2008-2010三年高考四川卷理科数学试题合集附答案 41页

‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）‎ 数 学（理工农医科）‎ 第Ⅰ卷 说明：2008年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市州40县延考，本卷为非延考卷．‎ 一、选择题：（）‎ ‎1．若集合，，，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ 解析：选B.‎ ‎2．复数（　　）‎ A．4 　B．‎4 C．4 　D．4‎ 解析：选A．‎ ‎3．（　　）‎ A． B． C． 　D．‎ 解析：‎ 原式 ‎，‎ 选D．‎ ‎ 4．直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位后所得的直线为（　　）‎ A． B． C． 　 D．‎ 解析：本题有新意，审题是关键．‎ 旋转则与原直线垂直，故旋转后斜率为．再右移1得．选A．‎ 本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．‎ ‎5．若，，则的取值范围是（　　）‎ A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．‎ 解析：，即，即，即；‎ 又由，得；‎ 综上，，即．选C．本题考到了正弦函数的正负区间．‎ 除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区间．‎ ‎3，4，5题是本卷第一个坡，是中差生需消耗时间的地方．‎ ‎6．从包括甲、乙共10人中选4人去参加公益活动，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的选法有（　　）‎ A．70 　B．‎112 C．140 D．168‎ 解析：审题后针对题目中的至少二字，首选排除法．．选C．本题应注意解题策略．‎ ‎7．已知等比数列中，，则该数列前三项和的取值范围是（　　）‎ A． 　　B． 　C． D．‎ 解析：．由双勾函数的图象知，或，故本题选D．本题主要考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象和性质．以上诸题，基本功扎实的同学耗时不多．‎ ‎8．设、是球的半径上的两点，且，分别过、、作垂直于的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（　　） ‎ A．3：5：6 　　B．3：6：‎8 C．5：7：9 　D．5：8：9‎ 解析：由题知，、是的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之比．在球的轴载面图中易求得：‎ ‎，，故三个圆的半径的平方之比为：，故本题选D．本题着意考查空间想象能力．‎ ‎9．设直线平面，过平面外一点且与、都成角的直线有且只有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎ 解析：所求直线在平面内的射影必与直线平行，这样的直线只有两条，选B．本题考查空间角的概念和空间想象能力．‎ ‎10．设，其中，则函数是偶函数的充分必要条件是（　　）‎ A． 　　　B．　　　C．　　　D．‎ 解析：本题考查理性思维和综合推理能力．函数是偶函数，则，，故排除A，B．‎ 又，，．选D．此为一般化思路．也可走特殊化思路，取，验证．‎ ‎11．定义在上的函数满足：，，则（　　）‎ A． 　B． 　 C． D．‎ 解析：由，知，所以，即是周期函数，‎ 周期为4．所以．选C．题着意考查抽象函数的性质．赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不可或缺的三招．本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型，优生要笑了．‎ ‎12．设抛物线的焦点为，准线与轴相交于点，点在上且，则的面积为（　　）‎ A．4 B．‎8 ‎ C．16 D．32‎ 解析：解几常规题压轴，不怕．边读题边画图．的焦点，准线，．设，由，得，即．化简得：‎ ‎，与联立求解，解得：，．，选B．‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）‎ 数 学（理科）‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：（）‎ ‎13．的展开式中项的系数是 ‎ 答案：．‎ 解析：二项式定理再现，难度高于文科．‎ 项的系数是．这是中档略偏难的常规题．中差生在准确性和快捷性上有缺陷．‎ ‎14．已知直线，圆，则圆上各点到直线的距离的最小值是 ‎ 答案：．‎ 解析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心到直线的距离．故最小值为．‎ ‎15．已知正四棱柱的一条对角线长为，且与底面所成的角的余弦值为，则该正四棱柱的体积是 ．‎ 答案：2．‎ 解析：由题意，，，‎ ‎16．设等差数列的前项和为，，，则的最大值是 .‎ 答案：4．‎ 解析：由题意，，即，，．‎ 这是加了包装的线性规划，有意思．建立平面直角坐标系，画出可行域（图略），画出目标函数即直线，由图知，当直线过可行域内点时截距最大，此时目标函数取最大值 ‎．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．掌握线性规划问题＂画－移－求－答＂四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本．这是本题的命题意图．‎ 因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线．设，由解得，∴，由不等式的性质得： ，即，的最大值是4．‎ 从解题效率来看，不等式路线为佳，尽管命题者的意图为线性规划路线．本题解题策略的选择至关重要．‎ 三、解答题：（）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．求函数的最大值和最小值．‎ 解析：‎ ‎，．‎ 解析：‎ ‎，．‎ 点评：一考三角恒等变换，二考三角函数与二次函数相结合，意在避开前几年固定套路．由此观之，一味追前两年高考试题套路之风有踏空之嫌，立足考点回归教材方为根本．‎ ‎18．设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5，购买乙商品的概率为0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；‎ ‎（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；‎ ‎（Ⅲ）设是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求的分布列及期望．‎ 解析：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了．‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎（Ⅲ）可取0，1，2，3．‎ ‎　　　　　　　　‎ ‎　　 ‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.008‎ ‎0.096‎ ‎0.384‎ ‎0.512‎ ‎．‎ 点评：返朴归真，教材难度，审题无障碍．平和中正之风宜大力提倡．‎ B A C D E F ‎19．如图，面面，四边形与都是直角梯形，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：、、、四点共面；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的大小．‎ 解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题．‎ ‎（Ⅰ）∵面面，‎ ‎　　　∴面．‎ ‎　　　∴以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 不妨设，，，则 ‎　　　，，，，，．‎ ‎　　　∴，，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴、、、四点共面．‎ ‎（Ⅱ）设，则，∴，，．‎ 设平面的法向量为，‎ ‎　　　由，得，‎ ‎　　　设平面的法向量为 由，得，‎ ‎　　　‎ ‎　　　由图知，二面角为锐角，∴其大小为．‎ 点评：证共面就是证平行，求二面角转为求法向量夹角，时间问题是本题的困惑处．心浮气燥会在计算、书写、时间上丢分．因建系容易，提倡用向量法．本时耗时要超过17题与18题用时之和．‎ ‎20．设数列满足：．‎ ‎（Ⅰ）当时，求证：是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求通项公式．‎ 解析：由题意，在中，令，得，．‎ ‎　　　由 ‎　　　得 ‎　　　两式相减得：‎ ‎　　　即　　　…………①‎ ‎（Ⅰ）当时，由①知，‎ ‎　　　于是 ‎ 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列．‎ ‎（Ⅰ）变：当时，求的通项公式．解法如下：‎ 解：当时，由①知，‎ 两边同时除以得 ‎　　　　　　 ∴是等差数列，公差为，首项为 ‎　　　　　　∴‎ ‎∴（∴，∴是等比数列，首项为1，公比为2）‎ ‎（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，，即 当时，由①：‎ ‎　　　两边同时除以得 可设　…………②‎ 展开②得，与比较，‎ 得，∴．‎ ‎∴‎ ‎∴是等比数列，公比为，首项为 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 点评：这是第一道考查＂会不会＂的问题．如若不会，对不起，请先绕道走．对大多数考生而言，此题是一道拦路虎．可能比压轴题还让人头痛．原因是两个小题分别考到了两种重要的递推方法．递推数列中对递推方法的考查，有30年历史了，现在只是陈题翻新而已．不过此题对考生有不公平之嫌．大中城市参加过竞赛培训的优生占便宜了．解题有套方为高啊．‎ ‎21．设椭圆的左、右焦点分别是、，离心率，右准线上的两动点、，且．‎ ‎（Ⅰ）若，求、的值；‎ ‎（Ⅱ）当最小时，求证与共线．‎ 解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧．‎ ‎（Ⅰ）由已知，，．由，，∴．‎ 又，∴，．‎ ‎∴：，，．‎ 延长交于，记右准线交轴于．‎ ‎∵，∴．‎ 由平几知识易证≌‎ ‎∴，‎ 即，．‎ ‎∵，‎ ‎∴，，，．‎ ‎∴，．‎ ‎（Ⅰ）另解：∵，∴，．‎ 又 联立，消去、得：，‎ 整理得：，．解得．但解此方程组要考倒不少人．‎ ‎（Ⅱ）∵，∴．‎ ‎．‎ 当且仅当或时，取等号．此时取最小值．‎ 此时．‎ ‎∴与共线．‎ ‎（Ⅱ）另解：∵，∴，．‎ ‎　　　设，的斜率分别为，．‎ 由，由 ‎．当且仅当即，时取等号．‎ 即当最小时，，‎ 此时．‎ ‎∴与共线．‎ 点评：本题第一问又用到了平面几何．看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊．注意平面几何可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的研究．本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点．‎ ‎22．已知是函数的一个极值点．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）当直线与函数的图像有3个交点，求的取值范围．‎ 解析：似曾相识．通览后三题，找感觉，先熟后生，先易后难，分步得分．本卷后三难中，压轴题最熟最易入手．‎ ‎（Ⅰ）‎ 是函数的一个极值点．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），．‎ ‎　　　‎ 令，得，．‎ 和随的变化情况如下：‎ 增 极大值 减 极小值 增 的增区间是，；减区间是．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎　　　∴，．‎ ‎　　　又时，；时，；‎ ‎　　　可据此画出函数的草图（图略），由图可知，‎ 当直线与函数的图像有3个交点时，的取值范围为．‎ 点评：压轴题是这种难度吗？与前两年相比档次降得太多了．太常规了，难度尚不及20题和21题．天上掉馅饼了吗？此题当为漏掉定义域者戒．‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）‎ 数 学（理工农医科）‎ 第Ⅰ卷 本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 参考公式：‎ 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ‎ ‎ 其中表示球的半径 如果事件相互独立，那么 球的体积公式 ‎ ‎ 其中表示球的半径 ‎ ‎ 一、选择题：‎ 1. 设集合则 Ａ.　Ｂ.　　Ｃ.　Ｄ.‎ ‎２.已知函数连续，则常数的值是 Ａ.２　　 Ｂ.３　　 　Ｃ.４　　 　Ｄ.５ ‎ ‎３.复数的值是 Ａ.－１　 Ｂ.１　 　　　Ｃ.－ Ｄ.‎ ‎4.已知函数，下面结论错误的是 ‎ A.函数的最小正周期为 B.函数在区间上是增函数 C.函数的图像关于直线对称 D.函数是奇函数 ‎5.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则下列结论正确的是 Ａ.　　 Ｂ.平面 ‎ C. 直线∥平面 Ｄ.‎ ‎6.已知为实数，且。则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎7.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则=‎ A. B. C .0 D. 4 ‎ ‎8.