高考复习高中数学向量的综合应用拔高题组有详细答案 27页

‎2014年高考复习高中数学向量的综合应用拔高题组（有详细答案）‎ ‎　‎ 一．选择题（共20小题）‎ ‎1．（2014•淮南二模）如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于 （　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎1‎ ‎　‎ ‎2．（2014•宜春模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设=α+β（α，β∈R），则α+β的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（0，]‎ B．‎ ‎[，]‎ C．‎ ‎（1，）‎ D．‎ ‎（1，）‎ ‎　‎ ‎3．（2014•呼伦贝尔二模）在边长为1的正三角形ABC中，=x，=y，x＞0，y＞0，且x+y=1，则•的最大值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎4．（2014•安庆三模）如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积之比等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎5．（2014•宜春模拟）如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为边AB，AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎[﹣6，6]‎ C．‎ D．‎ ‎[﹣4，4]‎ ‎　‎ ‎6．（2014•洛阳二模）若，，均为单位向量，且•=﹣，=x+y（x，y∈R），则x+y的最大值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎1‎ ‎　‎ ‎7．（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎8．（2013•湖南）已知，是单位向量，•=0．若向量满足|﹣﹣|=1，则||的最大值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎9．（2013•上海）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（　　）‎ ‎　‎ A．‎ m=0，M＞0‎ B．‎ m＜0，M＞0‎ C．‎ m＜0，M=0‎ D．‎ m＜0，M＜0‎ ‎　‎ ‎10．（2013•重庆）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（0，]‎ B．‎ ‎（，]‎ C．‎ ‎（，]‎ D．‎ ‎（，]‎ ‎　‎ ‎11．（2013•铁岭模拟）已知两点A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC=120°，设，（λ∈R），则λ等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣1‎ B．‎ ‎1‎ C．‎ ‎﹣2‎ D．‎ ‎2‎ ‎　‎ ‎12．（2013•楚雄州模拟）已知点P为△ABC内一点，且++3=，则△APB，△APC，△BPC的面积之比等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎9：4：1‎ B．‎ ‎1：4：9‎ C．‎ ‎3：2：1‎ D．‎ ‎1：2：3‎ ‎　‎ ‎13．（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义○=，若平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，则○=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎1‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎14．（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣2，则λ=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2‎ ‎　‎ ‎15．（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义•=．若两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，则•=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ ‎　‎ ‎16．（2012•天津）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣，则λ=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎17．（2012•济南二模）已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足．设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记，，．则λ2•λ3取最大值时，2x+y的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ ‎2‎ ‎　‎ ‎18．（2012•枣庄一模）在平面直角坐标系xOy中，设A，B，C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得，则（λ﹣3）2+μ2的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（2，9）‎ B．‎ ‎（4，10）‎ C．‎ ‎（）‎ D．‎ ‎（2，+∞）‎ ‎　‎ ‎19．（2012•淮北一模）在△ABC中，已知，sinB=cosA•sinC，S△ABC=6，P为线段AB上的一点，且．，则的最小值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎20．（2011•上海）设A1，A2，A3，A4 是平面上给定的4个不同点，则使 成立的点M 的个数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0‎ B．‎ ‎1‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎4‎ ‎　‎ 二．填空题（共10小题）‎ ‎21．（2014•和平区模拟）如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是　_________　．‎ ‎　‎ ‎22．（2014•河北区三模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆x2﹣4x+y2=0（2≤x≤4）上的一个动点，点C在线段OA的延长线上．当时，则点C的纵坐标的取值范围是　_________　．‎ ‎　‎ ‎23．（2014•四川二模）已知，则向量与向量的夹角是　_________　．‎ ‎　‎ ‎24．（2014•韶关模拟）已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是　_________　．‎ ‎　‎ ‎25．（2014•福建模拟）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足=0，•=0，•=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是　_________　．‎ ‎　‎ ‎26．（2014•江苏模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O的直线MN分别交正方形的边AB，CD于M，N，则当最小时，CN=　_________　．‎ ‎　‎ ‎27．（2014•河西区三模）如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，∠CBA=60°，∠ABD=45°，则x+y=　_________　．‎ ‎　‎ ‎28．（2013•北京）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则=　_________　．‎ ‎　‎ ‎29．（2013•上海）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是　_________　．‎ ‎　‎ ‎30．（2013•山东）已知向量与的夹角为120°，且，．若，且，则实数λ=　_________　．‎ ‎　‎ ‎2014年高考复习高中数学向量的综合应用拔高题组（有详细答案）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共20小题）‎ ‎1．（2014•淮南二模）如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于 （　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎1‎ 考点：‎ 相等向量与相反向量．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 先建立以O为原点，以OD所在直线为x轴的直角坐标系，根据条件求出点P的坐标与α，β之间的关系；再根据点P的位置，借助于可行域即可求解．‎ 解答：‎ 解：以O为原点，以OD所在直线为x轴建立直角坐标系，‎ 点P（x，y），则（x，y）=α（0，1）+β（3，0）=（3β，α），‎ 所以．‎ 因为：0≤x=3β≤3，0≤y=α≤1⇒‎ 设z=α+β，根据可行域知，‎ 当点P为点E（1，1）时，α+β=z最大，其最大值为，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查相等向量以及线性规划的简单应用，是对知识点的综合考查，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎2．（2014•宜春模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设=α+β（α，β∈R），则α+β的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（0，]‎ B．‎ ‎[，]‎ C．‎ ‎（1，）‎ D．‎ ‎（1，）‎ 考点：‎ 平面向量共线（平行）的坐标表示．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程；设出P的坐标，求出三个向量的坐标，将P的坐标用α，β表示，代入圆内方程求出范围．‎ 解答：‎ 解：以D为坐标原点，CD为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系则 D（0，0），A（0，1），B（﹣3，1），C（﹣1，0）‎ 直线BD的方程为x+3y=0‎ C到BD的距离为 ‎∴以点C为圆心，且与直线BD相切的圆方程为 设P（x，y）则 ‎，‎ ‎∴（x，y﹣1）=（﹣3β，﹣α）‎ ‎∴x=﹣3β，y=1﹣α ‎∵P在圆内 ‎∴，‎ 解得 故选D 点评：‎ 通过建立直角坐标系将问题代数化、考查直线与圆相切的条件、考查向量的坐标公式．‎ ‎　‎ ‎3．（2014•呼伦贝尔二模）在边长为1的正三角形ABC中，=x，=y，x＞0，y＞0，且x+y=1，则•的最大值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题；压轴题．‎ 分析：‎ 根据，可得==﹣1+，利用x＞0，y＞0，且x+y=1，可求的最大值．‎ 解答：‎ 解：由题意，‎ ‎∵‎ ‎∴==﹣1+‎ ‎∵x＞0，y＞0，且x+y=1‎ ‎∴xy≤‎ ‎∴﹣1+=﹣1+≤‎ 当且仅当x=y=时，取等号 ‎∴当x=y=时，的最大值为 故选B 点评：‎ 本题考查向量知识的运用，考查向量的加法，考查向量的数量积，考查基本不等式的运用，综合性强．‎ ‎　‎ ‎4．（2014•安庆三模）如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积之比等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 向量在几何中的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 本题考查的知识点是向量在几何中的应用，及三角形面积的性质，由△ABP与△ABC为同底不等高的三角形，故高之比即为两个三角面积之间，连接CP并延长后，我们易得到CP与CD长度的关系，进行得到△ABP的面积与△ABC面积之比．‎ 解答：‎ 解：连接CP并延长交AB于D，‎ ‎∵P、C、D三点共线，∴=λ+μ，且λ+μ=1‎ 设 =k，结合=+，得=+‎ 由平面向量基本定理解之，得λ=，k=3且μ=，‎ ‎∴=+，可得=，‎ ‎∵△ABP的面积与△ABC有相同的底边AB 高的比等于||与||之比 ‎∴△ABP的面积与△ABC面积之比为，‎ 故选：C 点评：‎ 三角形面积性质：同（等）底同（等）高的三角形面积相等；同（等）底三角形面积这比等于高之比；同（等）高三角形面积之比等于底之比．‎ ‎　‎ ‎5．（2014•宜春模拟）如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为边AB，AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎[﹣6，6]‎ C．‎ D．‎ ‎[﹣4，4]‎ 考点：‎ 向量在几何中的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题；转化思想；平面向量及应用．‎ 分析：‎ 通过圆的方程求出圆的圆心与半径，求出ME，OM，利用向量的三角形法则，化简，然后利用数量积求解范围即可．‎ 解答：‎ 解：因为圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，圆心的坐标（3，3）半径为2，‎ 所以|ME|=，|OM|==3，‎ ‎，==，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴=6cos（π﹣∠OME）∈[﹣6，6]，‎ 的取值范围是[﹣6，6]．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查向量在几何中的应用，注意向量的垂直与向量的转化，数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．‎ ‎　‎ ‎6．（2014•洛阳二模）若，，均为单位向量，且•=﹣，=x+y（x，y∈R），则x+y的最大值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎1‎ 考点：‎ 平面向量的综合题；平面向量的基本定理及其意义．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 由题设知==x2+y2﹣xy=1，设x+y=t，y=t﹣x，得3x2﹣3tx+t2﹣1=0，由方程3x2﹣3tx+t2﹣1=0有解，知△=9t2﹣12（t2﹣1）≥0，由此能求出x+y的最大值．‎ 解答：‎ 解：∵，，均为单位向量，‎ 且•=﹣，=x+y（x，y∈R），‎ ‎∴==x2+y2﹣xy=1，‎ 设x+y=t，y=t﹣x，得：x2+（t﹣x）2﹣x（t﹣x）﹣1=0，‎ ‎∴3x2﹣3tx+t2﹣1=0，‎ ‎∵方程3x2﹣3tx+t2﹣1=0有解，‎ ‎∴△=9t2﹣12（t2﹣1）≥0，‎ ‎﹣3t2+12≥0，‎ ‎∴﹣2≤t≤2‎ ‎∴x+y的最大值为2．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查平面向量的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意平面向量的数量积和换元法的灵活运用．本题也可用基本不等式解答 ‎　‎ ‎7．（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 平面向量的基本定理及其意义；二元一次不等式（组）与平面区域；向量的模．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；平面向量及应用．‎ 分析：‎ 由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．‎ 解答：‎ 解：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．‎ 不妨设A（），B（）．再设P（x，y）．‎ 由，得：．‎ 所以，解得①．‎ 由|λ|+|μ|≤1．‎ 所以①等价于或或或．‎ 可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，‎ 则区域面积为．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（2013•湖南）已知，是单位向量，•=0．若向量满足|﹣﹣|=1，则||的最大值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算；向量的模．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；平面向量及应用．‎ 分析：‎ 通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．‎ 解答：‎ 解：∵||=||=1，且，‎ ‎∴可设，，．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．‎ ‎∴的最大值==．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（2013•上海）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（　　）‎ ‎　‎ A．‎ m=0，M＞0‎ B．‎ m＜0，M＞0‎ C．‎ m＜0，M=0‎ D．‎ m＜0，M＜0‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；平面向量及应用．‎ 分析：‎ 利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论．‎ 解答：‎ 解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，‎ ‎∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，‎ ‎∵m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，‎ ‎∴m＜0，M＜0‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键．