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- 2021-05-13 发布
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2.10 函数模型及其应用
考纲要求
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
1.几类函数模型及其增长差异
(1)几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数模型
f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
对数函数模型
f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
幂函数模型
f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)
(2)三种增长型函数之间增长速度的比较
①指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)
在区间(0,+∞)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于xn,但由于ax的增长____xn的增长,因而总存在一个x0,当x>x0时有______.
②对数函数y=logax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)
对数函数y=logax(a>1)的增长速度,不论a与n值的大小如何总会____y=xn的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使x>x0时有______.
由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度不同,且不在同一个档次上,因此在(0,+∞)上,总会存在一个x0,使x>x0时有__________.
2.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原:将数学问题还原为实际问题.
以上过程用框图表示如下:
1.下列函数中,随x的增大函数值增大速度最快的是( ).
A.y=ex B.y=100ln x
C.y=x100 D.y=100·2x
2.2006年8月30日到银行存入a元,若年利率为x,且按复利计算,到2014年8月30日可取回( ).
A.a(1+x)8元
B.a(1+x)9元
C.a(1+x8)元
D.a+(1+x)8元
3.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( ).
A.y=2x-2 B.y=(x2-1)
C.y=log3x D.y=2x-2
4.有一批材料可以建成200 m的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围成的矩形最大面积为__________(围墙厚度不计).
5.里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.
一、一次函数与分段函数模型
【例1-1】已知A,B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/时的速度从A地前往B地,到达B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(时)的函数,则下列正确的是( ).
A.x=60t+50t(0≤t≤6.5)
B.x=
C.x=
D.x=
【例1-2】根据市场调查,某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图(1)中的一条折线表示,销售量Q与时间t的关系用图(2)中的线段表示(t∈N*).
(1)分别写出图(1)表示的价格与时间的函数关系P=f(t),图(2)表示的销售量与时间的函数关系Q=g(t);
(2)这种商品的销售额S(销售量与价格之积)的最大值及此时的时间.
方法提炼
1.在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0).
2.在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系,不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数.
提醒:分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的范围,特别是端点.
请做演练巩固提升5
二、二次函数模型
【例2】某加工厂需定期购买材料,已知每千克原材料的价格为1.5元,每次购买原材料需支付运费600元,每千克原材料每天的保管费用为0.03元,该厂每天需要消耗原材料
400千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管).
(1)设该厂每x天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式;
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少,并求出这个最少总费用.
方法提炼
1.有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用二次函数图象与单调性解决.
提醒:在解决二次函数的应用问题时,一定要注意定义域.
2.形如f(x)=kx+(ka>0)的函数,实际是正比例函数与反比例函数的“和”函数,根据其图象特点,通常称其为“对勾函数”,这种函数模型在现实生活中也有着广泛的应用.常常利用“基本不等式”求解,有时也利用函数单调性求解.
请做演练巩固提升1
三、指数函数模型
【例3】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答以下问题:
(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式;
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);
(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年).
(1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210)
方法提炼
1.指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示.
2.应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模型将有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型.
3.y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.
4.对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分:
直线上升:匀速增长,其增长量固定不变;指数增长:先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;对数增长:先快后慢,其增长速度缓慢.公司的利润选择直线上升或指数模型增长,而员工奖金选择对数模型增长.
请做演练巩固提升4
函数模型应用解答题的规范解答
【典例】(12分)请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
规范解答:设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm).
由已知得a=x,h==(30-x),0<x<30.(2分)
(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,(4分)
所以当x=15时,S取得最大值.(6分)
(2)V=a2h=2(-x3+30x2),V′=6x(20-x).(8分)
由V′=0得x=0(舍)或x=20.(9分)
当x∈(0,20)时,V′>0;
当x∈(20,30)时,V′<0.
所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值.(11分)
此时=.即包装盒的高与底面边长的比值为.(12分)
答题指导:
1.在解答本题时有两点容易造成失分:
(1)忽视实际问题对变量x的限制即定义域.
(2)将侧面积、容积求错,从而造成后续的求解不正确.
2.解决函数模型应用的解答题,还有以下几点容易造成失分,在备考中要高度关注:
(1)读不懂实际背景,不能将实际问题转化为函数模型.
(2)对涉及到的相关公式,记忆错误.
(3)在求解的过程中计算错误.
另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法,才能快速正确地求解.
1.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( ).
A.100台 B.120台 C.150台 D.180台
2.某工厂采用高科技改革,在两年内产值的月增长率都是a,则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为( ).
