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- 2021-05-13 发布
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高考压轴题:导数题型及解题方法
(自己总结供参考)
一.切线问题
题型1 求曲线在处的切线方程。
方法:为在处的切线的斜率。
题型2 过点的直线与曲线的相切问题。
方法:设曲线的切点,由求出,进而解决相关问题。
注意:曲线在某点处的切线若有则只有一,曲线过某点的切线往往不止一条。
例 已知函数f(x)=x3﹣3x.
(1)求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程;(答案:)
(2)若过点A可作曲线的三条切线,求实数的取值范围、
(提示:设曲线上的切点();建立的等式关系。将问题转化为关于的方程有三个不同实数根问题。(答案:的范围是)
题型3 求两个曲线、的公切线。
方法:设曲线、的切点分别为()。();
建立的等式关系,,;求出,进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点,用导数求斜率,建立等式关系。
例 求曲线与曲线的公切线方程。(答案)
二.单调性问题
题型1 求函数的单调区间。
求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有:(1)在求极值点的过程中,未知数的系数与0的关系不定而引起的分类;(2)在求极值点的过程中,有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时,△与0的关系不定);(3) 在求极值点的过程中,极值点的大小关系不定而引起的分类;(4) 在求极值点的过程中,极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏。
例 已知函数
(1)求函数的单调区间。(利用极值点的大小关系分类)
(2)若,求函数的单调区间。(利用极值点与区间的关系分类)
题型2 已知函数在某区间是单调,求参数的范围问题。
方法1:研究导函数讨论。
方法2:转化为在给定区间上恒成立问题,
方法3:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增区间或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集。
注意:“函数在上是减函数”与“函数的单调减区间是”的区别是前者是后者的子集。
例 已知函数+在上是单调函数,求实数的取值范围.
(答案)
题型3 已知函数在某区间的不单调,求参数的范围问题。
方法1:正难则反,研究在某区间的不单调
方法2:研究导函数是零点问题,再检验。
方法3:直接研究不单调,分情况讨论。
例 设函数,在区间内不单调,求实数的取值范围。
(答案:))
三.极值、最值问题。
题型1 求函数极值、最值。
基本思路:定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值 → 最值。
例 已知函数,求在的极小值。
(利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类)
题型2 已知函数极值,求系数值或范围。
方法:1.利用导函数零点问题转化为方程解问题,求出参数,再检验。
方法2.转化为函数单调性问题。
例 函数。0是函数的极值点。求实数值。(答案:1)
题型3 已知最值,求系数值或范围。
方法:1.直接求最值;2.转化恒成立,求出范围,再检验。
例 设,函数.若函数,在处取得最大值,求的取值范围. (答案:)
四.不等式恒成立(或存在性)问题。
一些方法
1.若函数,>恒成立,,则
2.对任意,恒成立。则。
3.对,成立。则。
4.对,恒成立。转化恒成立
4. 对,成立。则。
5. 对,成立。则
6. 对,成立。则构造函数。 转化证明在是增函数。
题型1 已知不等式恒成立,求系数范围。
方法:(1)分离法:求最值时,可能用罗比达法则;研究单调性时,或多次求导。
(2)讨论法: 有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法:在求极值点的过程中,未知数的系数与0的关系不定而引起的分类;有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时,△与0的关系不定);极值点的大小关系不定而而引起的分类;极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏。
(3)数形结合:
(4)变更主元
解题思路 1.代特值缩小范围。2. 化简不等式。3.选方法(用讨论法,或构造新函数)。
方法:分离法。
求最值时,可能用罗比达法则;研究单调性时,或多次求导。
例 函数。在恒成立,求实数取值范围。(方法:分离法,多次求导答案:)
方法:讨论法。
有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法:在求极值点的过程中,未知数的系数与0的关系不定而引起的分类;有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时,△与0的关系不定);极值点的大小关系不定而而引起的分类;极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏。
例 设函数f(x)=.若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.
(答案:的取值范围为)
方法:数形结合。
数形结合解不等式恒成立问题的步骤:(1)不等式等价变形(2)把不等式两端的式子分别看成两个函数(其中一个函数的图像为直线,)。(3)利用导数研究函数的单调性,极值、最值,图像的凹凸性。(4)画出两个函数图像。(5)根据不等式关系和图形的位置关系,列式求解。
例 (2012新课标全国卷理科21题第二问)
已知函数满足;若,求的最大值。
0
y
x
C:
1
M
L:
解:,令得:得:,
(变形)又,
(设函数)设, 。
(画函数图像)的图像是过(0,1)
的曲线C,曲线C随着的增大值增大且图像下凹。
的图像是过点(0,b)且斜率为
的直线L,如图一。
(列式求解)由,则曲线C必在直线L的上方或曲线C与直线L相切。
设曲线C与直线L的切点为M,曲线C在点M的切线方程为L:,切线的斜率为,在轴上的截距为。又直线L的斜率为,在轴上的截距为,则有,,
所以×=,设,,,当,>0当,<0,故有最大值,所以,的最大值为。
方法:变更主元
例:设函数在区间D上的导数为,在区间D上的导数为,若在区间D上,恒成立,则称函数在区间D上为“凸函数”,已知实数m是常数,,若对满足的任何一个实数,函数在区间上都为“凸函数”,求的最大值. (答案:)
五.函数零点问题
题型1:判断函数零点的个数。
方法:方程法;函数图象法;转化法;存在性定理
例.设.若函数有零点,求的取值范围.
(提示:当时,,,所以成立,答案)
题型2:已知函数零点,求系数。
方法:图象法(研究函数图象与x轴交点的个数);方程法;转化法(由函数转化方程,再转化函数,研究函数的单调性。)
例.函数在(1,3)有极值,求实数的取值范围。(答案)
六.不等式证明问题
方法1:构造函数,研究单调性,最值,得出不等关系,有的涉及不等式放缩。
方法2:讨论法。
方法2.研究两个函数的最值。如证,需证的最小值大于的最大值即可。
方法:讨论法
例:已知函数,曲线在点处的切线方程为。证明:当,且时,。
方法:构造函数
例:已知函数与函数为常数,(1)若图象上一点处的切线方程为:,设是函数的图象上两点,,证明:
方法:构造函数,不等式放缩
例.已知函数
(I);若m=0,A(a,f(a))、B(b,f(b))是函数f(x)图象上不同的两点.且a>b>0, 为f(x)的导函数,求证:
(II)求证 :
方法:求同项。
方法:数学归纳法。
七.导数在实际中的应用