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- 2021-05-13 发布
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2015年天津市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一.选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(5分)(2015•天津)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩∁UB=( )
A.
{2,5}
B.
{3,6}
C.
{2,5,6}
D.
{2,3,5,6,8}
考点:
交、并、补集的混合运算.菁优网版权所有
专题:
集合.
分析:
由全集U及B,求出B的补集,找出A与B补集的交集即可;
解答:
解:∵全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},
∴∁UB={2,5,8},
则A∩∁UB={2,5}.
故选:A.
点评:
此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
2.(5分)(2015•天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+6y的最大值为( )
A.
3
B.
4
C.
18
D.
40
考点:
简单线性规划.菁优网版权所有
专题:
不等式的解法及应用.
分析:
作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.
解答:
解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).
由z=x+6y得y=﹣x+z,
平移直线y=﹣x+z,
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时,直线y=﹣x+z的截距最大,
此时z最大.
由,解得,即A(0,3)
将A(0,3)的坐标代入目标函数z=x+6y,
得z=3×6=18.即z=x+6y的最大值为18.
故选:C.
点评:
本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.
3.(5分)(2015•天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为( )
A.
﹣10
B.
6
C.
14
D.
18
考点:
程序框图.菁优网版权所有
专题:
图表型;算法和程序框图.
分析:
模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的i,S的值,当i=8时满足条件i>5,退出循环,输出S的值为6.
解答:
解:模拟执行程序框图,可得
S=20,i=1
i=2,S=18
不满足条件i>5,i=4,S=14
不满足条件i>5,i=8,S=6
满足条件i>5,退出循环,输出S的值为6.
故选:B.
点评:
本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的i,S的值是解题的关键,属于基础题.
4.(5分)(2015•天津)设x∈R,则“|x﹣2|<1”是“x2+x﹣2>0”的( )
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
考点:
必要条件、充分条件与充要条件的判断.菁优网版权所有
专题:
简易逻辑.
分析:
根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
解答:
解:由“|x﹣2|<1”得1<x<3,
由x2+x﹣2>0得x>1或x<﹣2,
即“|x﹣2|<1”是“x2+x﹣2>0”的充分不必要条件,
故选:A.
点评:
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础.
5.(5分)(2015•天津)如图,在圆O中,M、N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为( )
A.
B.
3
C.
D.
考点:
与圆有关的比例线段.菁优网版权所有
专题:
选作题;推理和证明.
分析:
由相交弦定理求出AM,再利用相交弦定理求NE即可.
解答:
解:由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB,
∴2×4=AM•2AM,
∴AM=2,
∴MN=NB=2,
又CN•NE=AN•NB,
∴3×NE=4×2,
∴NE=.
故选:A.
点评:
本题考查相交弦定理,考查学生的计算能力,比较基础.
6.(5分)(2015•天津)已知双曲线﹣=1 (a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为( )
A.
﹣=1
B.
﹣=1
C.
﹣=1
D.
﹣=1
考点:
双曲线的标准方程.菁优网版权所有
专题:
计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
由抛物线标准方程易得其准线方程,从而可得双曲线的左焦点,再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程,得a、b的另一个方程,求出a、b,即可得到双曲线的标准方程.
解答:
解:由题意,=,
∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣,双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,
∴c=,
∴a2+b2=c2=7,
∴a=2,b=,
∴双曲线的方程为.
故选:D.
点评:
本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.
7.(5分)(2015•天津)已知定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( )
A.
a<b<c
B.
a<c<b
C.
c<a<b
D.
c<b<a
考点:
函数单调性的性质.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
根据f(x)为偶函数便可求出m=0,从而f(x)=2|x|﹣1,这样便知道f(x)在[0,+∞)上单调递增,根据f(x)为偶函数,便可将自变量的值变到区间[0,+∞)上:a=f(|log0.53|),b=f(log25),c=f(0),然后再比较自变量的值,根据f(x)在[0,+∞)上的单调性即可比较出a,b,c的大小.
