配套K12天津专用高考数学总复习专题11概率和统计算法分项练习含解析理 21页

专题11 概率和统计、算法 一．基础题组 ‎1.【2005天津，理7】某人射击一次击中的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为 A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】A ‎2.【2005天津，理15】某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：‎ 投资成功 投资失败 ‎192次 ‎8次 则该公司一年后估计可获收益的期望是__________（元）。‎ ‎【答案】4760‎ ‎【解析】投资成功的概率是，失败的概率是，所以所求的数学期望应该是： 本题答案填写：4760‎ ‎3.【2009天津，理5】阅读下面的程序框图,则输出的S等于（ ）‎ A.26 B‎.35 C.40 D.57‎ ‎【答案】C ‎【解析】实质是求数列an＝3n－1的前5项和,对应的S＝40.‎ ‎4.【2009天津，理11】某学院的A,B,C三个专业共有1 200名学生.为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生,B专业有420名学生,则在该学院的C专业应抽取___________名学生.‎ ‎【答案】40‎ ‎5.【2010天津，理4】阅读下边的程序框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写(　　)‎ A．i＜3? B．i＜4? C．i＜5? D．i＜6?‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】由s＝2，i＝1，s＝2－1＝1，i＝3，s＝1－3＝－2，i＝5，s＝－2－5＝－7，i＝7.‎ 可知应填i＜6？. ‎ ‎6.【2010天津，理11】甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数．则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为__________和__________．‎ ‎【答案】24　23‎ ‎7.【2011天津，理3】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为 A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】时，；‎ 时，；‎ 时，；‎ 时，，∴输出，故选B.‎ ‎8.【2011天津，理9】一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】设抽取男运动员人数为，则，解之得.‎ ‎9.【2012天津，理3】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为－25时，输出x的值为(　　)‎ A．－1 B．‎1 C．3 D．9‎ ‎【答案】C　‎ ‎10.【2012天津，理9】区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取__________所学校，中学中抽取__________所学校．‎ ‎【答案】18　9‎ ‎11.【2013天津，理3】阅读下边的程序框图，运行相应的程序．若输入x的值为1，则输出S的值为(　　)．‎ A．64 B．73‎ C．512 D．585‎ ‎【答案】B ‎12.【2013天津，理4】已知下列三个命题：‎ ‎①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；‎ ‎②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；‎ ‎③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切，‎ 其中真命题的序号是(　　)．‎ A．①②③ B．①②‎ C．①③ D．②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】设球半径为R，缩小后半径为r，则r＝，而V＝，V′＝，所以该球体积缩小到原来的，故①为真命题；两组数据的平均数相等，它们的方差可能不相等，故②为假命题；圆x2＋y2＝的圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝，因为该距离等于圆的半径，所以直线与圆相切，故③为真命题．故选C.‎ ‎13.【2014天津，理3】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的的值为（　　）‎ ‎（A）15 （B）105 （C）245 （D）945‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 考点：算法与程序框图．‎ ‎14.【2014天津，理9】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．‎ ‎【答案】60．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：应从一年级抽取名．‎ 考点：等概型抽样中的分层抽样方法．‎ ‎15. 【2015高考天津，理3】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )‎ ‎（A） （B）6 （C）14 （D）18‎ ‎【答案】B ‎【考点定位】本题主要考查程序框图与模拟计算的过程.‎ ‎16. 【2017天津，理3】（阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为 ‎（A）0 （B）1 （C）2 （D）3‎ ‎【答案】C ‎【考点】程序框图 ‎【名师点睛】识别算法框图和完善算法框图是近几年高考的重点和热点．对于此类问题：①要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；②要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；③按照框图的要求一步一步进行循环，直2到跳出循环体输出结果．近几年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数、数列等知识相结合．‎ ‎17. 【2015高考天津，理16】（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. ‎ ‎(I)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；‎ ‎(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(I) ; ‎ ‎(II) 随机变量的分布列为 ‎【解析】(I)由已知，有 所以事件发生的概率为.‎ ‎【考点定位】古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎18.【2016高考天津理数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为 ‎（A）2 （B）4 ‎ ‎（C）6 （D）8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【考点】循环结构的程序框图 ‎【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构，其次要重视循环起始条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎19.【2016高考天津理数】某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.‎ ‎（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为‎4”‎，求事件A发生的概率；‎ ‎（II）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）先确定随机变量的可能取值为再分别求出对应概率，列出分布列，最后根据公式计算数学期望.‎ 试题解析：解：由已知，有 所以，事件发生的概率为.‎ 所以，随机变量的分布列为 随机变量的数学期望.‎ ‎【考点】概率、随机变量的分布列与数学期望 ‎【名师点睛】求均值、方差的方法：‎ ‎1．已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；‎ ‎2．已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；‎ ‎3．如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．‎ 二．能力题组 ‎1.【2006天津，理18】某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响。‎ ‎（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；‎ ‎（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；‎ ‎（3）设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求的分布列．‎ ‎【答案】（1），（2）.‎ ‎【解析】解：（1）∵每次射击击中目标的概率为 且各次射击的结果互不影响， ‎ ‎2.【2007天津，理18】已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现在从甲、乙两个盒内各任取2个球.‎ ‎ (I)求取出的4个球均为黑色球的概率；‎ ‎ (II)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；‎ ‎ (III)设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(I)(II)(III)的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望.