A.a12-1 B.(1+a)12-1
C.a D.a-1
3.已知y与x(x≤100)之间的部分对应关系如下表:
x
11
12
13
14
15
…
y
…
则x和y可能满足的一个关系式是__________.
4.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过__________小时才能开车.(精确到1小时)
5.某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润与投资单位:万元).
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资x(万元)的函数关系式;
(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元?
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1.(2)①快于 ax>xn ②慢于 logax<xn ax>xn>logax
基础自测
1.A 解析:∵在(0,+∞)上,总存在一个x0,使x>x0时有ax>xn>logax(a>1),
∴排除B,C.
又∵e>2,∴ex的增长速度大于100·2x的增长速度.
2.A 解析:由题意知一年后可取回a(1+x)元,二年后可取回a(1+x)2元,…,
2014年8月30日可取回a(1+x)8元.
3.B 解析:把表格中的数据代入选择项的解析式中,易得最接近的一个函数是
y=(x2-1).
4.2 500 m2 解析:设矩形的长为x m,宽为m,
则S=x·=(-x2+200x).
当x=100时,Smax=2 500 m2.
5.6 10 000 解析:第一空,lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6,第二空,设9级地震时最大振幅为A1,5级地震时最大振幅为A2,则9=lg A1-(-3),5=lg A2-(-3),所以A1=106,A2=102,=10 000.
考点探究突破
【例1-1】 D 解析:依题意,函数为分段函数.求出每一段上的解析式即可.
【例1-2】 解:(1)P=f(t)
=
Q=g(t)=-+,t∈[1,40],t∈N*.
(2)当1≤t<20时,
S=
=-2+.
∵t∈N*,∴t=10或11时,Smax=176.
当20≤t≤40时,S=(-t+41)=t2-28t+为减函数;
当t=20时,Smax=161.
而161<176,
∴当t=10或11时,Smax=176.
【例2】解:(1)每次购买原材料后,当天用掉的400千克原材料不需要保管,第二天用掉的400千克原材料需保管1天,第三天用掉的400千克原材料需保管2天,第四天用掉的400千克原材料需要保管3天,…,第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x-1)天.
∴每次购买的原材料在x天内的保管费用y1=400×0.03×[1+2+3+…+(x-1)]=6x2-6x.
(2)由(1)可知,购买一次原材料的总费用为(6x2-6x+600+1.5×400x)元,
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y=(6x2-6x+600)+1.5×400=+6x+594.
∴y≥2+594=714.
当且仅当=6x,即x=10时取得等号.
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最少,最少总费用为714元.
【例3】解:(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%).
2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2.
3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3.
…
x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.
所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系是y=100×(1+1.2%)x.
(2)10年后人口总数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万).
所以10年后该城市人口总数约为112.7万.
(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%)x≥120,于是1.012x≥,
∴x≥log1.012=log1.0121.2≈15.3≈15(年).
大约15年后该城市人口总数将达到120万人.
演练巩固提升
1.C 解析:设利润为f(x)(万元),则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000≥0,又∵x∈N*,∴x≥150.
2.B 解析:不妨设第一年8月份的产值为b,则9月份的产值为b(1+a),10月份的产值为b(1+a)2,依次类推,到第二年8月份是第一年8月份后的第12个月,即一个时间间隔是1个月,这里跨过了12个月,故第二年8月份产值是b(1+a)12.又由增长率的概念知,这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为:=(1+a)12-1.
3.y(108-x)=2(x≤100) 解析:将11,12,13,14,15对应的函数值分别写成,,,,,分母成等差数列,由此可知分母an=97+(n-11)(-1)=97-n+11=108-n.所以x和y可能满足的一个关系式是y(108-x)=2(x≤100).
4.5 解析:设至少经过x小时才能开车.
由题意得0.3(1-25%)x≤0.09,
∴0.75x≤0.3,x≥log0.750.3≈5.
5.解:(1)当投资为x万元,设A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元,
由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2,由图知f(1)=,∴k1=.
又g(4)=.∴k2=.
从而f(x)=x(x≥0),
g(x)=(x≥0).
(2)设A产品投入x万元,则B产品投入(10-x)万元,设企业利润为y万元.
y=f(x)+g(10-x)
=x+,
(0≤x≤10).
令t=,则
y=+t=-2+(0≤t≤).
当t=时,ymax=,此时x=3.75,10-x=6.25.
答:当A产品投入3.75万元,B产品投入6.25万元时,企业获得最大利润为万元.