全国高考新课标1卷文科数学试题 13页

‎2016年全国高考新课标1卷文科数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合A={1,3,5,7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=( )‎ A．{1,3} B．{3,5} C．{5,7} D．{1,7} ‎ ‎2．设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=( ) ‎ A．-3 B．-2 C．2 D． 3‎ ‎3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知，‎ 则b=( )‎ A． B． C．2 D．3 ‎ ‎5．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ‎，则该椭圆的离心率为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．若将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为 ‎( ) ‎ A．y=2sin(2x+) B．y=2sin(2x+) C．y=2sin(2x–) D．y=2sin(2x–)‎ ‎7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 圆中两条相互垂直的半径。若该几何体的体积是，‎ 则它的表面积是( ) ‎ A．17π B．18π C．20π D．28π ‎ ‎8．若a>b>0，0cb ‎ y x y ‎2‎ O ‎-2‎ ‎1‎ C x ‎2‎ O ‎-2‎ ‎1‎ B y x ‎2‎ O ‎-2‎ ‎1‎ A x ‎2‎ O ‎-2‎ ‎1‎ D y ‎9．函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为( )‎ 开始 x2+y2≥36?‎ 是 结束 输出x,y 否 n=n+1‎ 输入x,y,n ‎10．执行右面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，‎ 则输出x，y的值满足( )‎ A．y=2x B．y=3x ‎ C．y=4x D．y=5x ‎11．平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，‎ ‎ α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，‎ α∩平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．若函数在(-∞,+∞)单调递增，则a的取值范围是( )‎ A．[-1,1] B．[-1,] C．[-,] D．[-1,-] ‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．‎ ‎13．设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a⊥b，则x= . ‎ ‎14．已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ-)= . ‎ ‎15．设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若|AB|=，‎ 则圆C的面积为 。‎ ‎16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 ‎ 元。‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。只做6题，共70分。‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式； (Ⅱ)求{bn}的前n项和.‎ ‎18.（本题满分12分）‎ B E G P D C A 如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，‎ 连接PE并延长交AB于点G.‎ ‎(Ⅰ)证明G是AB的中点；‎ ‎(Ⅱ)在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC 内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.‎ ‎(Ⅰ)若n=19，求y与x的函数解析式；‎ ‎(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；‎ ‎(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系xoy中，直线l：y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.‎ ‎(Ⅰ)求； (Ⅱ)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.‎ ‎ ‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)=(x -2)ex+a(x -1)2.‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)若有两个零点，求a的取值范围.‎ 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，ΔOAB是等腰三角形，∠AOB=120°. 以O为圆心，OA为半径作圆.‎ ‎(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；‎ ‎(Ⅱ)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a>0）。在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.‎ ‎(Ⅰ)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。‎ ‎24.（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)=| x+1| -|2x-3|.‎ ‎(Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y=f(x)的图像；‎ ‎(Ⅱ)求不等式| f(x)|>1的解集。‎ ‎2016年全国高考新课标1卷文科数学试题参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合A={1,3,5,7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=( )B A．{1,3} B．{3,5} C．{5,7} D．{1,7} ‎ 解：取A，B中共有的元素是{3,5}，故选B ‎2．设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=( ) A A．-3 B．-2 C．2 D． 