春季高考历年真题天津市春季高考数学试卷 5页

‎2013年天津市高等院校春季招生统一考试 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至9页，第Ⅱ卷10至12页。共150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共75分）‎ 注意事项：‎ ‎1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目涂写在答题卡上，并将本人考试用条形码贴在答题卡的贴条形码处。‎ ‎2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答案卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。‎ ‎3. 考试结束，监考员将本试卷和答题卡一并收回。‎ ‎—、单项选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。‎ ‎1.已知全集U={1,2,3,4，5,6}，A, ={1,2,3,6}， B={3, 5}，则B∩=CuA=‎ ‎ A.{5} B.{3,4,5}‎ ‎ C.{3，4，5，6} D.{1,2,3,4,5,6}‎ ‎2.已知loga4=-，则a=‎ ‎ A. B=2‎ ‎ C.8 D=16‎ ‎3.条件“χ=0”是结论“yx=0”的 ‎ A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 ‎ ‎ C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4.函数f(x)= 的定义域是 ‎ A.（ ，-∞） B.（ ，1）∪（1，＋∞） ‎ ‎ C.（-1,1）∪（1，＋∞） D. （0,1）∪（1，+∞） ‎ 第一页 ‎5.在数列{an}中，若a2=2，且满足an=3n-1（n≥2）,则α5=‎ ‎ A.162 B. 54 ‎ ‎ C.17 D. 14 ‎ 6. 若α=π，则α是 ‎ A.第一象限的角 B.第二象限的角 ‎ ‎ C.第三象限的角 D.第四象限的角 ‎ ‎7.在下列函数中，周期为π的奇函数是 ‎ A. f(x)=sinx B. f(x)=cosx ‎ C. f(x)=sin2x D. f(x)=cos2x ‎8.在ΔABC中，已知AB=4，BC=6，∠B=60°，则AC=‎ ‎ A. 28 B.2‎ ‎ C. 76 D.2‎ 9. 已知点A=（3,1），B=(1,2),C=(1，2),D=(2，1),则向量的坐标是 ‎ A. (6，-3) B.(4，1)‎ ‎ C. (-1，2) D.(3，0)‎ ‎10.若点M（1，2），N（-2,3），P(4,b)在同一条直线上，则b=‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. 1 D. -1‎ ‎11.已知点a（-1,0），B(5，0),则线段AB为直径的圆的标准方程是 ‎ A.（x-3）2+y2=3 B. （x-3）2+y2=9‎ ‎ C.（x-2）2+y2=3 D. （x-2）2+y2=9‎ ‎12.顶点为坐标原点，准线为直线x=-1的抛物线的标准方程是 ‎ A. y2=4x B. y2=-4x ‎ C. y2=2x D. y2=-2x ‎13.已知如图所示的正方体ABCD -A1B1C1D1的直观图， 应该为虚线的线段共有 ‎ A.1条 B.2条 第二页 ‎ C.3条 D.4条 ‎14.从13名学生中选出两人担任正、副组长，不同的选举结果共有 ‎ A.26种 B.78种 ‎ C.156种 D.169种 ‎15.从不超过20的正整数中任取一个数恰好是3的倍数的概率为 ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ 第三页 ‎2013年天津市高等院校春季招生统一考试 数学 第二卷（非选择题）‎ 注意事项；‎ ‎1.答第II卷前，考生须将密封线内的项目填写清楚。‎ ‎2.考生须用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接打在试卷上。‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上。‎ ‎16.x3-2+x0.00120= ‎ a-χ, χ<0,‎ ‎17.已函数f(χ) = 若f(-2)+f(2)=8，则常数a= ‎ ‎ 2χ, χ≥0, ‎ ‎18.已知等差数列{an}的通项公式为an=3n-2,则其前10项和S10= ‎ ‎19.经过点P（0,2）且与直线2χ-y+3=0垂直的直线方程为 ‎ ‎20.已知正三棱柱ABC- A1B1C1所有的棱长都是2，则该棱柱的体积V= ‎ ‎21.某样本共五个数据：32,27，a,34,40,若样本均值为35，则a= ‎ 第四页 三、解答题：本大题共4小题，共51分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎22.