如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是 A. B. C. D. ‎ ‎9.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 A.2 B.3 C. D. ‎ ‎10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 ‎ A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 ‎ ‎11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 360 B. 228 C. 216 D. 96 ‎ ‎12.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 ‎ A.0 B. C.1 D. ‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）‎ 数 学（理科）‎ 第Ⅱ卷 考生注意事项：‎ ‎ 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．‎ ‎13.的展开式的常数项是 （用数字作答） ‎ ‎14.若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 ‎ ‎15.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 ‎ ‎16．设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：‎ ①设是平面上的线性变换，则 ‎ ②对，则是平面上的线性变换； ‎ ③若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；‎ ④设是平面上的线性变换，，若共线，则也共线。‎ 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 在中，为锐角，角所对应的边分别为，且 ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若，求的值。‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。‎ ‎（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；‎ ‎（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。‎ ‎19（本小题满分12分）‎ 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；‎ ‎（III）求二面角的大小。‎ ‎20（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方程为。‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数。‎ ‎（I）求函数的定义域，并判断的单调性；‎ ‎（II）若 ‎（III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。‎ ‎22. （本小题满分14分）‎ 设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；‎ ‎（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。‎ 参考答案 一、 选择题：本体考察基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。‎ ‎（1） C （2） B (3) A (4) D (5) D (6) B ‎(7) C (8) B (9) A （10）D (11) B (12) A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分16分。‎ ‎ （13） -20 （14）4 （15） （16）①②③‎ 三、解答题 ‎（17）本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。‎ 解：（Ⅰ）、为锐角，，‎ 又，‎ ‎，，‎ ‎ ‎ ‎ …………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,.‎ ‎ 由正弦定理得 ‎，即，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ……………………………………12分 ‎（18）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。‎ ‎ 解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，‎ ‎ 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，‎ ‎ 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。‎ ‎…………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3‎ ‎ , ‎ ‎ ，，‎ ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 所以， ……………………12分 ‎ ‎（19）本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角 等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）因为平面⊥平面,平面，‎ 平面平面，‎ 所以⊥平面 所以⊥.‎ 因为为等腰直角三角形， ，‎ 所以 又因为，‎ 所以，‎ 即⊥,‎ 所以⊥平面。 ……………………………………4分 ‎ （Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面 ‎ 取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝∥＝PC ‎ 所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN ‎ 因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，‎ ‎ 所以PM∥平面BCE ……………………………………8分 ‎ （Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD 作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD 作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH 因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角 因为FA=FE, ∠AEF=45°,‎ 所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.