南京市高考考前综合题终稿1 8页

南京市2016届高考考前综合题 一、填空题 ‎1．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确的个数是 ．‎ ‎①若α⊥β，l⊥β，则l不一定平行α； ‎ ‎②若α⊥β，γ⊥β，则γ∥α；‎ ‎③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α；‎ ‎④若l与α，β所成角相等，则α∥β．‎ ‎2．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S1＝6，S2＋S3＝60,则S4的值为 ．‎ ‎3．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}满足an＋2－an＝d(d为常数，且d≠0，nN*)，a1＝1，a2＝2，且a‎1a2，a‎2a3，a‎3a4成等差数列，则S20等于 .‎ ‎4．已知函数f (x)＝2 |x|＋cosx－π，则不等式(x－2)f (x)＞0的解集是 ________ .‎ ‎5．已知圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)及圆上的点A(0，－r)，过点A的直线l交圆于另一点B，交x轴于点C，若OC＝BC，则直线l的斜率为_______．‎ ‎6．已知斜率为的直线l过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F，交椭圆于A，B两点．若原点O关于直线l的对称点在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为_________．‎ A B C P Q ‎7．如图，边长为1的正三角形ABC中，P是线段BC上的动点，Q是AB延长线上的动点，且满足||＝2||，则·的最小值为_________．‎ A B C D ‎8．如图，凸四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，AD＝CD＝4．设四边形ABCD面积为S，则S的最大值为________．‎ ‎9．已知函数f (x)＝若函数y＝f(f (x))－k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是______． ‎ ‎10．已知a，b，c为正数，且a＋2b≤‎5c，＋≤，则的最小值为____________．‎ ‎11．已知f (x)＝(x＋1) |x|－3x．若对于任意x∈R，总有f (x)≤f (x＋a)恒成立，则常数a的最小值是______．‎ 二、解答题 ‎12．三角形ABC中，A＝45○，BC＝2．‎ ‎（1）若cosC＝，求三角形ABC的面积S；‎ ‎（2）求·的最大值．‎ ‎13．三角形ABC中，三内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosB＝．‎ ‎（1）若c＝‎2a，求sinA的值；‎ ‎（2）若C＝45○＋B，求sinA的值．‎ ‎14．如图，矩形ABCD所在的平面与平面ABF互相垂直. 在△ABF中，O为AB的中点，AF＝8，BF＝6，OF＝5. ‎ ‎（1）求证：AF⊥平面BCF；‎ ‎（2）设FC的中点为M，求证：OM∥平面ADF. ‎ ‎15．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的菱形，∠BCD＝60°，点E是BC边的中点，AC，DE交于点O，PO＝2，且PO⊥平面ABCD.‎ ‎（1）求证：PD⊥BC；‎ Ａ Ｂ Ｅ Ｃ Ｄ Ｐ Ｏ ‎（2）在线段AP上找一点F，使得BF∥平面PDE，并求此时四面体PDEF的体积.‎ ‎16．如图，有一位于A处的观测站，某时刻发现其北偏东45°且与A相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶. 20分钟后又测得该船位于观测站A北偏东45°＋θ（其中tanθ＝，0°＜θ＜45°），且与观测站A相距5海里的C处.