全国各地高考文科数学试题分类汇编14导数 13页

‎2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编14：导数   一、选择题 1 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知函数 ,下列结论中错误的是 （　　） A． R,  B.函数 的图像是中心对称图形 C．若 是 的极小值点,则 在区间 上单调递减 D．若 是 的极值点,则  【答案】C  2 ．（2013年高考大纲卷（文））已知曲线 （　　） A．  B．  C．  D．  【答案】D   3 ．（2013年高考湖北卷（文））已知函数 有两个极值点,则实数 的取值范围是（　　） A．  B．  C．  D．  【答案】B  4 ．（2013年高考福建卷（文））设函数 的定义域为 , 是 的极 大值点,以下结论一定正确的是 （　　） A．  B． 是 的极小值点  C． 是 的极小值点 D． 是 的极小值点 【答案】D   5 ．（2013年高考安徽（文） ）已知函数 有两个极值点 ,若 ,则关于 的方程 的不同实根个数为 （　 　） A．3 B．4 C．5 D．6  【答案】A   ‎ ‎6 ．（2013年高考浙江卷（文））已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是                【答案】B   二、填空题 7 ．（2013年高考广东卷（文））若曲线 在点 处的切线平行于 轴,则 ____________. 【答案】      8 ．（2013年高考江西卷（文））若曲线 (α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________. 【答案】2     三、解答题 9 ．（2013年高考浙江卷（文））已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax (Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值. 【答案】解:(Ⅰ)当 时, ,所以 ,所以 在 处的切线方程是: ;  (Ⅱ)因为   ①当 时, 时, 递增, 时, 递减,所以当   时,且 , 时, 递增, 时, 递减,所以最小值是 ;  ②当 时,且 ,在 时, 时, 递减, 时, 递增,所以最小值是 ;  综上所述:当 时,函数  最小值是 ;当 时,函数 最 小值是 ;  10．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分) 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 米,高为 ‎ 米,体积为 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000 元( 为圆周率). (Ⅰ)将 表示成 的函数 ,并求该函数的定义域;z (Ⅱ)讨论函数 的单调性,并确定 和 为何值时该蓄水池的体积最大.z 【答案】       11．（2013 年高考陕西卷（文））已知函数 .  (Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;  (Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线 有唯一公共点.  (Ⅲ) 设a ,   ,  所以存在 , ,使得 .  由于函数 在区间 和 上均单调,所以当 时曲线 与直线 有且只有两个不同 交点.  综上可知,如果曲线 与直线 有且只有两个不同交点,那么 的取值范围是 .  17．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））(本小题满分共12分) ‎ 已知函数 ,曲线 在点 处切线方程为 . (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)讨论 的单调性,并求 的极 大值. 【答案】    (II) 由(I)知,       令    从而当 <0.  故 .  当 .  18．（2013年高考天津卷（文））设 , 已知函数   (Ⅰ) 证明 在区间(-1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;  (Ⅱ) 设曲线 在点 处的切线相互平行, 且  证明 .  【答案】       19．（2013年高考福建卷（文））已知函数 ( , 为自然对数的底数). (1)若曲线 在点 处的切线平行于 轴,求 的值; (2)求函数 的极值; (3)当 的值时,若直线 与曲线 没有公共点,求 的最大值. 【答案】解:(Ⅰ)由 ,得 .  又曲线 在点 处的切线平行于 轴,  ‎ 得 ,即 ,解得 .  (Ⅱ) ,  ①当 时, , 为 上的增函数,所以函数 无极值.  ②当 时,令 ,得 , .   , ; ,  .  所以 在 上单调递减,在 上单调递增,  故 在 处取得极小值,且极小值为 ,无极大值.  综上,当 时,函数 无极小值;  当 , 在 处取得极小值 ,无极大值.  (Ⅲ)当 时,   令 ,  则直线 : 与曲线 没有公共点,  等价于方程 在 上没有实数解.  假设 ,此时 , ,  又函数 的图象连续不断,由零点存在定理,可知 在 上至少有一解,与“方程 在 上没有实数解”矛盾,故 .  又 时, ,知方程 在 上没有实数解.  所以 的最大值为 .  解法二:  (Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.  (Ⅲ)当 时, .  直线 : 与曲线 没有公共点,  ‎ 等价于关于 的方程 在  上没有实数解,即关于 的方程:       (*)  在 上没有实数解.  ①当 时,方程(*)可化为 ,在 上没有实数解.  ②当 时,方程(*)化为 .  令 ,则有 .  令 ,得 ,  当 变化时, 的变化情况 如下表:                         当 时, ,同时当 趋于 时, 趋于 ,  从而 的取值范围为 . 所以当 时,方程(*)无实数解, 解得 的取值范围是 .  综上,得 的最大值为 .  20．（2013年高考湖南（文））已知函数f(x)=  . (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)证明:当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0. 【答案】解: (Ⅰ)        .  所以, .  ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,只需要证明:当x>0时f(x) < f(-x)即可.   .   21．（2013年高考广东卷（文））设函数   . (1) 当 时,求函数 的单调区间; (2) 当 时,求函数 在 上的最小值 和最大值 ,  【答案】(1)当 时     , 在 上单调递增.  (2)当 时, ,其开口向上,对称轴  ,且过    (i)当 ,即 时, , 在 上单调递增,  从而当 时,  取得最小值  ,  当 时,  取得最大值 .  (ii)当 ,即 时,令   解得: ,注意到 ,  (注:可用韦达定理判断 , ,从而 ;或者由 对称结合图像判断)           的最小值 ,      的最大值   综上所述,当 时, 的最小值 ,最大值   解法2(2)当 时,对 ,都有  ,故   ‎ ‎ 故 ,而  ,   所以  ,   (1) 解法3:因为 , ;  ① 当 时,即 时, , 在 上单调递增,此时无最小值和最大值;  ② 当 时,即 时,令 ,解得 或 ;令 ,解得 或 ; 令 ,解得 ; 因为 ,   作 的最值表如下:                                极大值   极小值     则 , ;  因为    ;      ,所以 ;  因为    ;      ;  所以 ;  综上所述,所以 , . ‎ ‎22．（2013年高考山东卷（文））已知函数  (Ⅰ)设 ,求 的单调区间 (Ⅱ) 设 ,且对于任意 , .试比较 与 的大小 【答案】       当 时函数 的单调递减区间是         23．（2013年高考湖北卷（文））设 , ,已知函数 . (Ⅰ)当 时,讨论函数 的单调性; (Ⅱ)当 时,称 为 、 关于 的加权平均数. (i)判断 ,  , 是否成等比数列,并证明 ; (ii) 、 的几何平均数记为G. 称 为 、 的调和平均数,记为H. 若 ,求 的取值范围.  【答案】(Ⅰ) 的定义域为 ,   .                               当 时, ,函数 在 , 上单调递增;  当 时, ,函数 在 , 上单调递减.         (Ⅱ)(i)计算得 , , .  故 , 即           .                          ①  所以 成等比数列.  因 ,即 . 由①得 .         ‎ ‎(ii)由(i)知 , .故由 ,得   .                         ②  当 时, .  这时, 的取值范围为 ;  当 时, ,从而 ,由 在 上单调递增与②式,  得 ,即 的取值范围为 ;  当 时, ,从而 ,由 在 上单调递减与②式,  得 ,即 的取值范围为 .‎