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- 2021-05-13 发布
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平面向量及空间向量高考数学专题训练(四)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题分 6,共 72 分)
1.设 1(a cos,), (b
sin )3, ,且∥, 则锐角为( )
A.
6
B.
4
C.
3
D.
12
5
2.已知点 )0,2(A 、 )0,3(B ,动点 2),( xPBPAyxP 满足 ,则点 P 的轨迹是( )
A.圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
3.已知向量 值是相互垂直,则与且 kbabakba
2),2,0,1(),0,1,1( ( )
A. 1 B.
5
1 C.
5
3 D.
5
7
4.已知 ba
, 是非零向量且满足 的夹角是与则 babababa
,)2(,)2( ( )
A.
6
B.
3
C.
3
2 D.
6
5
5.将函数 y=sinx 的图像上各点按向量 a ( 2,3
)平移,再将所得图像上各点的横坐标
变为原来的 2 倍,则所得图像的解析式可以写成( )
A.y=sin(2x+
3
)+2 B.y=sin(2x-
3
)-2 C.y=(
32
1 x )-2 D.y=sin(
32
1 x )+2
6.若 A,B 两点的坐标是 A(3 cos ,3 sin ,1),B(2 ,cos 2 ,sin 1),| AB |的取值范围是
( )
A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25]
7.从点 A(2,-1,7)沿向量 )12,9,8( a 方向取线段长|AB|=34,则点 B 的坐标为( )
A.(-9,-7,7) B.(-9,-7,7) 或(9,7,-7) C.(18,17,-17) D.(18,17,-17)或(-18,-17,17)
8.平面直角坐标系中,O 为坐标原点, 已知两点 A(3, 1), B(-1, 3),若点 C 满足
OC = OBOA , 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点 C 的轨迹方程为 ( )
A. 01123 yx B. 5)2()1( 22 yx
C. 02 yx D. 052 yx
9.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 m,点 E,F 分别是 BC,AD 的
中点,则 AFAE 的值为 ( )
A. B.
2
1 C.
4
1 D.
4
3
10 . O 为 空 间 中 一 定 点 , 动 点 P 在 A,B,C 三 点 确 定 的 平 面 内 且 满 足
)()( ACABOAOP =0,则点 P 的轨迹一定过△ABC 的 ( )
A.外心 B.内心 C.重心 D. 垂心
11.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为 A1B1 与 BB1 的中点,那么直
线 AM 与 CN 所成的角为( )
A.
2
3arccos B.
10
10arccos C. arccos 5
3 D. arccos 5
2
12. 三 棱 锥 O-ABC 中 , 设 的中点,分别为 BCOA,,,, NMcOCbOBaOA , 点
G∈MN,MG:GN=2,则 分别等于则 zyxOCzOByOAxOG ,,, ( )
A.
3
1 ,
3
1 ,
3
1 B.
3
1 ,
3
1 ,
6
1 C.
3
1 ,
6
1 ,
3
1 D.
6
1 ,
3
1 ,
3
1
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知 ),cos,1,(sin),sin,1,(cos ba
则向量 baba
与 的夹角为______
14.已知空间三点 A(0,2,3), B(-2,1,6), C(1,-1,5),以 ACAB、 为边的平行四边形的面积为
15.已知向量 BABABAm tantan22
3)2sin5,2cos2( ,则的模为 的值为___
16 . 若 对 n 个 向 量 naaa ,,, 21 存 在 n 个 不 全 为 零 的 实 数 ,,,, 21 nkkk 使 得
02211
nn akakak 成立,则称向量 naaa ,,, 21 为“线性相关”.依此规定,能说
明 )2,2(),1,1(),0,1( 321 aaa “ 线 性 相 关 ” 的 实 数 321 ,, kkk 依 次 可 以 取
_____________________(写出一组数值即可,不必考虑所有情况).
三、解答题(本大题共 4 小题,共 58 分)
17.(本题满分 13)已知 A(3,0),B(0,3),C(cos ).sin,
(1)若 2sin,1 求 BCAC 的值;
(2)若 . OC),,0(,13|| 的夹角与求且 OBOCOA
A
P
C
E
18.(本题满分 16 分)如图,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中, ,60ABC
PA=AC= ,2, aPDPBa 点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2 :1.
(1) 证明:PA⊥平面 ABCD;
(2) 求 的值; AEBP,cos
(3) 在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF//平面 AEC?证明你的结论.
答
案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D D B D B C D C D D D
13.
2
14. 37 15.
9
1
16. 由 得,0332211
akakak
02
02
32
221
kk
kkk 可 得
ck
ck
ck
2
4
2
1
3
( 取任一非零常数)cc ,0 ,故可取(-4,2,1)等.
17.解:(1) ),3sin,(cos),sin,3(cos aaBCaaAC 由 1 BCAC ,得
3
2sincos,1)3(sinsincos)3(cos aaaaaa 两边平方,得
.9
52sin,9
42sin1 aa
(2)
2
1cos,13sin)cos3(),sin,cos3( 22 aaaaaOCOA
D
P
B
A
P
C
E
P
B
,2
3sin,3),,0( aaa .2
33OCOB 设OB 与OC 的夹角为, 则
,6,2
3
||||
cos =
OCOB
OCOB .6
的夹角为与OCOB
20.解:(1)因为底面 ABCD 是菱形, 60ABC ,所以 AB=AD=AC=
在△PAB 中,由 PA2+AB2=22=PB2,知 PA⊥AB.同理,PA⊥AD,所以 PA⊥平面 ABCD.
(2)以 A 为坐标原点,直线 AD,AP 分别为 y 轴,z 轴,过 A
点垂直平面 PAD 的直线为 x 轴,建立空间直角坐标系如图.
由题设条件,相关各点的坐标分别为
)3
1,3
2,0(),,0,0(),0,2
1,2
3(),0,0,0( aaEaPaaBA
∴ ),2
1,2
3(),3
1,3
2,0( aaaBPaaAE
∴
5
10
29
5
3
1
3
1
||||
,cos
22
22
aa
aa
AEBP
AEBPAEBP
(3)∵ ),0,0(),0,,0(),0,2
1,2
3( aPaDaaC
∴ ).,0,0(),,2
1,2
3(),0,2
1,2
3( aAPaaaPCaaAC
设点 F 是棱 PC 上的点, 则 其中 ,10),,2
1,2
3( aaaPCPF
),2
1,2
3(),2
1,2
3(BPBF = aaaaaaPF
))1(,)1(2
1,)1(2
3( aaa . 得令 AEACBF 21
D
,
3
1)1(
3
2
2
1)1(2
1
2
3)1(2
3
2
21
1
aa
aaa
aa
解得 .2
3,2
1,2
1
21
即 .2
3
2
1
2
1 AEACBF 时, ∴F 是 PC 的中点时 AEACBF ,,, 共面.
又∵ ,平面AECBF ∴当 F 是棱 PC 的中点时,BF .AEC// 平面