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  • 2021-05-13 发布

对高考数学上海卷理科第22题的深入研究

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对 2009 年高考数学上海卷理科第 22 题的深入研究 卫福山(上海市松江二中) 2009 年高考数学上海卷理科第 22 题如下: 已知函数 y=f-1(x)是 y=f(x)的反函数。定义:若对给定的实数 a(a≠0),函数 y=f(x+a)与 y=f-1(x+a)互为反函数,则称 y=f(x)满足“a 和性质”。若函数 y=f(ax)与 y=f-1(ax)互为反函数, 则称 y=f(x)满足“a 积性质”。 (1)判断函数 g(x)=x2+1(x>0)是否满足“1 和性质”,并说明理由; (2)求所有满足“2 和性质”的一次函数; (3)设函数 y=f(x)(x>0)对任何 a>0 满足“a 积性质”,求 y=f(x)的表达式。 这道题目的得分率很低,特别是第(3)问的得分率低于 0.1,算是一道难度偏大的题。 但从数学研究的角度,笔者对这道题进行了较深入的研究,觉得还是有一定的价值的,对中 学数学教师的教学有一定的启示。 一、对题目的理解 本题算是一道概念学习型问题,是从反函数的概念引发而来的,对高中生而言并不陌生, 但反函数是学生学习中的难点。学生解答本题时暴露出的问题是对题目的理解不深、不透。 1.关于题设的理解 (1)从代数角度,由于 y=f-1(x+a)的反函数为 y=f(x)-a,故函数 y=f(x+a)与 y=f-1(x+a)互 为反函数即满足 f(x+a)=f(x)-a。同理,函数 y=f(ax)与 y=f-1(ax)互为反函数,则 。 (2)从几何角度,不妨假定 a>0,由于函数 y=f(x+a)的图象是由函数 y=f(x)的图象向 左平行移动 a 个单位得到的,函数 y=f-1(x+a)的图象是由函数 y=f-1(x)的图象向左平行移动 a 个单位得到的,所以函数 y=f(x+a)与 y=f-1(x+a)的图象关于直线 y=x+a 对称。同理,函数 y=f(ax)与 y=f-1(ax)的图象关于直线 y=ax 对称。 2.关于问题的理解 试题的第(1)问和第(2)问是让考生研究满足“a 和性质”的特殊函数,这里起点很低, 一个是给定一个具体函数,让考生按照定义去验证,一个是让考生利用待定系数法求出一类 满足“a 和性质”的函数(即一次函数)。第(3)问要求很高,让考生探求满足“a 积性质”的 函数表达式,这里要深刻理解“给定”与“任何”的差异。对给定的实数 a(a≠0),则 a 视为(常) 参数;对任何 a>0,则 a 视为(变)参数,因此第(2)问和第(3)问对参数 a 的要求不 同。 二、对问题的深入思考 关于第(2)问,给出前提“一次函数”,解决起来问题不大。但是反问一下:满足“2 和 性质”的函数是否一定是一次函数呢?或者更一般地,满足“a 和性质”的函数是否一定是一次 函数呢?这里题目中“给定”两字尤为重要。事实上,对给定的实数 a(a≠0),函数 f(x)不一定 是一次函数,如满足“1 和性质”的函数可以是 f(x)=-x+b(b∈R)、f(x)=[-x]等,满足“2 和性质” 的函数可以是 f(x)=-x+b(b∈R)、f(x)= (c∈R)等,即满足“a 和性质”的函数不一 定是一次函数。 如果对任何实数 a,函数 f(x)满足“a 和性质”,结果如何呢?笔者经过研究发现结果是肯 定的,有如下的命题。 命题:设 y=f(x),x∈R 是初等函数,且对任何实数 a(a≠0)有 f(x+a)=f(x)-a,则 f(x)=-x+b (b 为任何实数)。 1( ) ( )f ax f xa = 23 22 x x c− + 证法 1:令 a=1 有 f(x+1)-f(x)=-1。 当 x∈N*时,有: f(2)-f(1)=-1, f(3)-f(2)=-1, …… f(n)-f(n-1)=-1, 相加得 f(n)=-n+f(1)+1。 因此,当 x∈N*时,有 f(x)=-x+f(1) +1。 令 a= (n∈N*),则有 ,于是: 相加得 ,即 。 同样, (n∈N* ,m∈N*)。 于是对任何正有理数 x,f(x)=-x+f(1) +1。 用-x 代替 x 有 f(-x+a)=f(-x)-a,同样得对任何负有理数 x,f(x)=-x+f(1) +1。 于是对任何有理数 x,有 f(x)=-x+f(1) +1。 对任何 x∈R,利用实数的稠密性,存在一串有理数{xn},使得 利用初等函数的连续性,有 f(x)= 。 又由已知条件 f(1)的值无法确定,是(常)参数,令 f(1)+1=b(b∈R),得 f(x) =-x+b。 