版高考数学理二元一次不等式组与简单的线性规划问题目二轮考点专练 13页

考点28 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 一、选择题 ‎1.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T9)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=　(　　)‎ ‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎【解题指南】结合线性约束条件,画出可行域,由目标函数取得最小值1,结合图形可求得a.‎ ‎【解析】选B.画出不等式组表示的平面区域如图所示:‎ 当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时,z取得最小值,而点A的坐标为(1,-‎2a),所以2‎-2a=1,解得a=,故选B.‎ ‎2.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ3）设满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解题指南】结合线性约束条件，画出可行域，将目标函数平移得最小值.‎ ‎【解析】选B.由z=2x-3y得3y=2x-z，即。作出可行域如图,‎ 平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时取得最小值，由得，即,代入直线z=2x-3y得，选B.‎ ‎3. （2013·陕西高考文科·Ｔ7）若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为 ( )‎ ‎ A. －6 B .－2 C. 0 D. 2‎ ‎【解题指南】画出直线围成的封闭区域，把求2x-y最小值转化为求y=2x-z所表示直线的截距的最大值，通过平移可求解.‎ ‎【解析】选A.的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 在封闭区域内平移直线y=2x，在点(-2,2)时，2x – y = - 6取最小值.‎ ‎4. （2013·山东高考理科·Ｔ6）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组：，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为 （ ） A.2       B.1     C.   D. ‎ ‎【解题指南】本题可先根据题意画出平面区域，然后利用数形结合找出斜率的最值.‎ ‎【解析】选C. 作出可行域如图 由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小.由得，即,此时OM的斜率为.‎ ‎5.（2013·北京高考理科·Ｔ8）设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，求得m的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解题指南】作出平面区域，则区域的边界点中有一个在x0－2y0=2的上方，一个在下方。‎ ‎【解析】选C。作出可行域如下图所示：‎ 要使可行域存在，必有，要求可行域内包含直线上的点，只要边界点在直线上方，且在直线下方，解不等式组得m＜.‎ ‎6. （2013·四川高考文科·Ｔ8）若变量满足约束条件且的最大值为，最小值为，则的值是（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎【解题指南】本题考查的是简单的线性规划问题，求解的关键是正确的作出可行域，然后求出最大值与最小值.‎ ‎【解析】选C，作出可行域如图，‎ 结合图形可知，当经过点A时，取最大值16，当经过点B时，取最小值为-8，所以，故选C.‎ ‎7. （2013·湖北高考文科·Ｔ9）某旅行社租用，两种型号的客车安 排900名客人旅行，，两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金 分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且 型车不多于型车7辆．则租金最少为( )‎ A．31200元 B．36000元 C．36800元 D．38400元 ‎【解题指南】利用线性规划求解.‎ ‎【解析】选C. 设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的运营成本为1600x+2400y，依题意，x，y还需满足：x+y≤21，y≤x+7，36x+60y≥900，于是问题等价于求满足约束条件 ‎ 要使目标函数达到最小值。作可行域如图所示,‎ 可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6),‎ 由图可知,当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时,直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小,即z取得最小值.故应配备A型车5辆,B型车12辆.‎ zmin=1600x+2400y=1600×5+2400×12=36800(元).‎ ‎8．（2013·天津高考文科·T2)与(2013·天津高考理科·T2)相同 设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为　(　　)‎ A.-7 B.‎-4 ‎C.1 D.2‎ ‎【解题指南】画出约束条件所表示的可行域,平移直线z=y-2x至截距最小即可.‎ ‎【解析】选A.由z=y-2x,得y=2x+z.作出不等式组对应的平面区域ABC. ‎ 作直线y=2x,平移直线y=2x+z,由图象知当直线经过点B时,y=2x+z的截距最小,此时z最小.由得代入z=y-2x得z=3-2×5=-7.所以最小值为-7.‎ ‎9.(2013·福建高考文科·T6)若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值和最小值分别为　(　　)‎ A.4和3 B.4和2‎ C.3和2 D.2和0‎ ‎【解题指南】找出可行域,将各端点代入求出最值.