‎ ‎　‎ ‎10．（2013•重庆）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（0，]‎ B．‎ ‎（，]‎ C．‎ ‎（，]‎ D．‎ ‎（，]‎ 考点：‎ 向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；平面向量及应用．‎ 分析：‎ 建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．‎ 解答：‎ 解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形A，B1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），‎ 由=1，得，则 ‎∵||＜，∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，‎ ‎∴y2≤1‎ 同理x2≤1‎ ‎∴x2+y2≤2②‎ 由①②知，‎ ‎∵||=，∴＜||≤‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎11．（2013•铁岭模拟）已知两点A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC=120°，设，（λ∈R），则λ等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣1‎ B．‎ ‎1‎ C．‎ ‎﹣2‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 平面向量的坐标运算．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 先设点C的坐标，根据题意和向量的坐标运算，分别用λ表示x和y，再由向量的数量积的坐标表示出∠AOC的余弦值，再求出λ的值．‎ 解答：‎ 解：设点C的坐标是（x，y），则由得，‎ ‎（x，y）=﹣2（1，0）+λ（1，）=（﹣2+λ，），‎ ‎∴x=﹣2+λ，y=，‎ 又∵∠AOC=120°，∴cos120°=，即﹣=，‎ 解得，λ=1．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查向量的数量积和向量的坐标运算的应用，即通过条件列出关系式，利用向量相等的坐标等价条件进行求值．‎ ‎　‎ ‎12．（2013•楚雄州模拟）已知点P为△ABC内一点，且++3=，则△APB，△APC，△BPC的面积之比等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎9：4：1‎ B．‎ ‎1：4：9‎ C．‎ ‎3：2：1‎ D．‎ ‎1：2：3‎ 考点：‎ 向量在几何中的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比 解答：‎ 解：∵++3=，∴+=﹣+），如图：‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴F、P、G三点共线，且PF=2PG，GF为三角形ABC的中位线 ‎∴====2‎ 而S△APB=S△ABC ‎∴△APB，△APC，△BPC的面积之比等于3：2：1‎ 故选 C 点评：‎ 本题考查了向量式的化简，向量加法的平行四边形法则，向量数乘运算的几何意义等向量知识，充分利用向量共线是解决本题的关键 ‎　‎ ‎13．（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义○=，若平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，则○=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎1‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题；新定义．‎ 分析：‎ 由题意可得 •==，同理可得 •==，故有 n≥m 且 m、n∈z．再由 cos2θ=，与的夹角θ∈（0，），可得 cos2θ∈（，1），即∈（，1），由此求得 n=3，m=1，从而得到 •== 的值．‎ 解答：‎ 解：由题意可得 •====．‎ 同理可得 •====．‎ 由于||≥||＞0，∴n≥m 且 m、n∈z．‎ ‎∴cos2θ=．再由与的夹角θ∈（0，），可得 cos2θ∈（，1），即∈（，1）．‎ 故有 n=3，m=1，∴•==，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查两个向量的数量积的定义，得到 n≥m 且 m、n∈z，且∈（，1），是解题的关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣2，则λ=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 由题意可得=0，根据=﹣（1﹣λ）﹣λ=（λ﹣1）4﹣λ×1=﹣2，求得λ的值．‎ 解答：‎ 解：由题意可得=0，‎ 由于=（）•（）=[﹣]•[﹣]‎ ‎=0﹣（1﹣λ）﹣λ+0=（λ﹣1）4﹣λ×1=﹣2，‎ 解得 λ=，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义•=．若两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，则•=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题；新定义．‎ 分析：‎ 先求出 •=，n∈N，•=，m∈N，再由cos2θ=∈（ 0， ），故 m=n=1，从而求得 •= 的值．‎ 解答：‎ 解：∵•=====，n∈N．‎ 同理可得 •====，m∈N．‎ 再由与的夹角，可得cos2θ=∈（ 0， ），故 m=n=1，‎ ‎∴•==，‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题主要考查两个向量的数量积的定义，求得 m=n=1，是解题的关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（2012•天津）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣，则λ=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 平面向量的综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 根据向量加法的三角形法则求出，进而根据数量积的定义求出再根据=﹣即可求出λ．