高考数学排列组合解题技巧2012 6页

高考数学排列组合难题 ‎ ‎ 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.‎ 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. ‎ ‎ 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 ‎ 由分步计数原理得 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.‎ 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？‎ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,节目的不同顺序共有 种 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： ‎ ‎ (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有种方法。‎ ‎ 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?‎ 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即！ ‎ 一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有 七.多排问题直排策略 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有种,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,则共有 ‎ ‎ 八.排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.‎ 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有 十九.平均分组问题除法策略 例9. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？‎ ‎ 解: 分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,种分法。‎ 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)避免重复计数。‎ 练习题：‎ ‎1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（）‎ ‎2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 （1540）‎ ‎3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 排2名，则不同的安排方案种数为（）‎ 例1：把10人平均分成2组，每组5人，问共有多少种不同的分法？‎ 解1：先确定第1组，有种方法，再确定第二组，有种方法。这样确定两组共有·种方法。因为是等分组，第一、二组次序可交换，同一种分法被重复了次，所以共有种分法 例2：把10人分成3组，一组2人，一组3人，一组5人，问有多少种不同的分法？‎ 解2：按人数的多少，可把各组划分为第一组，第二组，第三组。先确定第1组，有种；再确定第二组，有种法；最后确定第三组，有种，共有··种。‎ 例3：把10分成3组，一组2人，其余两组各4人，问有多少种不同的分法？‎ 解3：先确定第1组，有种方法;再确定第二组，有种方法;最后确定第三组，有种方法。因第二、三组次序可交换，故同一分法被重复了次，所以共有 ‎ ‎ (1).对于等分组问题：分法数=‎ ‎(2).对于不等分组问题：分法数=按序分组的总数 ‎(3).对于混合分组问题：分法数=‎ ‎12．某车间甲组10名工人，其中4名女工人，乙组5名工人，其中3名女工人，现采用分层抽样方法，从甲乙两组中共抽取3名工人进行技术考核 （1） 求从甲乙两组各抽取的人数 （2） 求从甲组抽取的2人中恰有1名女工的概率 （3） 用表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望 ‎. 解：（1）甲组2人，乙组1人 （2）‎ ‎（3）可能取值为0，1，2，3‎ ‎ ‎ ‎ 分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎13.袋中有同样的球个，其中个红色，个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：.‎ ‎(1)随机变量的概率分布； (2)随机变量的数学期望与方差. ‎ 解答：(1)随机变量可取的值为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ 得随机变量的概率分布律为：‎ ‎(2)随机变量的数学期望为：；‎ ‎ 随机变量的方差为：‎ 一、选择题 ‎1．从2009名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2009人中剔除9人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2009人中，每人入选的概率（C） （A）不全相等　（B）均不相等　（C）都相等，且为　（D）都相等，且为 ‎2.某班选派6人参加两项公益活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有 ‎（D. ）‎ A.50种 B.70种 C.35种 D.55种 ‎3．某企业有职工人，其中高级职称人，中级职称人，一般职员人，现抽取人进行分层抽样，则各职称人数分别为（ C. ）A． B． C． D． ‎ ‎4．将n2(n≥3)个正整数1,2,3，…，n2填入n×n方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记f(n)为n阶幻方对角线上数的和。如下表所示 ‎8‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎2‎ 就是一个3阶幻方，可知f(3)＝15，则f(n)＝ (　A.　)‎ A. n(n2＋1) B. n2(n＋1)－3 C .n2(n2＋1) D．n(n2＋1) ‎ ‎5．为激发学生学习的兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合：‎ ‎；然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述：‎ 甲：此数为小于6的正整数；乙：A是B成立的充分不必要条件；‎ 丙：A是C成立的必要不充分条件 若老师评说这三位同学都说得对，则“”中的数为 1 。‎ ‎6．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为　（用数字作答）49.．‎ ‎7.．正整数的三次幂可拆分成几个连续奇数的和，‎ 如右图所示，若的“拆分数”中有一个数是2009，‎ 则的值为 45. ．‎ ‎8．已知展开式的第7项为，则实数x的值是 ‎　9.的展开式中，的系数是______1890_____。 10.在二项式的展开式中，x的系数是-10，则实数a的值为 1 11. 在的二项展开式中，的系数是15_ 12.在　15‎ 一、选择题 ‎1．从2009名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2009人中剔除9人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2009人中，每人入选的概率（ ） （A）不全相等　（B）均不相等　（C）都相等，且为　（D）都相等，且为 ‎2.某班选派6人参加两项公益活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有 ‎（ ）‎ A.50种 B.70种 C.35种 D.55种 ‎3．某企业有职工人，其中高级职称人，中级职称人，一般职员人，现抽取人进行分层抽样，则各职称人数分别为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎4．将n2(n≥3)个正整数1,2,3，…，n2填入n×n方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记f(n)为n阶幻方对角线上数的和。如下表所示 ‎8‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎2‎ 就是一个3阶幻方，可知f(3)＝15，则f(n)＝ ( )‎ A. n(n2＋1) B. n2(n＋1)－3 ‎ C .n2(n2＋1) D．n(n2＋1) ‎ ‎5．为激发学生学习的兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合：‎ ‎；然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述：‎ 甲：此数为小于6的正整数；乙：A是B成立的充分不必要条件；‎ 丙：A是C成立的必要不充分条件 若老师评说这三位同学都说得对，则“”中的数为 。‎ ‎ ‎ ‎6．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为　（用数字作答）．‎ ‎ ‎ ‎7.．正整数的三次幂可拆分成几个连续奇数的和，‎ 如右图所示，若的“拆分数”中有一个数是2009，‎ 则的值为 ．‎ ‎8．已知展开式的第7项为，则实数x的值是（ 　）‎ ‎　　 A．　　　　B．-3　　　　　 C．　　　　　 D．4‎ ‎9.的展开式中，的系数是___________。 ‎ ‎10.在二项式的展开式中，x的系数是-10，则实数a的值为 ‎ ‎11. 在的二项展开式中，的系数是____ _______‎ ‎12.在　 ‎ ‎ ‎ ‎13．某车间甲组10名工人，其中4名女工人，乙组5名工人，其中3名女工人，现采用分层抽样方法，从甲乙两组中共抽取3名工人进行技术考核 （1） 求从甲乙两组各抽取的人数 （2） 求从甲组抽取的2人中恰有1名女工的概率 （3） 用表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望 ‎ ‎ ‎14.袋中有同样的球个，其中个红色，个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，‎ 求： (1)随机变量的概率分布； (2)随机变量的数学期望与方差. ‎ ‎ ‎