解答:
解:∵f(x)为偶函数;
∴f(﹣x)=f(x);
∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1;
∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|;
(﹣x﹣m)2=(x﹣m)2;
∴mx=0;
∴m=0;
∴f(x)=2|x|﹣1;
∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,并且a=f(|log0.53|)=f(log23),b=f(log25),c=f(0);
∵0<log23<log25;
∴c<a<b.
故选:C.
点评:
考查偶函数的定义,指数函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0,+∞)上,根据单调性去比较函数值大小.对数的换底公式的应用,对数函数的单调性,函数单调性定义的运用.
8.(5分)(2015•天津)已知函数f(x)=,函数g(x)=b﹣f(2﹣x),其中b∈R,若函数y=f(x)﹣g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( )
A.
(,+∞)
B.
(﹣∞,)
C.
(0,)
D.
(,2)
考点:
根的存在性及根的个数判断.菁优网版权所有
专题:
创新题型;函数的性质及应用.
分析:
求出函数y=f(x)﹣g(x)的表达式,构造函数h(x)=f(x)+f(2﹣x),作出函数h(x)的图象,利用数形结合进行求解即可.
解答:
解:∵g(x)=b﹣f(2﹣x),
∴y=f(x)﹣g(x)=f(x)﹣b+f(2﹣x),
由f(x)﹣b+f(2﹣x)=0,得f(x)+f(2﹣x)=b,
设h(x)=f(x)+f(2﹣x),
若x≤0,则﹣x≥0,2﹣x≥2,
则h(x)=f(x)+f(2﹣x)=2+x+x2,
若0≤x≤2,则﹣2≤﹣x≤0,0≤2﹣x≤2,
则h(x)=f(x)+f(2﹣x)=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2,
若x>2,﹣x<0,2﹣x<0,
则h(x)=f(x)+f(2﹣x)=(x﹣2)2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8.
即h(x)=,
作出函数h(x)的图象如图:
当x≤0时,h(x)=2+x+x2=(x+)2+≥,
当x>2时,h(x)=x2﹣5x+8=(x﹣)2+≥,
故当b=时,h(x)=b,有两个交点,
当b=2时,h(x)=b,有无数个交点,
由图象知要使函数y=f(x)﹣g(x)恰有4个零点,
即h(x)=b恰有4个根,
则满足<b<2,
故选:D.
点评:
本题主要考查函数零点个数的判断,根据条件求出函数的解析式,利用数形结合是解决本题的关键.
二.填空题(每小题5分,共30分)
9.(5分)(2015•天津)i是虚数单位,若复数(1﹣2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为 ﹣2 .
考点:
复数的基本概念.菁优网版权所有
专题:
数系的扩充和复数.
分析:
由复数代数形式的乘除运算化简,再由实部等于0且虚部不等于0求得a的值.
解答:
解:由(1﹣2i)(a+i)=(a+2)+(1﹣2a)i为纯虚数,
得,解得:a=﹣2.
故答案为:﹣2.
点评:
本题考查了复数代数形式的乘法运算,考查了复数为纯虚数的条件,是基础题.
10.(5分)(2015•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.
考点:
由三视图求面积、体积.菁优网版权所有
专题:
计算题;空间位置关系与距离.
分析:
根据几何体的三视图,得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体,结合图中数据求出它的体积.
解答:
解:根据几何体的三视图,得;
该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体,
且圆柱底面圆的半径为1,高为2,圆锥底面圆的半径为1,高为1;
∴该几何体的体积为
V几何体=2×π•12×1+π•12•2
=π.
故答案为:π.
点评:
本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题,是基础题目.
11.(5分)(2015•天津)曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为 .
考点:
定积分在求面积中的应用.菁优网版权所有
专题:
计算题;导数的概念及应用.
分析:
先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分下限为0,积分上限为1,从而利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可.
解答:
解:先根据题意画出图形,得到积分上限为1,积分下限为0
直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01(x﹣x2)dx
而∫01(x﹣x2)dx=()|01=﹣=
∴曲边梯形的面积是.
故答案为:.
点评:
本题主要考查了学生会求出原函数的能力,以及考查了数形结合的思想,同时会利用定积分求图形面积的能力,解题的关键就是求原函数.