‎ 解答：‎ 解：∵，，λ∈R ‎∴，‎ ‎∵△ABC为等边三角形，AB=2‎ ‎∴=+λ+（1﹣λ）‎ ‎=2×2×cos60°+λ×2×2×cos180°+（1﹣λ）×2×2×cos180°+λ（1﹣λ）×2×2×cos60°‎ ‎=2﹣4λ+4λ﹣4+2λ﹣2λ2，‎ ‎=﹣2λ2+2λ﹣2‎ ‎∵=﹣‎ ‎∴4λ2﹣4λ+1=0‎ ‎∴（2λ﹣1）2=0‎ ‎∴‎ 故选A 点评：‎ 本题主要考查了平面向量数量级的计算，属常考题，较难．解题的关键是根据向量加法的三角形法则求出然后再结合数量积的定义和条件△ABC为等边三角形，AB=2，=﹣即可求解！‎ ‎　‎ ‎17．（2012•济南二模）已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足．设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记，，．则λ2•λ3取最大值时，2x+y的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 向量在几何中的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题；压轴题．‎ 分析：‎ 由题设条件知，时取等号，‎ 此时点P为EF的中点，能求出λ2•λ3取最大值时，2x+y的值．‎ 解答：‎ 解：∵△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，‎ ‎，，．‎ ‎∴，‎ ‎∵P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，‎ ‎∴，‎ ‎∴时取等号，此时点P为EF的中点，‎ ‎∵实数x，y满足，‎ ‎∴由，‎ 得到．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查向量在几何中的应用，综合性强，难度大，是高考的重点，计算繁琐，容易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意转化思想的合理运用．‎ ‎　‎ ‎18．（2012•枣庄一模）在平面直角坐标系xOy中，设A，B，C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得，则（λ﹣3）2+μ2的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（2，9）‎ B．‎ ‎（4，10）‎ C．‎ ‎（）‎ D．‎ ‎（2，+∞）‎ 考点：‎ 向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题；压轴题；平面向量及应用．‎ 分析：‎ 由得μ2=1+λ2﹣2λ，从而可构建函数f（λ）=（λ﹣3）2+μ2，即可求得（λ﹣3）2+μ2的取值范围．‎ 解答：‎ 解：因为A，B，C互异，所以﹣1＜＜1，‎ 由得μ2=1+λ2﹣2λ 则f（λ）=（λ﹣3）2+μ2=2λ2﹣6λ﹣2λ+10＞2λ2﹣8λ+10≥2．‎ f（λ）=（λ﹣3）2+μ2=2λ2﹣6λ﹣2λ+10＜2λ2﹣4λ+10，无最大值，‎ ‎∴（λ﹣3）2+μ2的取值范围是（2，+∞）．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查向量知识的运用，考查函数的最值，确定函数解析式是关键．‎ ‎　‎ ‎19．（2012•淮北一模）在△ABC中，已知，sinB=cosA•sinC，S△ABC=6，P为线段AB上的一点，且．，则的最小值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 平面向量的综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 cosC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设则，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12而，利用基本不等式求解最小值．‎ 解答：‎ 解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b ‎∵sinB=cosA•sinC，‎ ‎∴sin（A+C）=sinCcosA，‎ 即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，‎ ‎∴sinAcosC=0，‎ ‎∵sinA≠0，‎ ‎∴cosC=0 C=90°‎ ‎∵，S△ABC=6‎ ‎∴bccosA=9，‎ ‎∴，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15‎ ‎∴c=5，b=3，a=4‎ 以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）‎ P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）‎ 设则，‎ ‎∴=（x，0）+（0，y）=（x，y）‎ ‎∴x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12‎ ‎=‎ 故所求的最小值为 故选：C 点评：‎ 题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的是一个单位向量，从而可用x，y表示，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4﹣4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值 ‎　‎ ‎20．（2011•上海）设A1，A2，A3，A4 是平面上给定的4个不同点，则使 成立的点M 的个数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0‎ B．