‎ （1） 求该船的行驶速度v（海里/小时）；‎ （2） 在离观测站A的正南方‎15海里的E处有一半径为‎3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过10分钟. 如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由.‎ ‎17．某工厂制造一批无盖圆柱形容器，已知每个容器的容积都是π立方米，底面半径都是r米.如果制造底面的材料费用为a元/平方米，制造侧面的材料费用为b元/平方米，其中＞1，设计时材料的厚度忽略不计.‎ ‎（1）试将制造每个容器的成本y（单位：元）表示成底面半径r（单位：米）的函数；‎ ‎（2）若要求底面半径r满足1≤r≤3（单位：米），则如何设计容器的尺寸，使其成本最低？‎ ‎18．已知椭圆＋＝1，左顶点为A，右准线与x轴的交点为B，点P为椭圆右准线上且在第一象限内的点，直线AP交椭圆于点Q，连接BQ．‎ ‎（1）当＝2时，求证：直线BQ与椭圆只有一个公共点；‎ ‎（2）过点P与直线BQ垂直的直线l在y轴上的截距为t，当t最大时，求直线AP的方程．‎ x y O A B Q P ‎19．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)上顶点A(0，2)，右焦点F(1，0)，椭圆上任一点到点F的距离与到定直线l：x＝m的距离之比为常数k．‎ ‎（1）求常数m，k的值；‎ ‎（2）过点F的直线交椭圆于点S，T两点，P为直线l上一动点．‎ ‎①若PF⊥ST，求证：直线OP平分线段ST；‎ ‎②设直线PS，PF，PT的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1，k2，k3成等差数列．‎ x O y P F T A l S ‎20．已知函数f (x)＝2x3－3(k＋1)x2＋6kx＋t，其中k，t为实数，记区间[－2，2]为I．‎ ‎ （1）若函数f (x)的图像与x轴相切于点(2，0)，求k，t的值；‎ ‎ （2）已知k≥1，如果存在x0∈(－2，2)，使得f (x0)为f (x)在I上的最大值，求k的取值范围；‎ ‎ （3）已知－＜k＜－3，若对于任意x∈I，都有f (x)≥6(x－2)ex，求t的最小值．（e2≈7.39）‎ ‎21．已知函数f (x)＝x2＋ax(a∈R)，g (x)＝lnx．‎ ‎ （1）求证：g (x)＜；‎ ‎ （2）设h(x)＝f (x)＋bg (x)(b∈R)．‎ ‎ ①若a2＋b＝0，且当x＞0时h(x)＞0恒成立，求a的取值范围；‎ ②若h(x)在(0，＋∞)上存在零点，且a＋b≥－2，求b的取值范围．‎ ‎22．定义：从数列{an}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称为数列{an}的一个子数列.设数列{an}是一个公差不为零的等差数列；‎ ‎（1）已知a4＝6，自然数k1，k2，…，kt，…满足4＜k1＜k2＜…＜kt＜…，‎ ‎ ①若a2＝2，且a2，a4，ak1，ak2，…，akt，…是等比数列，求k2的值；‎ ‎ ②若a2＝4，求证：数列a2，a4，ak1，ak2，…，akt，…不是等比数列.‎ ‎（2）已知存在自然数k1，k2，…，kt，…，其中k1＜k2＜…＜kt＜…．若ak1，ak2，ak3，…，akt，…是{an}的一个等比子数列，若＝m(m为正整数)，求kt的表达式.(答案用k1，k2，m，t表示).‎ ‎23．等差数列{an}公差大于零，且a2＋a3＝，a22＋a32＝，记{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，公比为q，记{bn}的前n项和为Tn.‎ ‎（1）写出Si（i＝1，2，3，4，5，6）构成的集合A.‎ ‎（2）若q为正整数，问是否存在正整数k，使得Tk，T3k同时为（1）中集合A的元素？若存在，求出所有符合条件的{bn}的通项公式，若不存在，请说明理由.‎ ‎（3）若将Sn中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}，求{cn}的一个通项公式.‎ 附加题 ‎1．如图，四棱锥S－ABCD的底面是平行四边形，AD＝BD＝2，AB＝2，SD⊥平面ABCD.SD＝2，点E是SD上的点，且 ＝λ（0≤λ≤1）.