高考数学理二轮专练四中档大题目六 7页

中档大题(六)‎ ‎1．(2013·高考辽宁卷)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈[0，]．‎ ‎(1)若|a|＝|b|，求x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．‎ ‎2．(2013·高考陕西卷)‎ 如图， 四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.‎ ‎ (1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；‎ ‎ (2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积. ‎ ‎3．(2013·广东省广州市高三年级调研测试)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出七名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.‎ ‎(1)求x和y的值；‎ ‎(2)计算甲班七名学生成绩的方差；‎ ‎(3)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．‎ 参考公式：方差s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中x＝.‎ ‎4．(2013·江西省南昌市高三第一次模拟测试)设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{}都是等差数列，且公差相等．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)若a1，a2，a5恰为等比数列{bn}的前三项，记数列cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.‎ ‎5．已知定义在区间[－π，]上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，当x≥时，f(x)＝－sin x.‎ ‎(1)作出y＝f(x)的图象；‎ ‎(2)求y＝f(x)的解析式；‎ ‎(3)若关于x的方程f(x)＝－有解，将方程所有解的和记为M，结合(1)中函数图象，求M的值．‎ ‎6.‎ ‎(2013·高考福建卷)如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.‎ ‎(1)当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥PABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；‎ ‎(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；‎ ‎(3)求三棱锥DPBC的体积．‎ 答案：‎ ‎1．【解】(1)由|a|2＝(sin x)2＋sin2x＝4sin2x，‎ ‎|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，‎ 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.‎ 又x∈[0，]，从而sin x＝，所以x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x ‎＝sin 2x－cos 2x＋＝sin(2x－)＋，‎ 当x＝∈[0，]时，sin(2x－)取最大值1.‎ 所以f(x)的最大值为.‎ ‎2．【解】(1)证明：由题设知，BB1DD1，‎ ‎∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.‎ 又BD⊄平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.‎ ‎∵A1D1B1C1BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，‎ ‎∴A1B∥D1C.‎ 又A1B⊄平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.‎ 又BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.‎ ‎(2)∵A1O⊥平面ABCD，‎ ‎∴A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高．‎ 又AO＝AC＝1，AA1＝，∴A1O＝＝1.‎ 又S△ABD＝××＝1，‎ ‎∴V三棱柱ABDA1B1D1＝S△ABD·A1O＝1.‎ ‎3．【解】(1)∵甲班学生的平均分是85，‎ ‎∴＝85，‎ ‎∴x＝5.‎ ‎∵乙班学生成绩的中位数是83，‎ ‎∴y＝3.‎ ‎(2)甲班七名学生成绩的方差为 s2＝[(－6)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋02＋72＋112]＝40.‎ ‎(3)甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E.‎ 从这五名学生中任意抽取两名学生共有10种情况：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)．‎ 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)．‎ 记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则P(M)＝.‎ 故从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生的概率为.‎ ‎4．【解】(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋，即＝，由 是等差数列得到：，‎ 则d＝且d＝2a1>0，所以d＝，‎ 所以a1＝＝，‎ an＝＋(n－1)·＝.‎ ‎(2)由b1＝a1＝，b2＝a2＝，b3＝a5＝，得等比数列{bn}的公比q＝3，‎ 所以bn＝×3n－1‎ 所以cn＝＝＝－，‎ Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－.‎ ‎5．【解】(1)y＝f(x)的图象如图所示：‎ ‎(2)任取x∈[－π，]，则－x∈[，]，‎ 由于函数f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ 所以f(x)＝f(－x)．‎ 又当x≥时，f(x)＝－sin x，‎ 所以f(x)＝f(－x)＝－sin(－x)＝－cos x，‎ 则f(x)＝.‎ ‎(3)因为－∈[－1，－]，‎ 所以f(x)＝－有4个根满足x1