‎ ‎1‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 向量的加法及其几何意义．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 根据所给的四个固定的点，和以这四个点为终点的向量的和是一个零向量，根据向量加法法则，知这样的点是一个唯一确定的点．‎ 解答：‎ 解：根据所给的四个向量的和是一个零向量 ‎，‎ 则，‎ 即，‎ 所以．‎ 当A1，A2，A3，A4 是平面上给定的4个不同点确定以后，则也是确定的，‎ 所以满足条件的M只有一个，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查向量的加法及其几何意义，考查向量的和的意义，本题是一个基础题，没有具体的运算，是一个概念题目．‎ ‎　‎ 二．填空题（共10小题）‎ ‎21．（2014•和平区模拟）如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是　6　．‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题；数形结合．‎ 分析：‎ 在平面内建立合适的坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划解决问题．‎ 解答：‎ 解：以A为坐标原点，以AD方向为x轴正方向，‎ 以AB方向为y轴负方向建立坐标系，则=（1，﹣2）‎ 设N点坐标为（x，y），则=（x，y），则0≤x≤2，﹣2≤y≤0‎ 令Z==x﹣2y，‎ 将A，B，C，D四点坐标依次代入得：‎ ZA=0，ZB=4，ZC=6，ZD=2‎ 故Z=的最大值为6‎ 故答案为：6‎ 点评：‎ 向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题．‎ ‎　‎ ‎22．（2014•河北区三模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆x2﹣4x+y2=0（2≤x≤4）上的一个动点，点C在线段OA的延长线上．当时，则点C的纵坐标的取值范围是　[﹣5，5]　．‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；平面向量及应用．‎ 分析：‎ 设点C（a，b），由题意可得=λ，且 λ＞0，当点A在点M（2，2）时，由 =20，且a=b，‎ 解得b的值．当点A在点N（2，﹣2）时，由=20，且a=﹣b，解得b的值，从而求得C的纵坐标的取值范围．‎ 解答：‎ 解：半圆x2﹣4x+y2=0（2≤x≤4）即 （x﹣2）2+y2=4 （2≤x≤4），‎ 设点C（a，b），由于 与 的方向相同，故=λ，且 λ＞0，‎ 当点A在点M（2，2）时，=2a+2b=20，且a=b，解得b=5．‎ 当点A在点N（2，﹣2）时，=2a+（﹣2b）=20，且a=﹣b，解得b=﹣5．‎ 综上可得，则点C的纵坐标的取值范围是[﹣5，5]，‎ 故答案为[﹣5，5]．‎ 点评：‎ 本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，体现了数形结合与分类讨论的数学思想，属于中档题 ‎　‎ ‎23．（2014•四川二模）已知，则向量与向量的夹角是　　．‎ 考点：‎ 数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 据题意可得，∴=进一步利用向量夹角的范围求出夹角．‎ 解答：‎ 解：设的夹角为θ则 ‎∵‎ 即 ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴=‎ ‎∵θ∈[0，π]‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 解决向量的夹角问题，一般利用向量的数量积公式进行解决．但要注意向量夹角的范围．‎ ‎　‎ ‎24．（2014•韶关模拟）已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是　1　．‎ 考点：‎ 向量在几何中的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；平面向量及应用．‎ 分析：‎ 利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值．‎ 解答：‎ 解：∵=||||cosA，∠A=120°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）‎ ‎∴||||=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）‎ ‎∵=（ +），‎ ‎∴||2=（||2+||2+2 •）=（||2+||2﹣4）‎ ‎≥（2||||﹣4）=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）‎ ‎∴min=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）‎ 故答案为：1．‎ 点评：‎ 本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎25．（2014•福建模拟）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足=0，•=0，•=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是　2　．‎ 考点：‎ 向量在几何中的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB，AC，AD两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三度，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．‎ 解答：‎ 解：设AB=a，AC=b，AD=c，‎ 因为AB，AC，AD两两互相垂直，‎ 扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a2+b2+c2=4R2=4 ‎ S△ABC+S△ACD+S△ADB ‎=（ab+ac+bc ）‎ ‎≤（a2+b2+c2）=2‎ 即最大值为：2‎ 故答案为2．