12.(5分)(2015•天津)在(x﹣)6的展开式中,x2的系数为 .
考点:
二项式定理的应用.菁优网版权所有
专题:
计算题;二项式定理.
分析:
在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于2,求出r的值,即可求得x2的系数.
解答:
解:(x﹣)6的展开式的通项公式为Tr+1=•(x)6﹣r•(﹣)r=(﹣)r••x6﹣2r,
令6﹣2r=2,解得r=2,∴展开式中x2的系数为×=,
故答案为:.
点评:
本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.
13.(5分)(2015•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b﹣c=2,cosA=﹣,则a的值为 8 .
考点:
余弦定理.菁优网版权所有
专题:
解三角形.
分析:
由cosA=﹣,A∈(0,π),可得sinA=.利用S△ABC==,化为bc=24,又b﹣c=2,解得b,c.由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出.
解答:
解:∵A∈(0,π),∴sinA==.
∵S△ABC==bc=,化为bc=24,
又b﹣c=2,解得b=6,c=4.
由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64.
解得a=8.
故答案为:8.
点评:
本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
14.(5分)(2015•天津)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,=,则•的最小值为 .
考点:
平面向量数量积的运算.菁优网版权所有
专题:
创新题型;平面向量及应用.
分析:
利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式,根据具体的形式求最值.
解答:
解:由题意,得到AD=BC=CD=1,所以•=()•()=()•()
==2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×2×1+×1×1×cos120°
=1++﹣≥+=(当且仅当时等号成立);
故答案为:.
点评:
本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值;关键是正确表示所求,利用基本不等式求最小值.
三.解答题(本大题共6小题,共80分)
15.(13分)(2015•天津)已知函数f(x)=sin2x﹣sin2(x﹣),x∈R.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)在区间[﹣,]内的最大值和最小值.
考点:
两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值.菁优网版权所有
专题:
三角函数的求值.
分析:
(Ⅰ)由三角函数公式化简可得f(x)=﹣sin(2x﹣),由周期公式可得;
(Ⅱ)由x∈[﹣,]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值.
解答:
解:(Ⅰ)化简可得f(x)=sin2x﹣sin2(x﹣)
=(1﹣cos2x)﹣[1﹣cos(2x﹣)]
=(1﹣cos2x﹣1+cos2x+sin2x)
=(﹣cos2x+sin2x)
=sin(2x﹣)
∴f(x)的最小正周期T==π;
(Ⅱ)∵x∈[﹣,],∴2x﹣∈[﹣,],
∴sin(2x﹣)∈[﹣1,],∴sin(2x﹣)∈[﹣,],
∴f(x)在区间[﹣,]内的最大值和最小值分别为,﹣
点评:
本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及三角函数的周期性和最值,属基础题.
16.(13分)(2015•天津)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加,现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名,乙协会的运动员5名,其中种子选手3名,从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(Ⅰ)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;
(Ⅱ)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
考点:
离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.菁优网版权所有
专题:
概率与统计.
分析:
(Ⅰ)利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数,然后利用古典概型概率计算公式得答案;
(Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,由古典概型概率计算公式求得概率,列出分布列,代入期望公式求期望.
解答:
解:(Ⅰ)由已知,有P(A)=,
∴事件A发生的概率为;
(Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X=k)=(k=1,2,3,4).
∴随机变量X的分布列为:
X
1
2
3
4
P
随机变量X的数学期望E(X)=.
点评:
本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,是中档题.
17.(13分)(2015•天津)如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.
(Ⅰ)求证:MN∥平面ABCD
(Ⅱ)求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长.
考点:
二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角.菁优网版权所有
专题:
空间位置关系与距离;空间角.
分析:
(Ⅰ)以A为坐标原点,以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系,通过平面ABCD的一个法向量与的数量积为0,即得结论;
(Ⅱ)通过计算平面ACD1的法向量与平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论;
(Ⅲ)通过设=λ,利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为,计算即可.
