四川高考数学文科试卷带详解 14页

‎ ‎ ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)‎ 数学(文史类)‎ 源:]‎ 一、选择题 ‎1.设集合A={3,5,6,8},集合B={4,5,7,8},则A∩B等于 ( )‎ A.{3,4,5,6,7,8} B.{3,6} C. {4,7} D.{5,8}‎ ‎【测量目标】集合的基本运算.‎ ‎【考查方式】直接给出集合，用列举法求两集合交集.‎ ‎【参考答案】D ‎【试题解析】集合A与集合B中的公共元素为5,8‎ ‎2.函数y=的图象大致是 ( )‎ ‎ ‎ A B C D ‎【测量目标】对数函数的图象和基本性质.‎ ‎【考查方式】直接给出对数函数解析式，判断其函数图象.‎ ‎【参考答案】C ‎【试题解析】由，知图象过（1,0）点且单调递增,所以选C.‎ ‎3.抛物线的焦点到准线的距离是 ( )‎ A. 1 B‎.2 C.4 D.8‎ ‎【测量目标】抛物线的定义.‎ ‎【考查方式】直接由抛物线解析式求解.‎ ‎【参考答案】C ‎【试题解析】由y2＝2px＝8x知p＝4，w，，有交点到准线的距离就是p，则抛物线到准线的 距离为4.‎ ‎4.一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 ( )‎ A.12,24,15,9 B.9,12,12,‎7 C.8,15,12,5 D.8,16,10,6‎ ‎【测量目标】分层抽样.‎ ‎【考查方式】根据分层抽样方法由整体人数估计各层人数. ‎ ‎【参考答案】D ‎【试题解析】因为，‎ ‎ 故各层中依次抽取的人数分别是,,,.‎ ‎5.函数的图像关于直线对称的充要条件是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】充要条件的意义、函数图象与直线的关系.‎ ‎【考查方式】根据函数图象对称轴求解.‎ ‎【参考答案】A ‎【试题解析】函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－. (). k）u.c o*m 于是－＝‎1 Þ m＝－2（步骤2）‎ ‎6.设点是线段的中点,点在直线外,, ,则 ( )‎ A.8 B‎.4 C.2 D.1‎ ‎【测量目标】向量加法、减法的运算，平面向量的数量积.‎ ‎【考查方式】给出各向量的关系，借助向量加减法的运算求解.‎ ‎【参考答案】C ‎【试题解析】由＝16,得＝4（步骤1）w_w w. k#s5_u.c o*m()‎ ‎＝4（步骤2）‎ 而 故2（步骤3）‎ ‎7.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,所得图像的函数解析式是 ( )‎ A. B.‎ C. D ‎【测量目标】函数的图象及其变换.‎ ‎【考查方式】已知正弦函数图象，判断它经过变换后的图象. ‎ ‎【参考答案】C ‎【试题解析】将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,所得函数图象的解析式为y＝sin(x－)ww w. k#s5_u.c o*m ‎ 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,所得图像的函数解析式是.（步骤2）‎ ‎8.某加工厂用某原料由车间加工出产品,由乙车间加工出产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出‎7千克产品,每千克产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出‎4千克产品,每千克产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为 ( )‎ A甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱 B甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱 C甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱 ‎ D甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱高第G29‎ ‎【测量目标】二元线性规划的实际应用. ‎ ‎【考查方式】根据题目得出变量约束条件,画图求目标函数的最优解.‎ ‎【参考答案】B ‎ ‎【试题解析】‎ 设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱 则（步骤1）‎ 目标函数z＝280x＋300y 结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大（步骤2）‎ 本题也可以将答案逐项代入检验.5_u.c o*m ‎9.由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是 ( )‎ A.36 B‎.32 C.28 D.24‎ ‎【测量目标】排列组合的应用.‎ ‎【考查方式】根据题目所给条件分类讨论，得出满足条件的个数.‎ ‎【参考答案】A ‎【试题解析】如果5在两端,则1、2有三个位置可选,排法为2×＝24种（步骤1）‎ ‎ 如果5不在两端,则1、2只有两个位置可选,3×＝12种（步骤2）‎ ‎ 共计12＋24＝36种 o*m.（步骤3）‎ ‎10.椭圆的右焦点为F,其右准线与轴的交点为．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】椭圆的标准方程、几何性质和垂直平分线的性质.