=0.‎ 所以k++2=0,解得k=-3.‎ 答案 -3‎ ‎4.(2014·浙江五校联盟)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(‎2a+b)·b=0,则向量a,b的夹角为________.‎ 解析 由(‎2a+b)·b=0,得‎2a·b+|b|2=0.‎ ‎∴2|b|2·cos〈a,b〉+|b|2=0,∴cos〈a,b〉=-,‎ 又〈a,b〉∈[0,π],∴〈a,b〉=.‎ 答案  ‎5.(2013·福建卷改编)在四边形ABCD中,=(1,2),B=(-4,2),则该四边形的面积为________.‎ 解析 ∵·=1×(-4)+2×2=0,‎ ‎∴⊥,‎ ‎∴S四边形===5.‎ 答案 5‎ ‎6.(2013·课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=________.‎ 解析 b·c=b·[ta+(1-t)b]=ta·b+(1-t)b2‎ ‎=t|a||b|cos 60°+(1-t)|b|2‎ ‎=+1-t=1-.‎ 由b·c=0,得1-=0,所以t=2.‎ 答案 2‎ ‎7.(2013·重庆卷)在OA为边,OB为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数k=________.‎ 解析 在矩形中,=(-3,1),=(-2,k),所以=-=(-2,k)-(-3,1)=(1,k-1),因为⊥,所以·=0,即-3+k-1=0,解得k=4.‎ 答案 4‎ ‎8.(2014·潍坊二模)如图,在△ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3,〈,〉=60°,则||=________.‎ 解析 因为〈,〉=60°,所以·=||·||cos 60°=1×3×=,又=,所以2=(+)2=(2+2·+2),即2=(1+3+9)=,所以||=.‎ 答案  二、解答题 ‎9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).‎ ‎(1)若a⊥b,求x的值;‎ ‎(2)若a∥b,求|a-b|.‎ 解 (1)若a⊥b,‎ 则a·b=1×(2x+3)+x(-x)=0.‎ 整理得x2-2x-3=0,故x=-1或x=3.‎ ‎(2)若a∥b,则有1×(-x)-x(2x+3)=0,‎ 即x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2.‎ 当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0),‎ ‎∴|a-b|==2.‎ 当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4),‎ ‎∴|a-b|=2.‎ 综上,可知|a-b|=2或2.‎ ‎10.已知|a|=4,|b|=3,(‎2a-3b)·(‎2a+b)=61,‎ ‎(1)求a与b的夹角θ;‎ ‎(2)求|a+b|;‎ ‎(3)若=a,=b,求△ABC的面积.‎ 解 (1)∵(‎2a-3b)·(‎2a+b)=61,‎ ‎∴4|a|2-‎4a·b-3|b|2=61.‎ 又|a|=4,|b|=3,∴64-‎4a·b-27=61,‎ ‎∴a·b=-6.‎ ‎∴cos θ===-.‎ 又0≤θ≤π,∴θ=.‎ ‎(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+‎2a·b+|b|2‎ ‎=42+2×(-6)+32=13,‎ ‎∴|a+b|=.‎ ‎(3)∵与的夹角θ=,∴∠ABC=π-=.‎ 又||=|a|=4,||=|b|=3,‎ ‎∴S△ABC=||||sin∠ABC=×4×3×=3.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时:25分钟)‎ 一、填空题 ‎1.(2013·泰州一模)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a的夹角为________.‎ 解析 由|a+b|=|a-b|,得a2+‎2a·b+b2=a2-‎2a·b+b2,即a·b=0,所以(a+b)·a=a2+a·b=|a|2.‎ 故向量a+b与a的夹角θ的余弦值为 cos θ===.所以θ=.‎ 答案  ‎2.已知向量p的模为,向量q的模为1,p与q的夹角为,且a=3p+2q,b=p-q,则以a,b为邻边的平行四边形的长度较小的对角线长为________.‎ 解析 由题意可知较小的对角线为|a-b|=|3p+2q-p+q|=|2p+3q|== ‎= =.‎ 答案  ‎3.(2013·浙江卷)设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,y∈R.若e1,e2的夹角为,则的最大值等于________.‎ 解析 因为e1·e2=cos =,所以b2=x2+y2+2xye1·e2=x2+y2+xy.所以==,设t=,则1+t2+t=2+≥,所以0<≤4,即的最大值为4,所以的最大值为2.‎ 答案 2‎ 二、解答题 ‎4.设两向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.‎ 解 由已知得e=4,e=1,e1·e2=2×1×cos 60°=1.‎ ‎∴(2te1+7e2)·(e1+te2)=2te+(2t2+7)e1·e2+7te=2t2+15t+7.‎ 欲使夹角为钝角,需2t2+15t+7<0,得-7<t<-.‎ 设2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0),∴ ‎∴2t2=7.∴t=-,此时λ=-.‎ 即t=-时,向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为π.‎ ‎∴当两向量夹角为钝角时,t的取值范围是 ∪.‎