‎ 点评：‎ 本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎26．（2014•江苏模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O的直线MN分别交正方形的边AB，CD于M，N，则当最小时，CN=　　．‎ 考点：‎ 向量在几何中的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；探究型；平面向量及应用．‎ 分析：‎ 通过三角形的全等，求出x的值，利用方程有解，推出t的范围，然后求解即可求得结论．‎ 解答：‎ 解：易证△AOM≌△CON，则AM=CN=x 设CN=x，经过点N作NE⊥AB 则四边形NEBC为矩形 ‎∴NE=BC=1，BE=CN=x 则ME=（1﹣x）﹣x=1﹣2x（或2x﹣1）‎ ‎∴MN2=EM2+EN2=2﹣4x+4x2‎ BN2=BC2+CN2=1+x2‎ 令2﹣4x+4x2=t（1+x2），整理 ‎﹙t﹣4﹚x2+4x+t﹣2=0有实根 ‎∴16﹣4（t﹣4）（t﹣2）≧0‎ 解得：3﹣≤t≤3+‎ ‎∴当 取最小值时，‎ 即t取最小值3﹣，x=‎ 即CN=，‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 本题考查学生分析解决问题的能力，考查学生的探究能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎27．（2014•河西区三模）如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，∠CBA=60°，∠ABD=45°，则x+y=　　．‎ 考点：‎ 向量在几何中的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题；平面向量及应用．‎ 分析：‎ 通过过C作CE⊥OB于E，用向量，求出与的关系，结合，曲线x+y的值即可．‎ 解答：‎ 解：如图过C作CE⊥OB于E，因为AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，∠CBA=60°所以E为OB的中点，连结OD，则，‎ ‎∴=，=‎ ‎=‎ ‎=，‎ 又，‎ x+y==．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查向量在几何中的应用，利用已知向量表示所求向量是解题的难点，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎28．（2013•北京）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则=　4　．‎ 考点：‎ 平面向量的基本定理及其意义．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题；平面向量及应用．‎ 分析：‎ 以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量、、的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ=﹣2且μ=﹣，即可得到的值．‎ 解答：‎ 解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系 可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）‎ ‎∵‎ ‎∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣‎ 因此，==4‎ 故答案为：4‎ 点评：‎ 本题给出向量用向量、线性表示，求系数λ、μ的比值，着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎29．（2013•上海）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是　﹣5　．‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；平面向量及应用．‎ 分析：‎ 如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．再分类讨论当i，j，k，l取不同的值时，利用向量的坐标运算计算的值，从而得出的最小值．‎ 解答：‎ 解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，‎ ‎，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．如图建立坐标系．‎ ‎（1）当i=1，j=2，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；‎ ‎（2）当i=1，j=2，k=1，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；‎ ‎（3）当i=1，j=2，k=2，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；‎ ‎（4）当i=1，j=3，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（0，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；‎ 同样地，当i，j，k，l取其它值时，=﹣5，﹣4，或﹣3．‎ 则的最小值是﹣5．‎ 故答案为：﹣5．‎ 点评：‎ 本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎30．（2013•山东）已知向量与的夹角为120°，且，．若，且，则实数λ=　　．‎ 考点：‎ 数量积表示两个向量的夹角；向量的模．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题；平面向量及应用．‎ 分析：‎ 利用，，表示向量，通过数量积为0，求出λ的值即可．‎ 解答：‎ 解：由题意可知：，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以 ‎=‎ ‎=‎ ‎=﹣12λ+7=0‎ 解得λ=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力．‎ ‎　‎