北京市朝阳区高考二模数学文科试题 10页

北京市朝阳区2012年高考二模 ‎ 数学试卷（文史类） 2012.5‎ ‎（考试时间120分钟 满分150分）‎ 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）‎ 注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1. 设集合，则 A． B． C． D． ‎ ‎2. 在复平面内，复数对应的点所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3. 如果命题“且”是假命题，“”也是假命题，则 A．命题“或”是假命题 B．命题“或”是假命题 C．命题“且”是真命题 D．命题“且”是真命题[‎ ‎4. 已知△中，，，，且△的面积为，则 A． B． C．或 D．或 ‎5. 已知双曲线（）的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为 ‎ A． B． C． D． ‎ 正视图 俯视图 侧视图 ‎6. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直 角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积为 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7. 给出下列命题： ‎ ‎ 函数的最小正周期是；‎ ‎ ，使得；‎ ‎ 已知向量，，，则的充要条件是.‎ 其中所有真命题是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 已知函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． ‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. ‎ x=1,y=1,z=2‎ z≤4?‎ 开始 结束 是 否 z=x+y 输出z y = z ‎ x = y ‎（第10题图）‎ ‎9. 函数，的单调递增区间是 . ‎ ‎10. 运行如图所示的程序框图，输出的结果是 .‎ ‎11. 直线与圆相交于两点，若，则实数的值是 . ‎ ‎12. 若实数满足则的最小值是 .‎ ‎13. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加 投资1万元，年产量为 件.当时，年销售总收入为（）万元；当时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为万元，则（万元）与（件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大.（年利润=年销售总收入年总投资）‎ ‎14. 在如图所示的数表中，第行第列的数记为，且满足，‎ 第1行 1 2 4 8 …‎ 第2行 2 3 5 9 …‎ 第3行 3 5 8 13 …‎ ‎… …‎ ‎，则此数表中的第2行第7列的数是 ；记第3行的数3，5，8，13，22，39，为数列，则数列的通项公式是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 把答案答在答题卡上.‎ ‎15. (本小题满分13分)‎ 已知函数的图象过点. ‎ ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）在中，角，，的对边分别是，，，若，‎ 求的取值范围．‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 高三年级进行模拟考试，某班参加考试的40名同学的成绩统计如下：‎ 分数段 ‎(70,90)‎ ‎[90,100)‎ ‎[100,120)‎ ‎[120,150]‎ 人数 ‎5‎ a ‎15‎ b 规定分数在90分及以上为及格，120分及以上为优秀，成绩高于85分低于90分的同学为希望生.已知该班希望生有2名.‎ ‎（Ⅰ）从该班所有学生中任选一名，求其成绩及格的概率；‎ ‎（Ⅱ）当a =11时，从该班所有学生中任选一名，求其成绩优秀的概率；‎ ‎（Ⅲ）从分数在(70,90)的5名学生中，任选2名同学参加辅导，求其中恰有1名希望生 的概率.‎ ‎17. （本小题满分13分）‎ 如图，四边形为正方形，平面，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：； ‎ ‎（Ⅱ）若点在线段上，且满足, ‎ 求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）试判断直线与平面是否垂直？若垂 ‎ 直，请给出证明；若不垂直，请说明理由.‎ ‎18.（本小题满分14分）‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）已知曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个，都有．‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，点到两点，的距离之和为，设点的轨迹为曲线.‎ ‎（Ⅰ）写出的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的斜率为（）的直线与曲线交于不同的两点,，点在轴上，且，求点纵坐标的取值范围.‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 已知数列，满足，且当（）时，.令．‎ ‎（Ⅰ）写出的所有可能取值；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值.