‎ ‎（1）求证：对任意的0≤λ≤1，都有·≥·；‎ ‎（2）若二面角C－AE－D的大小为60°，求λ的值．‎ ‎【解答】（1）因为AD＝BD＝2，AB＝2，所以AD⊥DB.‎ 故以D为原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，DS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系o－xyz，‎ 则D（0,0,0），A（2,0,0），B（0,2,0），C（－2,2,0），S（0,0,2），E（0,0,2λ）.‎ 所以＝（－2,2,－2），＝（2,0,－2λ），＝（－4,2, 0），＝（0,－2,2λ），‎ 则有·－·＝－4＋4λ－(－4＋0)＝4λ≥0，即·≥·．‎ （2） 设平面ACE的一个法向量为n＝（x,y,z），所以·n＝0，即2x－2λz＝0.‎ 同理·n＝0，即－4x＋2y＝0．‎ 取z＝1，则x＝λ，y＝2λ，所以平面ACE的一个法向量为n＝（λ,2λ,1）．‎ 显然平面ADE的一个法向量为m＝（0,1,0），‎ 由二面角C－AE－D的大小为60°知｜cos＜n, m＞|＝，解得λ＝．‎ ‎【说明】考查空间向量的基本运算以及在立体几何中的应用，本题主要是用空间向量来研究二面角的大小．特别注意交待空间直角坐标系的建立过程和法向量的求解过程.‎ ‎2．已知2件次品和a件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出a件正品时检测结束，已知前两次检测都没有检测出次品的概率为．‎ ‎ （1）求实数a的值；‎ ‎ （2）若每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值．‎ ‎【解答】(1)记“前两次检测都没有检测出次品”为事件A，‎ P(A)＝＝得a＝3或－(舍)．‎ ‎（2）X的可能取值为200，300，400．‎ P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝，P(X＝400)＝=．‎ 所以X的分布列为 X ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ P E(X)＝200×＋300×＋400×＝350．‎ ‎【说明】本题要注意“检测后不放回”与“检测后放回”之间的区别，正确求出相应的排列数组合数是学好分布列的基础和前提．‎ ‎3．已知数列T： a1，a2，…，an (n∈N*，n≥4)中的任意一项均在集合{－1，0，1}中，且对"i∈N*，1≤i≤n－1，有|ai＋1－ai |＝1．‎ ‎（1）当n＝4时，求数列T的个数；‎ ‎（2）若a1＝0，且a1＋a2＋…＋an≥0，求数列T的个数．‎ ‎【解答】（1）当n＝4时，符合条件的数列为：‎ ‎0，1 ，0，－1； 0，1，0，1； 0，－1，0，－1；0，－1，0，1；‎ ‎1，0，－1，0；1，0，1，0；－1，0，1，0；－1，0，－1，0．‎ 共8个． ‎ ‎（2）①当n＝4k(k∈N*)时，‎ 由a1＝0，得a3＝a5＝…＝a4k－1＝0，‎ 所以a2，a4，…，a4k中的每一个任取±1．‎ 又a1＋a2＋…＋an≥0，‎ 所以a2，a4，…，a4k中1的个数不小于－1的个数．‎ 所以数列T的个数为：‎ C＋C＋…＋C＝( C＋C＋…＋C＋C＋C＋…＋C)＋C＝(22k＋C)．‎ ‎②当n＝4k＋1(k∈N*)时，‎ 则a1＝a3＝a5＝…＝a4k＋1＝0，同①，可知数列T的个数为 (22k＋C)．‎ ‎③当n＝4k＋2(k∈N*)时，则a1＝a3＝a5＝…＝a4k＋1＝0，‎ 则数列T的个数为 C＋C＋…＋C＝22k．‎ ‎④当n＝4k＋3(k∈N*)时，则a1＝a3＝a5＝…＝a4k＋3＝0，‎ 同③，可知数列T的个数为 22k． ‎ 综上，当n＝4k或n＝4k＋1，k∈N*时，数列T的个数为(22k＋C)．‎ 当n＝4k＋2或n＝4k＋3，k∈N*时，数列T的个数为 22k．‎ ‎【说明】本题考查组合计数．要能从已知条件中发现数列T所满足的特性，‎ 再利用相关的特性求出数列的个数．‎