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- 2021-05-13 发布
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第47炼 多变量表达式的范围——放缩消元法
一、基础知识:
在有些多变量表达式的题目中,所提供的条件为不等关系,则也可根据不等关系进行消元,从而将多变量表达式转化为一元表达式,便于求得最值
1、放缩法求最值的理论基础:
不等式的传递性:若,则
2、常见的放缩消元手段:
(1)抓住题目中的不等关系,若含有两个变量间的不等关系,则可利用这个关系进行放缩消元
(2)配方法:通过利用“完全平方式非负”的特性,在式子中构造出完全平方式,然后令其等于0,达到消元的效果
(3)均值不等式:构造能使用均值不等式的条件,利用均值不等式达到消元的效果
(4)主元法:将多元表达式视为某个变量(即主元)的函数,剩下的变量视为常数,然后利用常规方法求得最值从而消去主元,达到消元的效果。
3、放缩消元过程中要注意的地方:
(1)在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系,例如:若求最小值,则对应的不等号为“”;若求最大值,则对应的不等号为“”。放缩的方向应与不等号的方向一致
(2)对进行放缩消元后的式子,要明确是求其最大值还是最小值。放缩法求最值的基础是不等式的传递性,所以在求最值时要满足其不等号的方向一致。若将关于 的表达式进行放缩消去,得到,例如,则下一步需要求出的最小值(记为),即,通过不等式的传递性即可得到。同理,若放缩后得到:,则需要求出的最大值(记为),即,然后通过不等式的传递性得到
(3)在放缩的过程中,要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立,从而保证在不等式中等号能够一直传递下去
二、典型例题:
例1:设集合中的最大元素与最小元素分别为,则的值为____________
思路:考虑分别求出的最大值与最小值,先求的最大值,只需取最小,取最大:即 ,再求的最小值,由可知利用进行放缩,从而消去,可得:,再利用均值不等式可得:,所以的最小值,从而
答案:
例2:已知是任意三点,,则的最小值是_______
思路:因为,所以结合不等号的方向可将消去,从而转化为关于的表达式:,然后可从出发,构造出与第一项互为倒数的性质以便于利用均值不等式解出最值:,从而有:,所以
答案:
例3:设实数满足,则的最大值为__________
思路:由可联想到与的关系,即,所以,然后可利用进一步放缩消元,得,在利用即可得到最大值:,
所以的最大值为,其中等号成立条件为:
答案:
小炼有话说:本题也可从入手,进行三角换元:,由可得,然后根据不等号的方向进行连续放缩,消去 即可得到最值:
例4:已知关于的一元二次不等式在实数集上恒成立,且,则的最小值为( )
A. B. C. D.
思路:由不等式恒成立可得:,结合所求表达式和不等号方向可知更易于消去,即,所以,对于该其次分式可两边同时除以,可得:,令由可知从而将问题转化为求的最小值。,从而
答案:D
小炼有话说:本题的关键之处在于选择消去的元,如果选择,则因分式中含的项较多,消元会比较复杂,不利于求得最值。所以处理多变量表达式的最值时,选择消去合适的元是关键
例5(2010,四川)设,则的最小值为( )
A. B. C. D.
思路:表达式含变量个数较多,且没有等量条件消元,所以考虑式子中是否存在不等关系来减少变量个数,观察式子可发现存在完全平方式,即,从而消去了,得,然后根据分母特征:构造,由均值不等式得:,验证等号成立条件:,从而最小值为
答案:D
小炼有话说:本题在处理的最值时还可以从分式入手:,从而对分母利用均值不等式:消去,所以
例6:已知正数满足,则的最小值是_______
思路:所求表达式涉及3个变量,首先确定主元,通过观察可发现分母中的可与条件中的具备不等关系,而可用表示,且不等号的方向与所求一致,故考虑利用不等式进行放缩消元,进而得到关于的表达式求得最值
解:,因为
所以有
(等号成立条件: )
例7:设,且,则的最大值是____________
思路:本题虽然有3个变量,但可通过进行消元,观察所求式子项的次数可知消去更方便,从而可得。然后可使用“主元法”进行处理,将视为主元,即但本题要注意的取值范围与相关,即,通过配方(或求导)可知的最大值在边界处取得,即,,从而达到消去的效果,再求出中的最大值即可
解:
设
为的极小值点
其中
设
若
可得:
例8:已知函数
(1)求的解析式及单调区间
(2)若不等式恒成立,求的最大值
解:(1),代入可得:
,令可得:
,可知
在上单调递增 时,
时,
在单调递减,在单调递增
(2)恒成立的不等式为:即
设
,令,即解不等式
若,可解得
在单调递减,在单调递增
下面求的最大值
令,设
令,可解得
在单调递增,在单调递减
当时,可得
当时, 为增函数
且时, ,,与恒成立矛盾
综上所述:的最大值为
例9:已知函数,求的最小值
思路:在多元表达式中不易进行变形消元,观察到变量存在二次函数的结构,所以考虑利用“主元法”,将视为自变量,视为参数,通过配方,并利用完全平方数的特征消去,从而得到关于的函数,然后求得最小值即可。
解:
设
设,可知
在单调递减,在单调递增
恒成立
令,即解不等式
在单调递减,在单调递增
即的最小值为
例10:已知函数
(1)若在上的最大值和最小值分别记为,求
(2)设,若对恒成立,求的取值范围
解:(1)
① 当时,可得
在单调递增
② 当时,
可得:在单调递减,在单调递增
由可知:
当时,
当时,
③ 当时,
可得在单调递减
综上所述:
(2)不妨设
由恒成立可知:恒成立
即对任意的恒成立
且即且
① 当时,由(1)可知
无解
② 当,
,即
即
另一方面:
设恒成立
在单调递增
③当,
,即
解得:
设恒成立
在单调递增
④ 当时,
综上所述: