高考全国Ⅱ理科数学试题及答案word解析版 6页

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）【2013年全国Ⅱ，理1，5分】已知集合，，则 （ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，，所以，故选A．‎ ‎（2）【2013年全国Ⅱ，理2，5分】设复数满足则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】，故选A．‎ ‎（3）【2013年全国Ⅱ，理3，5分】等比数列的前项和为，已知，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】设数列的公比为，若，则由，得，此时，而，不满足题意，因此．∵时，，∴，整理得．‎ ‎∵，即，∴，故选C．‎ ‎（4）【2013年全国Ⅱ，理4，5分】已知，为异面直线，⊥平面，⊥平面，直线满足，，，，则（ ）‎ ‎（A）且 （B）且 ‎ ‎（C）与相交，且交线垂直于 （D）与相交，且交线平行于 ‎【答案】D ‎【解析】因为，，，所以．同理可得．又因为，为异面直线，所以与相交，且平行于它们的交线，故选D．‎ ‎（5）【2013年全国Ⅱ，理5，5分】已知的展开式中的系数是5，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为的二项展开式的通项为，则含的项为 ‎，所以，，故选D．‎ ‎（6）【2013年全国Ⅱ，理6，5分】执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】由程序框图知，当，，时，，；当时，，；‎ 当时，，；当时，，；…；‎ 当时，，，增加1变为11，满足，输出，所以B正确，故选D．‎ ‎（7）【2013年全国Ⅱ，理7，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）‎ ‎ ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系的图像为下图：则它在平面上的投影 ‎ 即正视图为A图形，故选A．‎ ‎（8）【2013年全国Ⅱ，理8，5分】设，，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据公式变形，，，，因为，‎ 所以，即，故选D．‎ ‎（9）【2013年全国Ⅱ，理9，5分】已知，满足约束条件，若的最小值是1，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C）1 （D）2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示，作直线，因为直线 ‎ 与直线的交点坐标为，结合题意知直线过点， ‎ 代入得，故选B．‎ ‎（10）【2013年全国Ⅱ，理10，5分】已知函数，下列结论中错误的是（ ） ‎ ‎（A）， （B）函数的图象是中心对称图形 ‎ ‎（C）若是的极小值点，则在区间单调递减 ‎（D）若是的极值点，则 ‎【答案】C ‎【解析】若则有，所以A正确．由得，因为函数的对称中心为，所以的对称中心为，所以B正确．由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间单调递减是错误的，D正确，故选C．‎ ‎（11）【2013年全国Ⅱ，理11，5分】设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为（ ）‎ ‎（A）或 （B）或 （C）或 （D）或 ‎【答案】C ‎【解析】设点的坐标为，由抛物线的定义，得，则．又点的坐标为， 所以以为直径的圆的方程为．将，代入得 ‎，即，所以．由，得，解之得，或．‎ 所以的方程为或，故选C．‎ ‎（12）【2013年全国Ⅱ，理12，5分】已知，，，直线将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上 ‎（13）【2013年全国Ⅱ，理13，5分】已知正方形的边长为，为的中点，则______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】解法一：‎ 在正方形中，,,‎ 所以．‎ 解法二：‎ 以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点的坐 标为，点B的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则， ‎ ‎，所以．‎ ‎（14）【2013年全国Ⅱ，理14，5分】从个正整数，…，中任意取出两个不同的数，若其和为的 概率是，则__ ____．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】从1,2，…，n中任取两个不同的数共有种取法，两数之和为5的有， 2种，所以，即，解得．‎ ‎（15）【2013年全国Ⅱ，理15，5分】设为第二象限角，若，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得，即．将其代入，得．‎ 因为为第二象限角，所以，，．‎ ‎（16）【2013年全国Ⅱ，理16，5分】等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设数列的首项为，公差为，则，①‎ ‎．