解答:
(Ⅰ)证明:如图,以A为坐标原点,以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系,
则A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,﹣2,0),
A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,﹣2,2),
又∵M、N分别为B1C、D1D的中点,∴M(1,,1),N(1,﹣2,1).
由题可知:=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量,=(0,﹣,0),
∵•=0,MN⊄平面ABCD,∴MN∥平面ABCD;
(Ⅱ)解:由(I)可知:=(1,﹣2,2),=(2,0,0),
=(0,1,2),
设=(x,y,z)是平面ACD1的法向量,
由,得,
取z=1,得=(0,1,1),
设=(x,y,z)是平面ACB1的法向量,
由,得,
取z=1,得=(0,﹣2,1),
∵cos<,>==﹣,∴sin<,>==,
∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为;
(Ⅲ)解:由题意可设=λ,其中λ∈[0,1],
∴E=(0,λ,2),=(﹣1,λ+2,1),
又∵=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量,
∴cos<,>===,
整理,得λ2+4λ﹣3=0,解得λ=﹣2或﹣2﹣(舍),
∴线段A1E的长为﹣2.
点评:
本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
18.(13分)(2015•天津)已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列(1)求q的值和{an}的通项公式;
(2)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.
考点:
数列的求和.菁优网版权所有
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
(1)通过an+2=qan、a1、a2,可得a3、a5、a4,利用a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列,计算即可;
(2)通过(1)知bn=,n∈N*,写出数列{bn}的前n项和Tn、2Tn的表达式,利用错位相减法及等比数列的求和公式,计算即可.
解答:
解:(1)∵an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,
∴a3=q,a5=q2,a4=2q,
又∵a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列,
∴2×3q=2+3q+q2,
即q2﹣3q+2=0,
解得q=2或q=1(舍),
∴an=;
(2)由(1)知bn===,n∈N*,
记数列{bn}的前n项和为Tn,
则Tn=1+2•+3•+4•+…+(n﹣1)•+n•,
∴2Tn=2+2+3•+4•+5•+…+(n﹣1)•+n•,
两式相减,得Tn=3++++…+﹣n•
=3+﹣n•
=3+1﹣﹣n•
=4﹣.
点评:
本题考查求数列的通项与前n项和,考查分类讨论的思想,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
19.(14分)(2015•天津)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(﹣c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.
(Ⅰ)求直线FM的斜率;
(Ⅱ)求椭圆的方程;
(Ⅲ)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.
考点:
直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.菁优网版权所有
专题:
创新题型;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
(Ⅰ)通过离心率为,计算可得a2=3c2、b2=2c2,设直线FM的方程为y=k(x+c),利用勾股定理及弦心距公式,计算可得结论;
(Ⅱ)通过联立椭圆与直线FM的方程,可得M(c,c),利用|FM|=计算即可;
(Ⅲ)设动点P的坐标为(x,y),分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程,分x∈(﹣,﹣1)与x∈(﹣1,0)两种情况讨论即可结论.
解答:
解:(Ⅰ)∵离心率为,∴==,
∴2a2=3b2,∴a2=3c2,b2=2c2,
设直线FM的斜率为k(k>0),则直线FM的方程为y=k(x+c),
∵直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,
∴圆心(0,0)到直线FM的距离d=,
∴d2+=,即()2+=,
解得k=,即直线FM的斜率为;
(Ⅱ)由(I)得椭圆方程为:+=1,直线FM的方程为y=(x+c),
联立两个方程,消去y,整理得3x2+2cx﹣5c2=0,解得x=﹣c,或x=c,
∵点M在第一象限,∴M(c,c),
∵|FM|=,∴=,
解得c=1,∴a2=3c2=3,b2=2c2=2,
即椭圆的方程为+=1;
(Ⅲ)设动点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,
∵F(﹣1,0),∴t=,即y=t(x+1)(x≠﹣1),
联立方程组,消去y并整理,得2x2+3t2(x+1)2=6,
又∵直线FP的斜率大于,
∴>,解得﹣<x<﹣1,或﹣1<x<0,
设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x≠0),
联立方程组,消去y并整理,得m2=﹣.