3‎ 解：(1+2i)(a+i)= a-2+(1+2a)i，依题a-2=1+2a，解得a=-3，故选A ‎3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) C A． B． C． D． ‎ 解：设红、黄、白、紫4种颜色的花分别用1,2,3,4来表示，则所有基本事件有 (12,34)，(13,24)，(14,23)，(23,14)，(24,13)，(34,12)，共6个，其中1和4不在同一花坛的事件有4个， 其概率为P=，故选C ‎4．ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知，‎ 则b=( )D A． B． C．2 D．3 ‎ 解：由余弦定理得：5=4+b2-4b×， 则3b2-8b-3=0，解得b=3，故选D ‎5．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ‎，则该椭圆的离心率为( )B A． B． C． D． ‎ 解：由直角三角形的面积关系得bc=，解得，故选B ‎6．若将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为 ‎( ) D A．y=2sin(2x+) B．y=2sin(2x+) C．y=2sin(2x–) ‎ ‎ D．y=2sin(2x–)‎ 解：对应的函数为y=2sin[ 2(x-)+]，即y=2sin(2x–)，故选D ‎7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 圆中两条相互垂直的半径。若该几何体的体积是，‎ 则它的表面积是( ) A A．17π B．18π C．20π D．28π ‎ 解：依图可知该几何体是球构成截去了八分之一，其体积 ‎ ‎，解得R=2，表面积，故选B ‎8．若a>b>0，0cb ‎ 解：取特值a=1，b=0.5，c=0.5，可排除A，C，D，故选B y x y ‎2‎ O ‎-2‎ ‎1‎ C x ‎2‎ O ‎-2‎ ‎1‎ B y x ‎2‎ O ‎-2‎ ‎1‎ A x ‎2‎ O ‎-2‎ ‎1‎ D y ‎9．函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为( )D 解：当0≤x≤2时，y'=4x–ex，函数先减后增，且y'|x=0.5>0，最小值在(0,0.5)内.‎ 故选D 开始 x2+y2≥36?‎ 是 结束 输出x,y 否 n=n+1‎ 输入x,y,n ‎10．执行右面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，‎ 则输出x，y的值满足( )C A．y=2x B．y=3x ‎ C．y=4x D．y=5x 解：运行程序，循环节内的n，x，y依次为 ‎(1,0,1)，(2,0.5,2)，(3,1.5,6)， 输出x=1.5，y= 6，‎ 故选C ‎11．平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，‎ ‎ α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，‎ 则m，n所成角的正弦值为( )A A． B． C． D． ‎ 解：平面A1B1C1D1∩平面CB1D1= B1D1与m平行，平面CDD1C1∩平面CB1D1=‎ ‎ CD1与n平行，所以m，n所成角就是B1D1与CD1所成角，而ΔCB1D1是等边三角形，则所成角是60°，故选A ‎12．若函数在(-∞,+∞)单调递增，则a的取值范围是( )C A．[-1,1] B．[-1,] C．[-,] D．[-1,-] ‎ 解：，，‎ 依题f'(x)≥0恒成立，即acosx≥恒成立，而(acosx)min=-|a|，，故选C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．‎ ‎13．设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a⊥b，则x= . ‎ 解：依题x+2(x+1)=0，解得x=‎ ‎14．已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ-)= . ‎ 解：依题θ+是第一象限角，cos(θ+)=，tan(θ-)=- tan(-θ)‎ ‎=- tan[-(θ+)]=- sin[-(θ+)]/cos[-(θ+)]=- cos(θ+)/ sin(θ+)=‎ ‎15．设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若|AB|=，‎ 则圆C的面积为 。4π 解：圆方程可化为x2+ (y-a)2=a2+2，圆心C到直线距离d=，由d2+3=a2+2，‎ 解得a2=2，所以圆半径为2，则圆面积为4π ‎16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 ‎ 元。216000‎ 解：设生产A、B两种产品各x件、y件，利润之和是z＝2100x+900y，‎ ‎①‎ B C A O x y ‎300‎ ‎200‎ l0‎ ‎②‎ ‎③‎ 约束条件是，即 作出可行域四边形OABC，如图.‎ 画出直线l0：7x+3y =0，平移l0到l，‎ 当l经过点B时z最大，联立10x+3y=900与5x+3y=600‎ 解得交点B(60,100)，所以 zmax=126000+90000=216000.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。只做6题，共70分。‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式； (Ⅱ)求{bn}的前n项和.‎ 解：(Ⅰ)依题a1b2+b2=b1，b1=1，b2=，解得a1=2 …2分 通项公式为 an=2+3(n-1)=3n-1 …6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知3nbn+1=nbn，bn+1=bn，所以{bn}是公比为的等比数列.…9分 所以{bn}的前n项和Sn= …12分 ‎18.（本题满分12分）‎ B E G P F D C A 如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，‎ 连接PE并延长交AB于点G.‎ ‎(Ⅰ)证明G是AB的中点；‎ ‎(Ⅱ)在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC 内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．‎ ‎(Ⅰ)证明：PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB．‎ 又DE⊥平面PAB，∴DE⊥AB．∴AB⊥平面PDE． …3分 又PG Ì平面PDE，∴AB⊥PG．依题PA=PB，∴G是AB的中点．…6分 ‎(Ⅱ)解：在平面PAB内作EF⊥PA（或EF// PB）垂足为F，‎ 则F是点E在平面PAC内的正投影。 …7分 理由如下：∵PC⊥PA，PC⊥PB，∴ PC⊥平面PAB． ∴EF ⊥PC ‎ 作EF⊥PA，∴EF⊥平面PAC．即F是点E在平面PAC内的正投影。…9分 连接CG，依题D是正ΔABC的重心，∴D在中线CG上，且CD=2DG．‎ 易知DE// PC，PC=PB=PA= 6，∴DE=2，PE=．‎ 则在等腰直角ΔPEF中，PF=EF=2，∴ΔPEF的面积S=2．‎ 所以四面体PDEF的体积。 …12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ 某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.‎ ‎(Ⅰ)若n=19，求y与x的函数解析式；‎ ‎(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；‎ ‎(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？‎ 解：(Ⅰ)当x≤19时，y=3800；当x>19时，y=3800+500(x-19)=500x-5700.‎ 所以y与x的函数解析式为 …3分 ‎(Ⅱ)由柱状图知，需更换的易损零件数不大于18为0.46，不大于19为0.7，所以n的最小值为19. …6分 ‎(Ⅲ)若每台机器都购买19个易损零件，则有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，所以100台机器购买易损零件费用的 平均数为(3800×70+4300×20+4800×10)=4000. …9分 若每台机器都购买20个易损零件，则有90台的费用为4000，10台的费用为4500，所以100台机器购买易损零件费用的 平均数为(4000×90+4500×10)=4050. …11分 ‎ 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件。…12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系xoy中，直线l：y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.‎ ‎(Ⅰ)求； (Ⅱ)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.‎ ‎ 解：(Ⅰ)依题M(0, t)，P(, t). 所以N(, t)，ON的方程为。‎ ‎ 联立y2=2px，消去x整理得y2=2ty. 解得y1=0，y2=2t. …4分 ‎ 所以H(,2t). 所以N是OH的中点，所以=2。 …6分 ‎(Ⅱ)直线MH的方程为，联立y2=2px，消去x整理得y2-4ty+4t2=0. ‎ 解得y1=y2=2t. 即直线MH与C只有一个交点H。‎ 所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点。 …12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)=(x -2)ex+a(x -1)2.‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)若有两个零点，求a的取值范围.‎ 解：(Ⅰ) f '(x)=(x -1)ex+a(2x -2)=(x -1)(ex+2a). x∈R …2分 ‎ (1)当a≥0时，在(-∞,1)上，f '(x)<0，f(x)单调递减；‎ 在(1,+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增。 …3分 ‎(2)当a<0时，令f '(x)=0，解得x =1或x=ln(-2a).‎ ‎①若a=，ln(-2a) =1，f '(x)≥0恒成立，所以f(x)在(-∞,+ ∞)上单调递增。‎ ‎②若a>，ln(-2a)<1，在(ln(-2a),1)上，f '(x)<0，f(x)单调递减；‎ 在(-∞, ln(-2a))与(1,+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增。‎ ‎③若a<，ln(-2a)>1，在(1,ln(-2a))上，f '(x)<0，f(x)单调递减；‎ 在(-∞,1)与(ln(-2a),+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增。…7分 ‎(Ⅱ) (1)当a=0时，f(x)=(x -2)ex只有一个零点，不合要求。 …8分 ‎(2)当a>0时，由(Ⅰ)知f(x)在(-∞,1)上单调递减；在(1,+∞)上单调递增。‎ 最小值f(1)=-e<0，又f(2)= a>0，若取b<0且b，所以f(x)有两个零点. …10分 ‎(3)当a<0时，在(-∞,1]上，f(x)<0恒成立；若a≥，由(Ⅰ)知f(x)在(1,+∞)上单调递增，不存在两个零点。若a<，f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减；在(ln(-2a),+∞)上单调递增，也不存在两个零点。‎ 综上a的取值范围是(0,1). …12分 ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，ΔOAB是等腰三角形，∠AOB=120°. 以O为圆心，OA为半径作圆.‎ ‎(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；‎ ‎(Ⅱ)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.‎ 证明：(Ⅰ)设E是AB的中点，连接OE，因为OA=OB，‎ ‎∠AOB=120°. 所以OE⊥AB，∠AOE=60°. …3分 在RtΔAOE中，OE=OA. 即圆心O到直线AB的 距离等打半径，所以直线AB与⊙O相切。 …5分 ‎(Ⅱ)因为OD=OA，所以O不是A,B,C,D四点共圆的圆心，故设其圆心为O'，则O'在AB的垂直平分线上。 ‎ 又O在AB的垂直平分线上，作直线O O'，所以O O'⊥AB。…8分 ‎ 同理可证O O'⊥CD。所以AB∥CD. …10分 ‎23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a>0）。在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.‎ ‎(Ⅰ)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。‎ 解：(Ⅰ)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2. ‎ 所以C1是以(0,1)为圆心a为半径的圆。 …3分 ‎ 将x=rcosq，y=rsinq代入可得C1的极坐标方程为r2-2r sinq+1-a2=0. …5分 ‎(Ⅱ)联立r2-2r sinq+1-a2=0与ρ=4cosθ消去ρ得16cos2q-8sinq cosq+1-a2=0，‎ 由tanθ=2可得16cos2q-8sinq cosq=0. 从而1-a2=0，解得a=1。 …8分 ‎ 当a=1时，极点也是C1与C2的公共点，且在C3上，综上a=1。 …10分 ‎24.（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)=| x+1| -|2x-3|.‎ ‎(Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y=f(x)的图像；‎ ‎(Ⅱ)求不等式| f(x)|>1的解集。‎ 解：(Ⅰ)‎ y=f(x)的图像如图所示。 …5分 ‎(Ⅱ)由f(x)的图像和表达式知，当f(x)=1时，解得x=1或x=3.‎ 当f(x)=-1时，解得x=或x=5. …8分 ‎ 结合f(x)的图像可得| f(x)|>1的解集为{x|x<或1< x<3或x>5}. …10分