‎ ‎【考查方式】已知椭圆的标准方程形式、椭圆中线段间的特殊关系，利用线段关系转化为离心率求解.‎ ‎【参考答案】D ‎【试题解析】由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点,w_w w. k#s5_u.c o*m 即F点到P点与A点的距离相等 而|FA|＝‎ ‎ |PF|∈[a－c,a＋c]（步骤1）‎ 于是∈[a－c,a＋c]‎ 即ac－c2b‎2ac＋.‎ ‎∴‎ Þ（步骤2）‎ 又e∈(0,1)‎ 故e∈（步骤3）‎ ‎11.设,则的最小值是 ( )‎ A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ ‎【测量目标】基本不等式求最值.‎ ‎【考查方式】通过添项，化为基本不等式形式求最值.‎ ‎【参考答案】D ‎【试题解析】w_w w. k#s5_u.c o*m ‎＝‎ ‎＝‎ ‎2＋2＝4（步骤1）‎ 当且仅当ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立 如取a＝,b＝满足条件.（步骤2）‎ ‎12.半径为的球的直径垂直于平面,垂足为,是平面内边长为的正三角形,线段、分别与球面交于点、,那么、两点间的球面距离是 ( ) ‎ A. B.‎ C. D. ‎ ‎【测量目标】余弦定理、三角形中两直线平行的条件 ‎ ‎【考查方式】做辅助线求出相关量，借助余弦定理求解.‎ ‎【参考答案】A ‎【试题解析】由已知,AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝‎ cos∠BAC＝（步骤1）w_w w. k#s5_u.c o*m 连结OM,则△OAM为等腰三角形 AM＝2AOcos∠BAC＝,同理AN＝,且MN∥CD 而AC＝R,CD＝R 故 Þ MN＝,(步骤2)‎ 连结OM、ON,有OM＝ON＝R 于是cos∠MON＝‎ 所以M、N两点间的球面距离是.（步骤3）‎ 二、填空题w_w w. k#s5_u.c o*m ‎13.(x－)4的展开式中的常数项为______________(用数字作答)‎ ‎【测量目标】二项式定理.‎ ‎【考查方式】由二项式展开式，求满足特殊条件的项.‎ ‎【参考答案】24‎ ‎【试题解析】展开式的通项公式为Tr＋1＝（步骤1）‎ ‎ 取r＝2得常数项为(－2)2＝24._w w. k#s5_u.c o*m ‎14.直线与圆相交于A、B两点,则 .‎ ‎【测量目标】圆的标准方程、圆与直线的位置关系.‎ ‎【考查方式】直接给出圆和直线的方程，求交点距离.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】圆心为(0,0),半径为2w_w w. k#s5_u.c o*m 圆心到直线的距离为d＝（步骤1）‎ 故 得|AB|＝2（步骤2）‎ ‎15.如图,二面角的大小是60,线段., ‎ 与所成的角为30.则与平面所成的角的正弦值是 .‎ ‎【测量目标】直线与平面所成角、二面角的概念.‎ ‎【考查方式】做辅助线将线面角转化为三角形的内角求解. ‎ ‎【参考答案】 ‎ ‎【试题解析】过点A作平面β的垂线,垂足为C,在β内过C作l的垂线.垂足为D,连结AD,有三垂线定理可知AD⊥l,‎ 故∠ADC为二面角的平面角为60（步骤1） ‎ 又由已知,∠ABD＝30 ‎ 连结CB,则∠ABC为与平面所成的角 ‎ 设AD＝2,则AC＝,CD＝1 w_w w. k#s ‎ AB＝＝4（步骤2）‎ ‎∴sin∠ABC＝.（步骤3）‎ ‎（16）设为复数集的非空子集.若对任意,都有,则称为封闭集.下列命题：w_w w. k#s5_u.c o*m ‎①集合（为整数,为虚数单位）为封闭集；‎ ‎②若为封闭集,则一定有；‎ ‎③封闭集一定是无限集； ‎ ‎④若为封闭集,则满足的任意集合也是封闭集.‎ 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）‎ ‎【测量目标】集合的含义、集合之间包含的关系、复数代数形式的四则运算.‎ ‎【考查方式】给出满足封闭集的条件，运用特殊值法直接判断集合是否满足条件.‎ ‎【参考答案】①②w_w ‎【试题解析】直接验证可知①正确.‎ 当为封闭集时,因为x－y∈,取x＝y,得0∈,②正确 对于集合＝{0},显然满足素有条件,但S是有限集,③错误 取＝{0},＝{0,1},满足,但由于0－1＝－1Ï,故不是封闭集,④错误 w. k#s5_u.c o*m 三、 解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.‎ ‎（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；w_w w. k#s5_u.c o*m ‎（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.‎ ‎【测量目标】相互独立事件同时发生的概率、互斥事件概率加法公式.‎ ‎【考查方式】（1）直接利用独立事件的概率公式求解.（2）由已知，直接利用互斥事件的加法公式求解.‎ ‎【试题解析】（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C,那么 ‎（步骤1）‎ ‎（步骤2）‎ 答：第三位同学都没有中奖的概率是.