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- 2021-05-13 发布
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对 2009 年高考数学上海卷理科第 22 题的深入研究
卫福山(上海市松江二中)
2009 年高考数学上海卷理科第 22 题如下:
已知函数 y=f-1(x)是 y=f(x)的反函数。定义:若对给定的实数 a(a≠0),函数 y=f(x+a)与
y=f-1(x+a)互为反函数,则称 y=f(x)满足“a 和性质”。若函数 y=f(ax)与 y=f-1(ax)互为反函数,
则称 y=f(x)满足“a 积性质”。
(1)判断函数 g(x)=x2+1(x>0)是否满足“1 和性质”,并说明理由;
(2)求所有满足“2 和性质”的一次函数;
(3)设函数 y=f(x)(x>0)对任何 a>0 满足“a 积性质”,求 y=f(x)的表达式。
这道题目的得分率很低,特别是第(3)问的得分率低于 0.1,算是一道难度偏大的题。
但从数学研究的角度,笔者对这道题进行了较深入的研究,觉得还是有一定的价值的,对中
学数学教师的教学有一定的启示。
一、对题目的理解
本题算是一道概念学习型问题,是从反函数的概念引发而来的,对高中生而言并不陌生,
但反函数是学生学习中的难点。学生解答本题时暴露出的问题是对题目的理解不深、不透。
1.关于题设的理解
(1)从代数角度,由于 y=f-1(x+a)的反函数为 y=f(x)-a,故函数 y=f(x+a)与 y=f-1(x+a)互
为反函数即满足 f(x+a)=f(x)-a。同理,函数 y=f(ax)与 y=f-1(ax)互为反函数,则 。
(2)从几何角度,不妨假定 a>0,由于函数 y=f(x+a)的图象是由函数 y=f(x)的图象向
左平行移动 a 个单位得到的,函数 y=f-1(x+a)的图象是由函数 y=f-1(x)的图象向左平行移动 a
个单位得到的,所以函数 y=f(x+a)与 y=f-1(x+a)的图象关于直线 y=x+a 对称。同理,函数
y=f(ax)与 y=f-1(ax)的图象关于直线 y=ax 对称。
2.关于问题的理解
试题的第(1)问和第(2)问是让考生研究满足“a 和性质”的特殊函数,这里起点很低,
一个是给定一个具体函数,让考生按照定义去验证,一个是让考生利用待定系数法求出一类
满足“a 和性质”的函数(即一次函数)。第(3)问要求很高,让考生探求满足“a 积性质”的
函数表达式,这里要深刻理解“给定”与“任何”的差异。对给定的实数 a(a≠0),则 a 视为(常)
参数;对任何 a>0,则 a 视为(变)参数,因此第(2)问和第(3)问对参数 a 的要求不
同。
二、对问题的深入思考
关于第(2)问,给出前提“一次函数”,解决起来问题不大。但是反问一下:满足“2 和
性质”的函数是否一定是一次函数呢?或者更一般地,满足“a 和性质”的函数是否一定是一次
函数呢?这里题目中“给定”两字尤为重要。事实上,对给定的实数 a(a≠0),函数 f(x)不一定
是一次函数,如满足“1 和性质”的函数可以是 f(x)=-x+b(b∈R)、f(x)=[-x]等,满足“2 和性质”
的函数可以是 f(x)=-x+b(b∈R)、f(x)= (c∈R)等,即满足“a 和性质”的函数不一
定是一次函数。
如果对任何实数 a,函数 f(x)满足“a 和性质”,结果如何呢?笔者经过研究发现结果是肯
定的,有如下的命题。
命题:设 y=f(x),x∈R 是初等函数,且对任何实数 a(a≠0)有 f(x+a)=f(x)-a,则 f(x)=-x+b
(b 为任何实数)。
1( ) ( )f ax f xa
=
23 22 x x c− +
证法 1:令 a=1 有 f(x+1)-f(x)=-1。
当 x∈N*时,有:
f(2)-f(1)=-1,
f(3)-f(2)=-1,
……
f(n)-f(n-1)=-1,
相加得 f(n)=-n+f(1)+1。
因此,当 x∈N*时,有 f(x)=-x+f(1) +1。
令 a= (n∈N*),则有 ,于是:
相加得 ,即 。
同样, (n∈N* ,m∈N*)。
于是对任何正有理数 x,f(x)=-x+f(1) +1。
用-x 代替 x 有 f(-x+a)=f(-x)-a,同样得对任何负有理数 x,f(x)=-x+f(1) +1。
于是对任何有理数 x,有 f(x)=-x+f(1) +1。
对任何 x∈R,利用实数的稠密性,存在一串有理数{xn},使得
利用初等函数的连续性,有
f(x)= 。
又由已知条件 f(1)的值无法确定,是(常)参数,令 f(1)+1=b(b∈R),得 f(x) =-x+b。
证法 2:令 x=1 有 f(1+a)=f(1)-a。
由于 a 为任何实数,令 1+a=x,则 x∈R,a=x-1,
于是有 f(x)=f(1)-(x-1)=-x+f(1)+1。
令 f(1)+1=b(b∈R),得 f(x)=-x+b。
证法 3:由于方程 f(x+a)=f(x)-a 对任何 a∈R,x∈R 成立,
不妨先将 x 看作参数,a 看成是变量,
于是 f(x+a)=-(x+a)+f(x)+x,且此时 f(x)+x 看成是参数。
记 f(x)+x=b(b∈R),即 f(x+a)=-(x+a)+b,
再用 x 代替 x+a 有 f(x)=-x+b(b∈R)。
【评注】对任何实数 a,则视 a 为变参数,这就是证法 1 中可以令 a=1,a= ,以及证法 2
中令 1+a=x,x∈R 的原因。证法 3 就是辨证看待变元 a、x,使解题简单。
关于第(3)问,有了第(2)问的深入理解就很简单了。简解如下.