证法 2:令 x=1 有 f(1+a)=f(1)-a。 由于 a 为任何实数,令 1+a=x,则 x∈R,a=x-1, 于是有 f(x)=f(1)-(x-1)=-x+f(1)+1。 令 f(1)+1=b(b∈R),得 f(x)=-x+b。 证法 3:由于方程 f(x+a)=f(x)-a 对任何 a∈R,x∈R 成立, 不妨先将 x 看作参数,a 看成是变量, 于是 f(x+a)=-(x+a)+f(x)+x,且此时 f(x)+x 看成是参数。 记 f(x)+x=b(b∈R),即 f(x+a)=-(x+a)+b, 再用 x 代替 x+a 有 f(x)=-x+b(b∈R)。 【评注】对任何实数 a,则视 a 为变参数,这就是证法 1 中可以令 a=1,a= ,以及证法 2 中令 1+a=x,x∈R 的原因。证法 3 就是辨证看待变元 a、x,使解题简单。 关于第(3)问,有了第(2)问的深入理解就很简单了。简解如下. 1 n 1 1( )f x f xn n  + − =−   1 1 1 1( ) ( ) 2 1 2 1( ) ( ) 1 1 2 1 1( ) ( ) f fn n n n f fn n n n n nf fn n n n n + − = − + − = − − −+ − + = − , , … … , 1 1(1) ( ) nf f n n −− = − 1 1( ) (1) 1f fn n = − + + ( ) (1) 1m mf fn n = − + + lim ,nn x x→∞ = (lim ) lim ( ) lim( (1) 1) (1) 1n n nn n n f x f x x f x f→∞ →∞ →∞ = = − + + = − + + 1 2 解:由于函数 y=f(x)(x>0)对任何 a>0 满足“a 积性质”,即 ,视 x 为参 数,a 为变量,将方程改写成 ,这里 a>0, x>0,显然 ,否则与 f(x) 存 在 反 函 数 矛 盾 , 由 于 x 为 参 数 , 不 妨 令 xf(x)=k 。 用 x 代 替 ax , 有 。 三、对试题编制的想法 笔者认为这样一道高考试题的想法很好,将反函数的概念与函数图象的平移、伸缩变换 结合起来,又涉及到最基本又最重要的加法、乘法运算,而进一步的研究又发现本题涉及含 参数的问题中参数与变量的辩证看待。学生在学习反函数时,常常不能正确区分记号“f”与 “f-1”,事实上,若 f(x)存在反函数,则 f(a)=ba=f-1(b)。y=f(x+a)的反函数是 y=f-1(x)-a,y=f(ax) 的反函数是 ,从中我们或许能感受反函数的“反”。从函数 f(x)与 f-1(x)互为反函 数出发编制与 f(x)及 f-1(x)均有关的试题,学生在平时的解题中也会遇到,如求满足 f(x)= f-1(x) (即自反函数)的函数表达式,这样的函数很多,比如 y=x, , …… 结合自己对问题的深入思考,笔者有以下的一些想法。 (1)对给定的实数 a,满足“a 和性质”的函数不一定是一次函数,如前面的反例,但如 果结合高等数学有关连续的知识后,若要求函数是连续函数时结果如何呢?即问题 1. 问题 1:若函数 f(x), x∈R 是连续函数,且对给定的实数 a(a≠0),有 f(x+a)=f(x)-a,则 f(x) =-x+b(b 为任何实数)是否成立? 对满足“a 和性质”有完全类似的想法,即问题 2. 问题 2:若函数 f(x), x>0 是连续函数,且对给定的实数 a(a>0),有 , 则 是否成立? 1、 (2)受到本题理解上的启发,我们也可以研究对给定的实数 a(a≠0),函数 y= f(x+a)与 y=f-1(x-a)互为反函数及函数 y= f(ax)与 互为反函数的函数的 相关性质,在此不一一写出,有兴趣的读者可以去尝试。对格式的要求 知网学位论文检测为整篇上传,上传论文后,系统会自动检 测该论文的章节信息,如果有自动生成的目录信息,那么系统会 将论文按章节分段检测,否则会自动按每一万字左右分段检测。 格式对检测结果可能会造成影响,需要将最终交稿格式提交检测, 将影响降到最小,此影响为几十字的小段可能检测不出。都不会 1( ) ( )f ax f xa = ( )( ) xf xf ax ax = ( ) 0f x ≡ ( ) ( 0, 0)kf x x kx = > ≠ 11 ( )y f xa −= 1y x = 1 1 xy x += − 1( ) ( )f ax f xa = ( ) ( 0, 0)kf x x kx = > ≠ 1 xy f a −  =    影响通过。系统的算法比较复杂,每次修改论文后再测可能会有 第一次没测出的小段抄袭(经 2 年实践经验证明,该小段不会超 过 200 字,并且二次修 改后论文一般会大大降低抄袭率)