‎ 设AB=1,则AE=1,AF=.‎ FG=AF·sinFAG=‎ 在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,‎ GH=BG·sinGBH=·=‎ 在Rt△FGH中，tanFHG= = ‎ 故二面角F-BD-A的大小为arctan. ………………………………12分 解法二:‎ ‎(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,‎ 所以AE⊥AB.‎ 又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,‎ 平面ABEF∩平面ABCD=AB,‎ 所以AE⊥平面ABCD.‎ 所以AE⊥AD.‎ 因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.‎ 设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,‎ E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).‎ 因为FA=FE, ∠AEF = 45°,‎ 所以∠AFE= 90°.‎ 从而，.‎ 所以,,.‎ ‎,.‎ 所以EF⊥BE, EF⊥BC.‎ 因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,‎ 所以EF⊥平面BCE.‎ ‎ (Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.‎ ‎ M ( 0,0, ), P ( 1, ,0 ).‎ ‎ 从而=,‎ 于是·=·=0‎ ‎ 所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，‎ ‎ 故PMM∥平面BCE. ………………………………8分 ‎(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为，并设=（x,y,z）.‎ ‎ ， ‎ ‎ 即 ‎ 取y=1，则x=1，z=3。从而。‎ 取平面ABD的一个法向量为。‎ ‎。‎ 故二面角F—BD—A的大小为arccos。……………………………………12分 ‎（20）本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。‎ ‎ 解：（Ⅰ）有条件有，解得。‎ ‎ 。‎ ‎ 所以，所求椭圆的方程为。…………………………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知、。‎ ‎ 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1.‎ ‎ 将x=-1代入椭圆方程得。‎ ‎ 不妨设、，‎ ‎ .‎ ‎ ,与题设矛盾。‎ ‎ 直线l的斜率存在。‎ ‎ 设直线l的斜率为k，则直线的方程为y=k（x+1）。‎ 设、，‎ 联立，消y得。‎ 由根与系数的关系知，从而，‎ 又，，‎ ‎。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎。‎ 化简得 解得 ‎（21）本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。‎ 解：（Ⅰ）由题意知 当 当 当….（4分）‎ ‎（Ⅱ）因为 由函数定义域知>0,因为n是正整数，故0‎ 对一切大于1的奇数n恒成立 只对满足的正奇数n成立，矛盾。‎ 另一方面，当时，对一切的正整数n都有 事实上，对任意的正整数k，有 ‎ ‎ ‎ ‎ 当n为偶数时，设 则 ‎ <‎ 当n为奇数时，设 则 ‎<‎ 对一切的正整数n，都有 综上所述，正实数的最小值为4………………………….14分 ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）‎ 数 学（理科）‎ 第Ⅰ卷 一 选择题：‎ ‎（1）是虚数单位，计算 ‎（A）－1 （B）1 （C） （D）‎ 解:原式故选A ‎（2）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解:由图显然选D ‎（8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则 ‎（A）0 （B） （C） 1 （D）2‎ 解:由已知可得是以为首项,2为公比的等比数列,,,故选B ‎（9）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是 解：连接BM、BN，则，由三角形的面积相等，得，得到，，，‎ ‎，那么M、N两点间的球面距离是 ‎（12）设，则的最小值是 ‎（A）2 （B）4 （C） （D）5‎ 解：原式，（当且仅当）原式（当且仅当）选B ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）‎ 数 学（理科）‎ 第Ⅱ卷 一、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.‎ ‎（13）的展开式中的第四项是 .‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。‎ ‎（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.‎ 解：显然甲、乙、丙三位同学是否中奖独立，所以甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是：‎ ‎（2）‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3]‎ P Eξ=‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 已知正方体的棱长为1，点是棱的中点，点是对角线的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：为异面直线和的公垂线；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥的体积.‎ （1） 证明：‎ 连接AC，MO//AC，‎ ‎,而B、C所在直线过F点，所以存在。‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知数列满足，且对任意都有 ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）设证明：是等差数列；‎ ‎（Ⅲ）设，求数列的前项和.‎ 此题是错题 ‎（22）（本小题满分14分）‎