1
n
1 1( )f x f xn n
+ − =−
1 1 1 1( ) ( )
2 1 2 1( ) ( )
1 1 2 1 1( ) ( )
f fn n n n
f fn n n n
n nf fn n n n n
+ − = −
+ − = −
− −+ − + = −
,
,
… …
,
1 1(1) ( ) nf f n n
−− = − 1 1( ) (1) 1f fn n
= − + +
( ) (1) 1m mf fn n
= − + +
lim ,nn
x x→∞
=
(lim ) lim ( ) lim( (1) 1) (1) 1n n nn n n
f x f x x f x f→∞ →∞ →∞
= = − + + = − + +
1
2
解:由于函数 y=f(x)(x>0)对任何 a>0 满足“a 积性质”,即 ,视 x 为参
数,a 为变量,将方程改写成 ,这里 a>0, x>0,显然 ,否则与 f(x)
存 在 反 函 数 矛 盾 , 由 于 x 为 参 数 , 不 妨 令 xf(x)=k 。 用 x 代 替 ax , 有
。
三、对试题编制的想法
笔者认为这样一道高考试题的想法很好,将反函数的概念与函数图象的平移、伸缩变换
结合起来,又涉及到最基本又最重要的加法、乘法运算,而进一步的研究又发现本题涉及含
参数的问题中参数与变量的辩证看待。学生在学习反函数时,常常不能正确区分记号“f”与
“f-1”,事实上,若 f(x)存在反函数,则 f(a)=ba=f-1(b)。y=f(x+a)的反函数是 y=f-1(x)-a,y=f(ax)
的反函数是 ,从中我们或许能感受反函数的“反”。从函数 f(x)与 f-1(x)互为反函
数出发编制与 f(x)及 f-1(x)均有关的试题,学生在平时的解题中也会遇到,如求满足 f(x)= f-1(x)
(即自反函数)的函数表达式,这样的函数很多,比如 y=x, , ……
结合自己对问题的深入思考,笔者有以下的一些想法。
(1)对给定的实数 a,满足“a 和性质”的函数不一定是一次函数,如前面的反例,但如
果结合高等数学有关连续的知识后,若要求函数是连续函数时结果如何呢?即问题 1.
问题 1:若函数 f(x), x∈R 是连续函数,且对给定的实数 a(a≠0),有 f(x+a)=f(x)-a,则 f(x)
=-x+b(b 为任何实数)是否成立?
对满足“a 和性质”有完全类似的想法,即问题 2.
问题 2:若函数 f(x), x>0 是连续函数,且对给定的实数 a(a>0),有 ,
则 是否成立?
1、 (2)受到本题理解上的启发,我们也可以研究对给定的实数 a(a≠0),函数 y=
f(x+a)与 y=f-1(x-a)互为反函数及函数 y= f(ax)与 互为反函数的函数的
相关性质,在此不一一写出,有兴趣的读者可以去尝试。对格式的要求
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测该论文的章节信息,如果有自动生成的目录信息,那么系统会
将论文按章节分段检测,否则会自动按每一万字左右分段检测。
格式对检测结果可能会造成影响,需要将最终交稿格式提交检测,
将影响降到最小,此影响为几十字的小段可能检测不出。都不会
1( ) ( )f ax f xa
=
( )( ) xf xf ax ax
= ( ) 0f x ≡
( ) ( 0, 0)kf x x kx
= > ≠
11 ( )y f xa
−=
1y x
= 1
1
xy x
+= −
1( ) ( )f ax f xa
=
( ) ( 0, 0)kf x x kx
= > ≠
1 xy f a
− =
影响通过。系统的算法比较复杂,每次修改论文后再测可能会有
第一次没测出的小段抄袭(经 2 年实践经验证明,该小段不会超
过 200 字,并且二次修
改后论文一般会大大降低抄袭率)
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