（步骤3）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎=‎ 或（步骤3）‎ 答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为（步骤4）‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 在正方体ABCD－A′B′C′D′中,点M是棱AA′的中点,点O是对角线BD′的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线； ‎ ‎（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小 ‎ ‎【测量目标】线线平行、垂直，线面垂直，二面角的概念.‎ ‎【考查方式】（1）通过做辅助线转化线段位置、通过线面垂直证明线线垂直.（2）做辅助线将二面角转化为三角形内角求解.‎ ‎【试题解析】（1）连接AC,取AC的中点K,则K为BD的中点,连接 OK.‎ 因为点M是棱的中点,点O是的中点,‎ 所以且 ‎ 所以（步骤1） ‎ 由得（步骤2）‎ 因为所以 所以 所以（步骤3）‎ 又因为OM与异面直线都相交,‎ 故OM为异面直线的公垂线.（步骤4）‎ ‎（2）取的中点N,连接MN,则过点N作于H,连接MH,则由三垂线定理得,从而,为二面角的平面角.（步骤5）‎ 设AB=1,则 MN=1, （步骤6）‎ 在中,‎ 故二面角的大小为（步骤7）‎ ‎19.（本小题满分12分）w_w w. k#s5_u.c o*m ‎（Ⅰ）证明两角和的余弦公式；‎ ‎ 由推导两角和的正弦公式.‎ ‎（Ⅱ）已知求 ‎【测量目标】两角和的正、余弦公式，诱导公式，同角三角函数的关系.‎ ‎【考查方式】（1）建立直角坐标系，根据两点间距离公式证明.借助诱导公式证明.‎ ‎（2）同角三角函数的转换.‎ ‎【试题解析】（1）在直角坐标系xOy内作单位圆O,并作出角与,使角的始边为Ox,交圆O于点,终边交圆O于点;角的始边为,终边交圆O于点,角 的始边为,终边交圆O于点 则 由及两点间的距离公式,得 ‎ ‎（步骤1）‎ 展开并整理,得 ‎（步骤2）‎ 由易得,（步骤3）‎ ‎.‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ （步骤4）‎ ‎(2)‎ ‎（步骤1）‎ ‎（步骤5）‎ ‎（步骤6）‎ ‎20．（本小题满分12分）w_w w. k#s5_u.c o*m ‎ 已知等差数列的前3项和为6,前8项和为4.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；w_w w. k#s5_u.c o*m ‎（Ⅱ）设,求数列的前n项和 ‎【测量目标】等差数列的前n项和.‎ ‎【考查方式】（1）根据等差数列的前n项和求通项公式.（2）借助等差数列求和公式，利用裂项相消法求和.‎ ‎【试题解析】（1）设的公差为d,由已知得 ‎ 解得（步骤1）‎ ‎ 故（步骤2）‎ ‎（2）由（2）的解答可得,于是 ‎ （步骤3）‎ ‎ 若将上式两边同乘以q有 （步骤4）‎ ‎ 两式相减得到 ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ 于是,.（步骤5）‎ ‎21.（本小题满分12分）w_w w. k#s5_u.c o*m 已知定点A(－1,0),F(2,0),定直线l：x＝,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.‎ ‎【测量目标】轨迹方程、双曲线的标准方程、向量的垂直、直线与双曲线的位置关系.‎ ‎【考查方式】（1）直接根据坐标系中线段间的关系求轨迹方程.（2）利用分类讨论思想，运用联立方程后根的个数反映直线与双曲线位置关系这一思想，向量与直线的垂直求解.‎ ‎【试题解析】（1）设,则 ‎ ‎ ‎ 化简得（步骤1）‎ ‎（2）当直线BC与x轴不垂直时,设BC的方程为（步骤2）‎ ‎ 与双曲线方程联立消去y得 ‎ ‎ ‎ 由题意知,（步骤3）‎ ‎ 设则 ‎ ‎ ‎ ==（步骤4）‎ 因为 所以直线AB的方程为因此M点的坐标为 同理可得（步骤5）‎ 因此 ‎ =‎ ‎ =0.（步骤6）‎ 当直线BC与x轴垂直时,其方程为则 AB的方程为因此M点的坐标为 同理可得.（步骤7）‎ 因此 综上,即 故以线段MN为直径的圆过点F.（步骤8） ‎ ‎22.（本小题满分14分）w_w w. k#s5_u.c o*m 设（且）,g(x)是f(x)的反函数.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）当时,恒有成立,求t的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当0＜a时,试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与的大小,并说明理由.‎ ‎【测量目标】反函数、对数函数的性质，导数的单调性与导数的关系 ‎【考查方式】给出函数解析式（1）直接借助反函数概念计算.（2）运用分类讨论思想，导数和函数增减性的关系求函数最值，求未知量的范围.（3）借助分类讨论思想推理求解.‎ ‎【试题解析】（1）由题意得,（步骤1）‎ ‎ 故（步骤2）‎ ‎ （2）由得 当a>1时,（步骤3）‎ 又因为所以 令 则（步骤4）‎ 列表如下：‎ x ‎2‎ ‎(2,5)‎ ‎5‎ ‎（5,6）‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎15‎ ‎5‎ 单调增加 极大值32‎ 单调减少 ‎25‎ 所以所以.（步骤5）‎ 当032.‎ 综上,当a>1时,032.（步骤7）‎ ‎(3)设则 当n=1时,当 设时,‎ 则（步骤8）‎ 所以 从而 所以 综上,总有（步骤9）‎