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  • 2021-05-13 发布

2015高考数学一轮方法测评练必考解答题——模板成形练3

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必考解答题——模板成形练(三)‎ 直线与圆及圆锥曲线 ‎(建议用时:60分钟)‎ ‎1.已知圆C的方程为x2+(y-4)2=4,点O是坐标原点.直线l:y=kx与圆C交于M、N两点.‎ ‎(1)求k的取值范围:‎ ‎(2)设Q(m,n)是线段MN上的点,且=+.请将n表示为m的函数.‎ 解 (1)将y=kx代入x2+(y-4)2=4,得(1+k2)x2-8kx+12=0(*),由Δ=‎ ‎(-8k)2-4(1+k2)×12>0得k2>3.所以k的取值范围是 ‎(-∞,-)∪(,+∞).‎ ‎(2)因为M、N在直线l上,可设点M、N的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则|OM|2=(1+k2)x,|ON|2=(1+k2)x,又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2,‎ 由=+得,=+,‎ 所以=+= 由(*)知x1+x2=,x1x2=,所以m2=,‎ 因为点Q在直线l上,所以k=,代入m2=可得5n2-‎3m2‎=36,‎ 由m2=及k2>3得0<m2<3,即m∈(-,0)∪(0,).‎ 依题意,点Q在圆C内,则n>0,‎ 所以n==,‎ 综上,n与m的函数关系为n=(m∈(-,0)∪(0,).‎ ‎2.已知圆C:(x+)2+y2=16,点A(,0),Q是圆上一动点,AQ 的垂直平分线交CQ于点M,设点M的轨迹为E.‎ ‎(1)求轨迹E的方程;‎ ‎(2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A,B,△AOB(O是坐标原点)的面积S=,求直线AB的方程.‎ 解 (1)由题意|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4>2,所以轨迹E是以A,C为焦点,长轴长为4的椭圆,‎ 即轨迹E的方程为+y2=1.‎ ‎(2)记A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由题意,直线AB的斜率不可能为0,而直线x=1也不满足条件,‎ 故可设AB的方程为x=my+1,‎ 由消x得(4+m2)y2+2my-3=0,‎ 所以y1=,y2=.‎ S=|OP||y1-y2|=.‎ 由S=,解得m2=1,即m=±1.‎ 故直线AB的方程为x=±y+1,‎ 即x+y-1=0或x-y-1=0为所求.‎ ‎3.已知过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:x2=2py(p>0)相交于B,C两点.当直线l的斜率是时,=4.‎ ‎(1)求抛物线G的方程;‎ ‎(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.‎ 解 (1)设B(x1,y1),C(x2,y2),当直线l的斜率是时,l的方程为y=(x+4),即x=2y-4,‎ 联立得2y2-(8+p)y+8=0,‎ ‎∴y1=,y2= 由已知=4,∴y2=4y1,‎ ‎∴可得p2+16p-36=0‎ ‎∵p>0可得y1=1,y2=4,p=2,‎ ‎∴抛物线G的方程为x2=4y.‎ ‎(2)由题意知直线l的斜率存在,且不为0,‎ 设l:y=k(x+4),BC中点坐标为(x0,y0),‎ 由得x2-4kx-16k=0,由Δ>0得k<-4或k>0,x=2k±2.∴xB+xC=2k ‎∴x0==2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.‎ BC中垂线方程为y-2k2-4k=-(x-2k),‎ ‎∴b=2(k+1)2,∴b>2.‎ ‎4.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.以原点为圆心,椭圆的短轴长为直径的圆与直线x-y+=0相切.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)如图,若斜率为k(k≠0)的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于A,M,N(A点在椭圆右顶点的右侧),且∠NF‎2F1=∠MF‎2A.求证直线l过定点(2,0),并求出斜率k的取值范围.‎ 解 (1)由题意知e==,∴e2===,即a2=2b2.又∵b==1,∴a2=2,b2=1,∴椭圆方程为+y2=1.‎ ‎(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).‎ 由得(2k2+1)x2+4kmx+‎2m2‎-2=0.‎ 由Δ=16k‎2m2‎-4(2k2+1)(‎2m2‎-2)>0,得m2<2k2+1,‎ ‎∵x1=,x2 则有x1+x2=,x1x2=.‎ ‎∵∠NF‎2F1=∠MF‎2A,‎ 且∠MF‎2A≠90°,kMF2+kNF2=0.‎ 又F2(1,0),则+=0,‎ 即+=0,‎ 化简得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-‎2m=0.‎ 将x1+x2=,x1x2=代入上式得m=-2k,‎ ‎∴直线l的方程为y=kx-2k,即直线过定点(2,0).‎ 将m=-2k代入m2<2k2+1,‎ 得4k2<2k2+1,即k2<,又∵k≠0,∴直线l的斜率k的取值范围是∪.‎