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- 2021-05-13 发布
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第3讲 平面向量的数量积
基础巩固题组
(建议用时:40分钟)
一、填空题
1.(2013·湛江二模)向量a=(1,2),b=(0,2),则a·b=________.
解析 a·b=(1,2)·(0,2)=1×0+2×2=4.
答案 4
2.(2014·绍兴质检)在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=120°,则在方向上的投影为________.
解析 如图所示,在方向上的投影为||cos 60°=2×=1.
答案 1
3.(2013·山东省实验中学诊断)已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,).若a+2b与c垂直,则k=________.
解析 由题意知(a+2b)·c=0,即a·c+2b·c=0.
所以k++2=0,解得k=-3.
答案 -3
4.(2014·浙江五校联盟)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(2a+b)·b=0,则向量a,b的夹角为________.
解析 由(2a+b)·b=0,得2a·b+|b|2=0.
∴2|b|2·cos〈a,b〉+|b|2=0,∴cos〈a,b〉=-,
又〈a,b〉∈[0,π],∴〈a,b〉=.
答案
5.(2013·福建卷改编)在四边形ABCD中,=(1,2),B=(-4,2),则该四边形的面积为________.
解析 ∵·=1×(-4)+2×2=0,
∴⊥,
∴S四边形===5.
答案 5
6.(2013·课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=________.
解析 b·c=b·[ta+(1-t)b]=ta·b+(1-t)b2
=t|a||b|cos 60°+(1-t)|b|2
=+1-t=1-.
由b·c=0,得1-=0,所以t=2.
答案 2
7.(2013·重庆卷)在OA为边,OB为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数k=________.
解析 在矩形中,=(-3,1),=(-2,k),所以=-=(-2,k)-(-3,1)=(1,k-1),因为⊥,所以·=0,即-3+k-1=0,解得k=4.
答案 4
8.(2014·潍坊二模)如图,在△ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3,〈,〉=60°,则||=________.
解析 因为〈,〉=60°,所以·=||·||cos 60°=1×3×=,又=,所以2=(+)2=(2+2·+2),即2=(1+3+9)=,所以||=.
答案
二、解答题
9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).
(1)若a⊥b,求x的值;
(2)若a∥b,求|a-b|.
解 (1)若a⊥b,
则a·b=1×(2x+3)+x(-x)=0.
整理得x2-2x-3=0,故x=-1或x=3.
(2)若a∥b,则有1×(-x)-x(2x+3)=0,
即x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0),
∴|a-b|==2.
当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4),
∴|a-b|=2.
综上,可知|a-b|=2或2.
10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|;
(3)若=a,=b,求△ABC的面积.
解 (1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,
∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.
又|a|=4,|b|=3,∴64-4a·b-27=61,
∴a·b=-6.
∴cos θ===-.
又0≤θ≤π,∴θ=.
(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2
=42+2×(-6)+32=13,
∴|a+b|=.
(3)∵与的夹角θ=,∴∠ABC=π-=.
又||=|a|=4,||=|b|=3,
∴S△ABC=||||sin∠ABC=×4×3×=3.
能力提升题组
(建议用时:25分钟)
一、填空题
1.(2013·泰州一模)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a的夹角为________.
解析 由|a+b|=|a-b|,得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,所以(a+b)·a=a2+a·b=|a|2.
故向量a+b与a的夹角θ的余弦值为
cos θ===.所以θ=.
答案
2.已知向量p的模为,向量q的模为1,p与q的夹角为,且a=3p+2q,b=p-q,则以a,b为邻边的平行四边形的长度较小的对角线长为________.
解析 由题意可知较小的对角线为|a-b|=|3p+2q-p+q|=|2p+3q|==
= =.
答案
3.(2013·浙江卷)设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,y∈R.若e1,e2的夹角为,则的最大值等于________.
解析 因为e1·e2=cos =,所以b2=x2+y2+2xye1·e2=x2+y2+xy.所以==,设t=,则1+t2+t=2+≥,所以0<≤4,即的最大值为4,所以的最大值为2.
答案 2
二、解答题
4.设两向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
解 由已知得e=4,e=1,e1·e2=2×1×cos 60°=1.
∴(2te1+7e2)·(e1+te2)=2te+(2t2+7)e1·e2+7te=2t2+15t+7.
欲使夹角为钝角,需2t2+15t+7<0,得-7<t<-.
设2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0),∴
∴2t2=7.∴t=-,此时λ=-.
即t=-时,向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为π.
∴当两向量夹角为钝角时,t的取值范围是
∪.