①当x∈(﹣,﹣1)时,有y=t(x+1)<0,因此m>0,
∴m=,∴m∈(,);
②当x∈(﹣1,0)时,有y=t(x+1)>0,因此m<0,
∴m=﹣,∴m∈(﹣∞,﹣);
综上所述,直线OP的斜率的取值范围是:(﹣∞,﹣)∪(,).
点评:
本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力,属于中档题.
20.(14分)(2015•天津)已知函数f(x)=nx﹣xn,x∈R,其中n∈N•,且n≥2.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x);
(Ⅲ)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,求证:|x2﹣x1|<+2.
考点:
利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有
专题:
压轴题;创新题型;导数的概念及应用;导数的综合应用.
分析:
(Ⅰ)由f(x)=nx﹣xn,可得f′(x),分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性.
(Ⅱ)设点P的坐标为(x0,0),则可求x0=n,f′(x0)=n﹣n2,可求g(x)=f′(x0)(x﹣x0),F′(x)=f′(x)﹣f′(x0).由f′(x)=﹣nxn﹣1+n在(0,+∞)上单调递减,可求F(x)在∈(0,x0)内单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,即可得证.
(Ⅲ)设x1≤x2,设方程g(x)=a的根为,由(Ⅱ)可得x2≤.设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x),可得h(x)=nx,设方程h(x)=a的根为,可得<x1,从而可得:x2﹣x1<﹣=,由n≥2,即2n﹣1=(1+1)n﹣1≥1+=1+n﹣1=n,推得:2=x0,即可得证.
解答:
(本题满分为14分)
解:(Ⅰ)由f(x)=nx﹣xn,可得f′(x)=n﹣nxn﹣1=n(1﹣xn﹣1),其中n∈N•,且n≥2.
下面分两种情况讨论:
(1)当n为奇数时,令f′(x)=0,解得x=1,或x=﹣1,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(﹣∞,﹣1)
(﹣1,1)
(1,+∞)
f′(x)
﹣
+
﹣
f(x)
所以,f(x)在 (﹣∞,﹣1),(1,+∞)上单调递减,在(﹣1,1)单调递增.
(2)当n为偶数时,
当 f′(x)>0,即x<1时,函数 f(x)单调递增;
当 f′(x)<0,即x>1时,函数 f(x)单调递减;
所以,f(x)在(﹣∞,1)单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
(Ⅱ)证明:设点P的坐标为(x0,0),则x0=n,f′(x0)=n﹣n2,
曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x0)(x﹣x0),即g(x)=f′(x0)(x﹣x0),
令F(x)=f(x)﹣g(x),即F(x)=f(x)﹣f′(x0)(x﹣x0),则F′(x)=f′(x)﹣f′(x0).
由于f′(x)=﹣nxn﹣1+n在(0,+∞)上单调递减,故F′(x)在(0,+∞)上单调递减,
又因为F′(x0)=0,所以当x∈(0,x0)时,F′(x)>0,当x∈(x0,+∞)时,F′(x)<0,
所以F(x)在∈(0,x0)内单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,
所以对应任意的正实数x,都有F(x)≤F(x0)=0,
即对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x).
(Ⅲ)证明:不妨设x1≤x2,
由(Ⅱ)知g(x)=(n﹣n2)(x﹣x0),设方程g(x)=a的根为,可得=,由(Ⅱ)知g(x2)≥f(x2)=a=g(),可得x2≤.
类似地,设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x),可得h(x)=nx,当x∈(0,+∞),f(x)﹣h(x)=﹣xn<0,即对于任意的x∈(0,+∞),f(x)<h(x),
设方程h(x)=a的根为,可得=,因为h(x)=nx在(﹣∞,+∞)上单调递增,
且h()=a=f(x1)<h(x1),因此<x1,
由此可得:x2﹣x1<﹣=,
因为n≥2,所以2n﹣1=(1+1)n﹣1≥1+=1+n﹣1=n,
故:2=x0.
所以:|x2﹣x1|<+2.
点评:
本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法,考查分类讨论思想、函数思想和化归思想,考查综合分析问题和解决问题的能力.