上海高考文科数学真题试卷有答案 7页

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文 ‎2015年上海市文科试题 一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）‎ ‎1.函数的最小正周期为.‎ ‎2.设全集.若集合，，则.‎ ‎3.若复数满足，其中是虚数单位，则.‎ ‎4.设为的反函数，则.‎ ‎5.若线性方程组的增广矩阵为解为，则.‎ ‎6.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则.‎ ‎7.抛物线上的懂点到焦点的距离的最小值为1，则.‎ ‎8. 方程的解为.‎ ‎9.若满足，则目标函数的最大值为.‎ ‎10. 在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.‎ ‎11.在的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）.‎ ‎12.已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为 ‎ ‎13.已知平面向量、、满足，且，则的最大值是 ‎ ‎14.已知函数.若存在，，，满足，且，则的最小值为 ‎ 二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.‎ ‎15. 设、，则“、均为实数”是“是实数”的（ ）.‎ ‎ A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 ‎ C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 ‎16. 下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）.‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎17. 已知点 的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎18. 设是直线与圆在第一象限的交点，则极限( ).‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎19.(本题满分12分)‎ ‎ 如图，圆锥的顶点为，底面圆为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点，已知，求三棱锥的体积，并求异面直线和所成角的大小.‎ ‎20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ 已知函数，其中为常数 ‎(1)根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎(2)若，判断函数在上的单调性，并说明理由.‎ ‎21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ 如图，三地有直道相通，千米，千米，千米，现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时，乙到达Q地后在原地等待.设时，乙到达地，时，乙到达地.‎ ‎(1)求与的值；‎ ‎(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是‎3千米，当时，求的表达式，并判断在上的最大值是否超过3？说明理由.‎ ‎22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.‎ 已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点、和、，记的面积为.‎ ‎(1)设，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；‎ ‎（2）设，，，求的值;‎ ‎(3)设与的斜率之积为，求的值，使得无论和如何变动，面积保持不变.‎ ‎23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分.‎ 已知数列与满足.‎ ‎(1)若且,求的通项公式;‎ ‎(2)设的第项是最大项,即,求证:的第项是最大项;‎ ‎(3)设,,求的取值范围,使得对任意，，且 答案 一、（第1题至第14题）‎ ‎1. 2.{1.4} 3. 4. 5.16 6. 4 7. 2 8. 2 ‎ ‎ 9. 3 10. 120 11.240 12. 13. 14.8‎ 二、（第15题至第18题）‎ ‎15 .A 16.B 17.D 18.A 三、（第19题至第23题）‎ ‎19.[解] ‎ 因为,所以为异面直线与所成的角或其补角 由,得,‎ 在中，由余弦定理得,故异面直线与所成的角的大小为 ‎20.[解]（1）的定义域为,关于原点对称，‎ ‎，‎ 当时，为奇函数 当时，由，知，故即不是奇函数也不是偶函数。‎ ‎（2）设，则 ‎，‎ 由，得＞0， 2＜＜4, 1＜＜4，‎ ‎，又1＜＜3,所以2＜＜12,‎ 得-＞0，从而＞0，即，故当时，‎ 在[1,2]上单调递增。‎ ‎21.[解]（1）‎ 记乙到P时甲所在地为R，则OR=千米。‎ 在中，PR2=OP2+OR22OP·ORcosO,所以（千米）‎ ‎（2）,‎ 如图建立平面直角坐标系。设经过小时，甲、乙所在位置分别为M,N.‎ 当时，‎ 在上的最大值是，不超过3‎ ‎22.[证]（1）直线：，点到的距离 因为，‎ 所以.‎ ‎[解]（2）由,得 由（1），‎ 由题意，，解得或-1‎ ‎[解]（3）设：，则：. ‎ 设,‎ 由，得 同理、‎ 由（1）,‎ ‎=,‎ 整理得 由题意知S与k无关，则，得，所以 ‎23.[解](1)由，得，‎ 所以是首项为1，公差为6的等差数列，‎ 故的通项公式为=,‎ ‎[证]（2）由，得 所以为常数列，，即 因为，,所以，即 ‎ 故的第项是最大项 ‎[解]（3）因为，所以，‎ 当时，+…+‎ ‎= …‎ ‎= ‎ 当时，，符合上式 所以 因为＜0，且对任意,，故＜0，特别地＜0‎ 于是 此时对任意，‎ 当＜＜0时，，由指数函数的单调性知，‎ ‎ ‎ 的最大值为，最小值为，由题意，的最大值及最小值分别为 ‎。由及<6,解得 综上所述，的取值范围为.‎