‎ 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 ‎ 数学试卷答案（文史类） 2012.5‎ 一、选择题：‎ 题号 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ 答案 D B C A C D D ‎ B 二、填空题： ‎ 题号 ‎（9）‎ ‎（10）‎ ‎（11）‎ ‎（12）‎ 答案 ‎5‎ 或0‎ 题号 ‎（13）‎ ‎（14）‎ 答案 ‎ ‎ ‎16ZXXK]‎ ‎65‎ 注：若有两空，则第一个空3分，第二个空2分.‎ 三、解答题：‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）． ……3分 ‎ 由已知点在函数的图象上，所以，‎ ‎. ………5分 ‎ (Ⅱ) 因为，‎ ‎ 所以=2，‎ ‎ 所以，即. ………7分 ‎ 因为，所以，所以， ………8分 又因为，所以，. ………10分 ‎ 所以，， ………11分 ‎ 所以=. ………13分 ‎（16）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩及格”为事件A，则 ‎.‎ 答：从该班所有学生中任选一名，其成绩及格的概率为. ………3分 ‎（Ⅱ）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀”为事件B，则当时，成绩优秀的学生人数为，所以 ‎.‎ 答：从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀的概率为. ………7分 ‎（Ⅲ）设“从分数在的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生”为事件C.‎ 记这5名学生分别为a,b,c,d,e，其中希望生为a,b.‎ 从中任选2名，所有可能的情况为：ab, ac, ad, ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种. ………9分 其中恰有1名希望生的情况有ac, ad, ae，bc，bd，be，共6种. ………11分 所以. ‎ 答：从分数在的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生的概率为. ………13分 ‎（17）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为，所以与确定平面，‎ 因为平面，所以. ………2分 由已知得且，‎ 所以平面. ………3分 又平面, ‎ 所以. ………4分 ‎（Ⅱ）过作,垂足为，连结,则. .………5分 P 又,所以.‎ 又且,所以.‎ ‎ .………6分 且,所以四边形为平行四边形. ‎ ‎………7分 ‎ 所以.‎ 又平面,平面,‎ 所以平面. ………9分 ‎（Ⅲ）直线垂直于平面. ………10分 证明如下：‎ 由（Ⅰ）可知，.‎ 在四边形中，，， ‎ 所以，则.‎ 设,因为,故 则,即. ………12分 又因为，所以平面. ………13分 ‎（18）（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）的定义域为, . ………1分 ‎. ………2分 根据题意，，‎ 所以，即，‎ 解得. .………4分 ‎（Ⅱ）.‎ ‎（1）当时，因为，所以，，‎ 所以，函数在上单调递减. ………6分 ‎（2）当时，‎ 若，则，，函数在上单调递减；‎ 若，则，，函数在上单调递增. …8分 综上所述，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. ………9分 ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）可知.‎ 设，即.‎ ‎. ………10分 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ 极小值 是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点.‎ 可见， .………13分 所以，即，所以对于定义域内的每一个，都有. ………14分 ‎（19）（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由题设知,‎ 根据椭圆的定义，的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，‎ 设其方程为 则， ，，所以的方程为. ………5分 ‎（II）依题设直线的方程为.将代入并整理得，‎ ‎ . . ………6分 设，，‎ 则， ..………7分 设的中点为，则，，即. ………8分 因为，‎ 所以直线的垂直平分线的方程为， ……9分 令解得，， .………10分 当时，因为，所以； .………12分 当时，因为，所以. .………13分 综上得点纵坐标的取值范围是. .………14分 ‎（20）（本小题满分13分）‎ 解:（Ⅰ）由题设，满足条件的数列的所有可能情况有：‎ ‎（1）此时；‎ ‎（2）此时；‎ ‎（3）此时；‎ ‎（4）此时；‎ ‎（5）此时；‎ ‎（6）此时.‎ 所以，的所有可能取值为：，，，，． .………5分 ‎（Ⅱ）由，可设，则或（，），‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ …‎ ‎ ，‎ 所以． ………7分 因为，所以，且为奇数，是由 个1和个构成的数列．‎ 所以 ‎ ．‎ 则当的前项取，后项取时最大，‎ 此时．.……10分 证明如下：‎ 假设的前项中恰有项取，则 的后项中恰有项取，其中，，，．‎ 所以 ‎ ‎ ‎．‎ 所以的最大值为． .………13分