‎ ‎【解析】‎ 故取出的4个球均为黑球的概率为 ‎ .‎ ‎ 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为 ‎ .‎ ‎(III)解：可能的取值为.由(I)，(II)得 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ 从而 .‎ ‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 的数学期望.‎ ‎3.【2008天津，理18】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.‎ ‎（Ⅰ）求乙投球的命中率；‎ ‎（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（I），（II）2‎ ‎【解析】解：‎ ‎（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B 由题意得 解得或（舍去），所以乙投球的命中率为 ‎（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望 ‎4.【2009天津，理18】在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10件产品中任取3件,求: ‎ ‎(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望;‎ ‎(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】解:(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为,从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的结果数为,那么从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的概率为 ‎,k＝0,1,2, 3.‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望.‎ 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 ‎.‎ ‎5.【2010天津，理18】某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．‎ ‎(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；‎ ‎(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；‎ ‎(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分．若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．‎ ‎【答案】(1) ，(2) ， (3)‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ P ‎【解析】解：(1)设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～B(5，)．在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P(X＝2)＝×()2×(1－)3＝.‎ ‎(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则 P(A)＝P(A‎1A2A3)＋P(A‎2A3A4＋P(A‎3A4A5)＝()3×()2＋×()3×＋()2×()3＝.‎ 所以ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ P 三．拔高题组 ‎1.【2011天津，理16】学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）‎ ‎（Ⅰ）求在1次游戏中，‎ ‎ （i）摸出3个白球的概率；‎ ‎ （ii）获奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望 . ‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）‎ ‎【解析】（I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则 ‎ ‎ ‎ （ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又 ‎ 所以X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ X的数学期望 ‎2.【2012天津，理16】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．‎ ‎(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；‎ ‎(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；‎ ‎(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望 E(ξ)．‎ ‎【答案】(1) ，(2) ， (3) ‎ ‎【解析】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为．‎ 设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，‎ 则．‎ ‎(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率．‎ ‎(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4．由于A3与A4互斥，故 P(B)＝P(A3)＋P(A4)‎ ‎＝．‎ 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为．‎ 所以ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P 随机变量ξ的数学期望．‎ ‎3.【2013天津，理16】一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．‎ ‎(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；‎ ‎(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则 P(A)＝.‎ 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 随机变量X的数学期望EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝.‎ ‎4.【2014天津，理16】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．‎ ‎（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；‎ ‎（Ⅱ）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 数学期望．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由已知可知选出的3名同学可能有1名来自数学学院，其余2名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，或者3名同学都来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，由互斥事件的概率加法公式即可求得“选出的3名同学是来自互不相同学院的概率”；（Ⅱ）首先，随机变量的所有可能值为0，1，2，3．而随机变量 服从超几何分布，可先分别求出的值，最后利用公式即可求得随机变量的分布列和数学期望．‎ 试题解析：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件，则，∴选出的3名同学来自互不相同学院的概率为．‎ 考点：1．古典概型及其概率计算公式；2．互斥事件；3．离散型随机变量的分布列与数学期望．‎ ‎5. 【2017天津，理16】（本小题满分13分）‎ 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为．‎ ‎（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）分布列见解析，；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由题可得的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，然后列出随机变量的分布列并计算其数学期望；（Ⅱ）设表示第1辆车遇到红灯的个数，表示第2辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯包括：第1辆遇到1个红灯且第2辆没遇到红灯、第1辆没遇到红灯且第2辆遇到1个红灯，求这两个事件的概率的和即可．‎ 试题解析：（Ⅰ）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以，随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望．‎ 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．‎ ‎【考点】离散型随机变量的概率分布列及数学期望 ‎【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列及数学期望是理科高考数学的必考题型．求离散型随机变量概率分布列问题时，首先要清楚离散型随机变量的所有可能取值，及随机变量取这些值时所对应的事件的概率，计算出概率值后即可列出离散型随机变量的概率分布列，最后按照数学期望的公式计算出数学期望．‎