本小题满分12分 已知二次函数f(χ)=aχ2-6χ+c在其定义域有最小值-1，且f(0)=8。‎ ‎1.写出函数的解析式；‎ ‎2.指出函数的单调区间，并说明各单调区间内函数的单调性；‎ ‎3.当f(χ) ≤8时，求x的取值范围。‎ 第五页 ‎23.本大题满分12分 ‎ 已知cosα=,且<α<2π.‎ ‎ 1.求tanα的值；‎ ‎ 2.求sin2α的值。‎ ‎ 3.求cos(α- )的值。‎ 第六页 ‎24.本小题满分12分 ‎ 在对某地区的居民的一次人口抽样调查中，各年龄段的人数统计如下表：‎ ‎ ‎ 年龄 ‎0-9‎ ‎10-19‎ ‎20-29‎ ‎30-39‎ ‎40-49‎ ‎50-59‎ ‎60-69‎ ‎70-79‎ ‎80-89‎ 人数 ‎9‎ ‎11‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎17‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎2‎ 根据此表回答问题 ‎ 1.求样本容量；‎ ‎2.计算该地区居民年龄在60岁以上（含60岁）的频率；‎ ‎3.已知该地区有居民80000人，估算出其中年龄在60岁以上（含60岁）的居民人数。‎ 第七页 ‎25.本小题满分15分 ‎ 已知椭圆的方程为x2+4y2=16.‎ ‎ 1.写出椭圆的顶点坐标、焦点坐标及离心率；‎ ‎ 2.过椭圆的右焦点作与x轴垂直的直线L,交椭圆与P1和P2两点，求线段P1 P2的长；‎ ‎ 3.求以椭圆短轴的两个顶点为焦点，一条渐近线为y=x的双曲线的标准方程。‎ 第八页 ‎2012年天津市高等院校春季招生统一考试 数学解答及评分参考 说明：‎ ‎ 一、本解答每题只给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，但只要正确，可比照此评分标准相应给分。‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误是，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得的分数的一半；如果后继部分的解答有严重的错误，就不再给分。‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生做到该步骤应得的累加分数。‎ ‎ 四、只给整数分数，选择题和填空不给中间分数。‎ 一、选择题 ‎ 1.A 2.D 3.A 4.B 5.B ‎ 6.D 7.C 8.B 9.A 10.C ‎ 11.D 12.A 13.C 14.C 15.D 二、填空题 ‎ 16. 3 17. 2 18. 145‎ ‎ 19. x+2y-4=0 20. -4 21. 42‎ 三、解答题 ‎22.‎ ‎ 解：1.由f(0)=8,得c=8,‎ ‎ 因为f(x)在其定义域内有最小值-1，‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 解得 a=1 ‎ ‎ 故f(x)的解析式为f(x)=x2-6x+8. ——4分 ‎ 2.函数f(x)=x2-6x+8的定义域是R，其图像的对称轴为x=3,‎ ‎ 因为a=1>0‎ ‎ 所以f(x)在区间（-∞，3）内是减函数，在区间（3，+∞）内是增函数。 ‎ ‎ ——8分 ‎ 3.由f(x) ≤8，的x2-6≤0，‎ ‎ 解得 0≤x ≤6‎ ‎ 故x的取值范围是[0,6]. ——12分 ‎23.‎ ‎ 解：1.由于 <α<2π,故 ‎ sinα=，‎ ‎ 所以 tanα= ——4分 ‎ 2.sin2α=2sinα·cosα=2××（-） =- ——8分 ‎ 3.cos(α- )=cosα▪cos +sinα▪sin ‎ ‎ = x +（-）×= ——12分 第一页 ‎ 24.‎ ‎ 解：1.样本容量是 ‎ 9+11+17+18+17+12+8+6+2=100 ——4分 ‎ 2.样本中年龄在60岁以上（含60岁）的居民共有16人，‎ ‎ 故居民年龄在60岁以上（含60岁）的频率为 ‎ =0.16 ——8分 ‎ 3.用样本估计总体，该地区60岁以上含60岁）的居民约为 ‎ 80000×0.16=12800（人） ——12分 ‎25.‎ ‎ 解：‎ ‎ 1.椭圆的标准方程 - =1‎ ‎ 由于=16,b2=4,故a=4，b=2,‎ ‎ 因此c2=a2-b2 =16-4=12,即c=2 ‎ ‎ 所以，顶点坐标为（-4,0）、（4,0）、（0,-2）、（0,2），焦点坐标为（-,0）、（2,0）；‎ ‎ 离心率e==.‎ ‎ ——7分 ‎ 2.由题意知，直线l经过椭圆的焦点（2,0），设P1（2,y1），P2（2,y2），‎ ‎ 因此（2）2 +4y2=16,解得y1=-1,y2=1,故P1（2,-1），P2（2,1），‎ ‎ 因此线段P1P2的长为 ‎ ‎ ‎ ——11分 ‎ 3.设双曲线的半实轴为a1，半需轴为b1,半焦距为c1，由题意知c1=2,‎ ‎ 因为双曲线的渐近线方程为y=x，即a1=b1,由c12=a12+b12得a12=b12=2.‎ ‎ 由于双曲线的焦点在y轴上，因此所求双曲线的标准方程为 ‎ y2-x2=2 .‎