高考专题平面向量题目 9页

专题复习：平面向量 一、本章知识结构：‎ 二、重点知识回顾 一.向量的基本概念与基本运算 ‎1、向量的概念：‎ ‎①向量：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向. ‎ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．‎ ‎②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行 ‎③单位向量：模为1个单位长度的向量 ‎④平行向量（共线向量）： ‎ a.方向相同或相反的非零向量叫平行向量；‎ b.我们规定与任一向量平行.向量、、平行，记作∥∥.‎ c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.‎ ‎⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 ‎ ‎2、向量加法：‎ 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。‎ 设，则+==‎ ‎（1）；‎ ‎（2）向量加法满足交换律与结合律；‎ ‎，但这时必须“首尾相连”．‎ ‎3、向量的减法： ‎ ‎① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量 ‎②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，即： -= + (-)‎ ‎③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）‎ ‎④向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+) +=+ (+)‎ ‎4、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：‎ ‎（Ⅰ）； （Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的 ‎5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=‎ ‎6、平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 ‎(1)不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；‎ ‎(2)基底不惟一，关键是不共线；‎ ‎(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；‎ ‎(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量。‎ 二.平面向量的表示 ‎1.向量的表示方法：‎ ‎①用有向线段表示；‎ ‎②用字母、等表示；‎ ‎③平面向量的坐标表示：分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，，，。；若，，则，‎ 平面向量的坐标运算：‎ (1) 若，则 (2) 若，则 (3) 若=(x,y)，则=(x, y)‎ (4) 若，则 (5) 若，则 若，则 三．平面向量的数量积 ‎1两个向量的数量积：‎ 已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积） 规定 ‎ ‎①·=| |·||cos，其中∈[0，π]为和的夹角。‎ ‎②||cos称为在的方向上的投影。‎ ‎③·的几何意义是：的长度||在的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。‎ ‎④若 =（，）, =（x2，）, 则 ‎⑤运算律：a· b=b·a, (λa)· b=a·(λb)=λ（a·b）， （a+b）·c=a·c+b·c。‎ ‎⑥和的夹角公式：cos=＝‎ ‎⑦||2=x2+y2，或||=⑧| a·b |≤| a |·| b |。‎ ‎2向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影 ‎3数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积 ‎4向量的模与平方的关系：‎ ‎5乘法公式成立： ‎ ‎；‎ ‎6平面向量数量积的运算律：‎ ‎①交换律成立：‎ ‎②对实数的结合律成立：‎ ‎③分配律成立：‎ 特别注意：（1）结合律不成立：；‎ ‎（2）消去律不成立不能得到 ‎（3）=0不能得到=或=‎ ‎7两个向量的数量积的坐标运算：‎ 已知两个向量，则·=‎ ‎8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角 cos==‎ 当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 ‎9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥‎ ‎10两向量平行、垂直的充要条件 设 =（，）, =（，）‎ ‎①a⊥ba·b=0 ，=+=0；‎ ‎②（≠）充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ。‎ ‎ ‎ 向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。‎ 三。知识点专项 知识点1：向量的概念、向量的几何表示，共线向量.‎ ‎1．若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的有 ‎ 知识点2：向量的加法和减法.‎ 加法：平行四边形法则（从同一点出发），三角形法则（首尾顺次连接）。‎ 减法：三角形法则（箭头指向被减数）‎ ‎2．化简= ‎ ‎3、设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎4．已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则( )‎ ‎(A) ⊥ (B) ⊥(－) (C) ⊥(－) (D) (＋)⊥(－)‎ 知识点3：实数与向量的积，向量共线的条件.‎ 实数与向量的积是一个向量，记作。，,(无限制条件)‎ ‎5．已知向量且∥，则= ‎ ‎6．已知向量，且A、B、C三点共线，则k= ‎ 知识点4：平面向量的基本定理，向量的坐标，向量的坐标运算.‎ 如果是平面内两个不共线的向量，那么对于平面中任一向量，有且只有一对实数，使。‎ ‎,,‎ ‎7．若=，=，则=_________‎ ‎8、平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，( )‎ A.（2，4） B.（3，5） C.（—3，—5） D.（—2，—4）‎ ‎9、中，分别是的中点，为交点，若=，=，试以，、表示 为___________‎ 知识点5：数量积 ‎，向量在向量上的投影为 ‎，，‎ ‎10． 