② 联立①②，得，，‎ 所以．令，则，．‎ 令，得或．当时，,时，，所以当时，‎ 取最小值，而，则，，所以当时，取最小值．‎ ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）【2013年全国Ⅱ，理17，12分】的内角的对边分别为已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的面积的最大值．‎ 解：（1）由已知及正弦定理得．① 又，‎ 故．② 由①，②和得，‎ 又，所以．‎ ‎（2）的面积．由已知及余弦定理得．‎ 又，故，当且仅当时，等号成立．因此面积的最大值为．‎ ‎（18）【2013年全国Ⅱ，理18，12分】如图，直三棱柱中，，分别是，的中点．．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值．‎ 解：（1）连结交于点，则为中点．又是中点，连结，则．‎ 因为平面，平面，所以平面．‎ ‎（2）由得，．以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图 ‎ 所示的空间直角坐标系．设，则，，，， ‎ ‎，．设是平面的法向量，‎ 则即，可取．同理，设是平面A1CE的法向量，‎ 则可取．从而，故．‎ 即二面角的正弦值为．‎ ‎（19）【2013年全国Ⅱ，理19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以(单位：，)表示下一个销售季度内的市场需求量，(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 ‎（1）将表示为的函数；‎ ‎（2）根据直方图估计利润不少于57000元的概率；‎ ‎（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量，则取，且的概率等于需求量落入的频率)，求T的数学期望．‎ 解：（1）当时，，当时，．‎ 所以． ‎ ‎（2）由（1）知利润不少于元当且仅当．由直方图知需求量的频率为，‎ 所以下一个销售季度内的利润不少于元的概率的估计值为．‎ ‎（3）依题意可得T的分布列为 T ‎45000‎ ‎53000‎ ‎61000‎ ‎65000‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ 所以．‎ ‎（20）【2013年全国Ⅱ，理20，12分】平面直角坐标系中，过椭圆M：()右焦点的直线交于，两点，为的中点，且的斜率为．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2），为上两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值．‎ 解：（1）设，，，则，，，‎ 由此可得．因为，，，所以．‎ 又由题意知，的右焦点为，故．因此，．所以的方程为．‎ ‎（2）由，解得或，因此．由题意可设直线的方程为：‎ ‎，设，．由得．‎ 于是．因为直线的斜率为1，所以．‎ 由已知，四边形的面积．‎ 当时，取得最大值，最大值为．所以四边形面积的最大值为．‎ ‎（21）【2013年全国Ⅱ，理21，12分】已知函数． ‎ ‎（1）设是的极值点，求并讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，证明．‎ 解：（1）．由是的极值点得，所以．于是，‎ 定义域为，．函数在单调递增，且．‎ 因此当时，；当时，．所以在单调递减，在 单调递增．‎ ‎（2）当，时，，故只需证明当时，．‎ 当时，函数在单调递增．又，，‎ 故在有唯一实根，且．当时，；‎ 当时，，从而当时，取得最小值．由得，‎ ‎，故．综上，当时，．‎ 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个 题目计分，做答时请写清题号．‎ ‎（22）【2013年全国Ⅱ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，为 外接圆的切线，的延长线交直线于点，，分别为弦与弦上的点，且 ‎，，，，四点共圆． ‎ ‎（1）证明：是外接圆的直径；‎ ‎（2）若，求过，，，四点的圆的面积与外接圆面积的比值．‎ 解：（1）因为为外接圆的切线，所以，由题设知，故，‎ 所以．因为，，，四点共圆，所以，故．‎ 所以，因此是外接圆的直径．‎ ‎（2）连结，因为，所以过，，，四点的圆的直径为，由，有，‎ 又，所以．而，故过，，，‎ 四点的圆的面积与外接圆面积的比值为．‎ ‎（23）【2013年全国Ⅱ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与（），为的中点．‎ ‎（1）求的轨迹的参数方程；‎ ‎（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．‎ 解：（1）依题意有，，因此．‎ 的轨迹的参数方程为(为参数，)．‎ ‎（2）点到坐标原点的距离．‎ 当时，，故的轨迹过坐标原点．‎ ‎（24）【2013年全国Ⅱ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设，，均为正数，且，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ 解：（1）由，，，得．‎ 由题设得，即．，即．‎ ‎（2）因为，，，故，‎ 即．所以．‎