‎ ‎【解析】选B.可行域如图所示,‎ 可行域的三个端点为,分别代入可得zmin=2×1+0=2,zmax=2×2+0=4.‎ ‎10.（2013·湖南高考理科·Ｔ4）若变量满足约束条件，（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解题指南】先作出约束条件对应的可行域，再求出顶点坐标，然后找出最优解即可。‎ ‎【解析】选C.作出不等式组，表示的平面区域,‎ 得到如图的△ABC及其内部, ‎ 其中A,B,C(2,-1).设z=x+2y,将直线l:z=x+2y进行平移,‎ 当l经过点B时,目标函数z达到最大值,所以z最大值=.‎ 二、填空题 ‎11．（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ14）设x，y满足约束条件，则 的最大值为______.‎ ‎【解题指南】画出x,y满足约束条件的可行域,平移目标函数,确定目标函数取得最大值的位置,求出点的坐标,将该点坐标代入目标函数中.‎ ‎【解析】画出可行域如图所示，‎ 当目标函数过点时，取得最大值，‎ ‎【答案】‎ ‎12. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ15）若满足约束条件则 .‎ ‎【解析】画出满足约束条件的可行域，如图 可知过点时，目标函数取得最小值，联立，解得,所以.‎ ‎【答案】0. ‎ ‎13.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）记不等式组所表示的平面区域为若直线 .‎ ‎【解析】画出可行域如图所示，‎ 当直线过点时，取得最大值为，当直线过点时，取得最小值为.所以的取值范围为.‎ ‎【答案】‎ ‎14.(2013·浙江高考理科·T13)设z=kx+y,其中实数x,y满足，若z的最大值为12,则实数k=　　　　.‎ ‎【解析】不等式组表示的可行域如图所示,‎ 由z=kx+y可得y=-kx+z,知其在y轴上的截距最大时,z最大,由图知当且直线过点A(4,4)时,z取最大值12,即4k+4=12,所以k=2.‎ ‎【答案】2‎ ‎15.(2013·浙江高考文科·T15)设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k=　　　　.‎ ‎【解题指南】根据不等式组画出可行域,再把目标函数z转化为在y轴上的截距.‎ ‎【解析】不等式组表示的可行域如图所示,‎ 由z=kx+y可得y=-kx+z,知其在y轴上的截距最大时,z最大,经检验-k<0且直线过点A(4,4)时,z取最大值12,即4k+4=12,所以k=2.‎ ‎【答案】2‎ ‎16. (2013·江苏高考数学科·T9)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值范围是　　　　.‎ ‎【解题指南】先确定可行域,再通过平移目标函数求范围.‎ ‎【解析】由得抛物线在处的切线方程为即 即得可行域如图中阴影 ‎ 目标函数平移目标函数经过点A时最小经过点B时最大，故的取值范围是 ‎【答案】‎ ‎17. （2013·湖南高考文科·Ｔ13）若变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为________‎ ‎【解题指南】先作出约束条件对应的可行域，求出顶点坐标，然后找出最优解即可。‎ ‎【解析】画出可行域如图,‎ 由得A(4,2),目标函数z=x+y可看成斜率为-1的动直线,其纵截距越大z越大,数形结合可得当动直线过点A时,z最大=4+2=6.‎ ‎【答案】6‎ ‎18.（2013·安徽高考文科·Ｔ12）若非负数变量x、y满足约束条件则x+y的最大值为_____‎ ‎【解题指南】 作出可行域，求出最优点，得出最大值。‎ ‎【解析】由，即点A，同理可得点B（4,0），可行域如图阴影所示，‎ 由图可知当直线经过（4,0）时得所求的最大值是4.‎ ‎【答案】4‎ ‎19.（2013·北京高考文科·Ｔ12）设D为不等式组，表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为___________.‎ ‎【解题指南】作出可行域D，然后可以看出点（1，0）到D的距离的最小值为点（1，0）到直线2x-y=0的距离。‎ ‎【解析】作出可行域D,‎ 点（1，0）到区域D上点的最小距离即是点（1，0）到直线2x-y=0的距离，。‎ ‎【答案】‎ ‎20.（2013·广东高考理科·Ｔ13）给定区域：令点集={(x0,y0)∈D| x0,y0∈Z,( x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定____条不同的直线。‎ ‎【解题指南】本题考查线性规划中的整点最优解问题，可列出整点验算.‎ ‎【解析】区域是以为顶点的三角形内部区域（含边界），内的整点有，这11个点是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点为，这些点共确定6条不同的直线.‎ ‎【答案】6. ‎ ‎21.（2013·广东高考文科·Ｔ13）已知变量满足约束条件则的最大值是 ．‎ ‎【解题指南】本题考查线性规划中的最优解问题，可画出可行域计算.‎ ‎【解析】可行域是以为顶点的直角梯形内部区域（含边界），z=x+y在D上取得最大值的点为，最大值是5.‎ ‎【答案】5. ‎ ‎22. （2013·山东高考文科·Ｔ14）在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则的最小值为_______‎ ‎【解题指南】可画出不等式组表示的平面区域，的最小值即为在平面区域内找一点，使得这点与原点的距离最小.‎ ‎【解析】作出可行域如图 易知过原点做直线的垂线，即为的最小值,‎ ‎.‎ ‎【答案】 .‎ ‎23. （2013·陕西高考理科·Ｔ13）若点(x, y)位于曲线与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为 .‎ ‎【解题指南】画出直线围成的封闭区域，把求2x-y最小值转化为求y=2x-z所表示直线的截距的最大值，通过平移可求解.‎ ‎【解析】封闭区域为三角形。令| x – 1 | = 2 , 解得 ，所以三角形三个顶点坐标分别为（1,0,），（-1,2），（3,2），在封闭区域内平移直线y=2x，在点（-1,2）处2x－y取最小值 – 4.‎ ‎【答案】-4.‎