正△中，= ‎ ‎11、平面向量中，若，=1，且，则向量=____。‎ ‎12．若,，且与的夹角为，则 。‎ ‎13．已知向量=（2，3），=（－4，7），那么在方向上的投影为 ‎ ‎14．若，且，则向量与的夹角为 ‎ ‎15、若,则实数x= （ ）‎ A、23 B、 C、 D、‎ ‎16、在ΔABC中,若,则 （ ） ‎ A、6 B、4 C、-6 D、-4‎ ‎17．已知向量=（-2，-1）=(t,1)，且与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是___________.‎ ‎18、已知、是夹角为60°的两个单位向量，，[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎(1)求; (2)求与的夹角. ‎ ‎ 知识点5：数量综合 ‎19．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的 心 ‎20．△所在平面内一点满足，则为△的 心。‎ ‎21．设为△的外心，平面上一点使，则为△的 心。‎ ‎22．△所在平面内点、，满足，则的轨迹一定经过△的 ‎ 心。‎ ‎23．已知与，要使最小，则实数的值为___________。‎ ‎24、在中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量，，且．求锐角B的大小；‎ 四、考点剖析 考点一：向量的概念、向量的基本定理 ‎【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。‎ 注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。‎ 如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量有且只有一对实数λ1、λ2，使=λ1+λ2.‎ ‎ 注意：若和是同一平面内的两个不共线向量，‎ ‎【命题规律】有关向量概念和向量的基本定理的命题，主要以选择题或填空题为主，考查的难度属中档类型。‎ 例1、直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若，则的可能值个数是（　　）‎ Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4‎ 例2、如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，‎ ‎|| ＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,‎ 则λ+μ的值为 .‎ 考点二：向量的运算 ‎【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。‎ ‎【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。‎ 例3、设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（　 ）‎ A.(－15,12)　　　B‎.0 C.－3 D.－11‎ 例4、已知平面向量，且∥，则=（　 ）‎ ‎ A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）‎ 点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的倍，也是共线向量，注意运算的公式，容易与向量垂直的坐标运算混淆。‎ 例5、已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是（ ）‎ A. －1 B. ‎1 ‎ C. －2 D. 2‎ 点评：本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算，注意不要出现运算出错，因为这是一道基础题，要争取满分。‎ 例6、在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 若, ,则（ 　 ）‎ ‎ A． B. C. D. ‎ 点评：用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加减法运算是向量运算的一个难点，体现数形结合的数学思想。‎ 例7、已知向量和的夹角为，，则　　　　．‎ 点评：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要出现错误即可。‎ 考点三：定比分点 ‎【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。‎ ‎【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。‎ 例8、设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与( 　 )‎ A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 ‎ 点评：利用定比分点的向量式，及向量的运算，是解决本题的要点.‎ 考点四：向量与三角函数的综合问题 ‎【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。‎ ‎【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。‎ 例9、已知向量 ,函数 ‎(1)求的最小正周期; (2)当时, 若求的值．‎ 点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.‎ 例10、在中，角的对边分别为．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，且，求．‎ ‎　　点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。‎ 例11、将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ ‎ 点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为中档题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移个单位，再向下平移2个单位，误选Ｃ 考点五：平面向量与函数问题的交汇 ‎【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。‎ ‎【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。‎ 例12、已知向量＝(cosx，sinx)，＝()，且x∈[0，]．‎ ‎（1）求 ‎（2）设函数+，求函数的最值及相应的的值。‎ 点评：本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次函数图象，要注意sinx的取值范围，否则容易搞错。‎