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- 2021-05-13 发布
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第100-102课时:第十三章 导数——导数的应用(3)
课题:导数的应用3:切线与速度的问题(3课时)
一.用导数求曲线的切线
函数在处导数的几何意义,就是曲线在点处切线的斜率,也就是说,曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是:。
利用上述结论,可以求解曲线的切线以及相关的问题。
用求导法求曲线的切线的斜率是行之有效的方法,它不仅适用于二次曲线,对于任何可导函数都适用。如果要求的切线过某点,一定要注意验证这点是否在曲线上。如果这点在曲线上,可直接通过求这点的导数(斜率)来求切线方程,如果这点在曲线之外,一般需设切点,求出这点的导数,然后通过解方程组来确定切点,最后根据两点式确定切线方程。
二.用导数求瞬时速度
物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在时的导数,即有。
利用导数的这个物理意义,可以帮助我们获得按规律运动的物体的瞬时速度。
三.范例分析
例1.求过抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上一点P(x0,y0)处的切线方程,并由此证实抛物线的光学性质。
分析:为求斜率,先求导函数:y'=2ax+b,故切线方程为y-y0=(2ax0+b)(x-x0)
即 y=(2ax0+b)x-ax+c,亦即y=(2ax0+b)x-ax+c.
抛物线焦点:F(,),它关于切线的对称点之横坐标当x0,说明从焦点发出的光线射到(x0,y0)经抛物面反射后反射光线平行于对称轴,反之亦然。
要求过曲线上一点处的切线方程,一般先求出该点的导数值(斜率),再用点斜式写出后化简,同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。
解:显然,y0=ax+bx0+c
y'=2ax+b 故在P点处切线斜率为2ax0+b,
切线方程y-(ax+bx0+c)=(2ax0+b)(x-x0),
亦即y=(2ax0+b)x-ax+c.
由于y=ax2+bx+c按向量=平移即得到y=ax2,只须证明过其上一点(x0,ax)的切线l :y=2ax0x-ax 满足:焦点关于l的对称点为(m,n).
当x0≠0时,消去n. 知 m=x0.
当x0=0时,切线为y=0,F之对称点横坐标显然是0,
故从焦点发出的光线射到(x0,ax)后被抛物面反射后的方程为x=x0(与对称轴平行);反之,与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点.
例2.求函数y=x4+x-2 图象上的点到直线y=x-4的距离的最小值及相应点的坐标.
分析:首先由得x4+2=0 知,两曲线无交点.
y'=4x3+1,切线要与已知直线平行,须4x3+1=1,x=0.
故切点:(0 , -2)
一般地,当直线l与y=f(x)的图像无交点时,与l平行的切线与l间距离应为图像上点到l的 距离的最值,以最小值为例(如图)与l平行的 直线若与曲y=f(x)相交,(A为一交点),则l'与l间必存在y=f(x)上的点C,显然,C点到l的距离小于l与l'间的距离,亦即A到l的距离.
当然,我的也可用参数直接考虑:设(x0,x+x0-2)为y=f(x)图象上任意一点,它到l的距离,故距离最小距离为
上述等号当且仅当x=0时取得,故相应点坐标为(0,2)。
解:y'= 4x3+1,令4x3+1=1,x=0. 由此知过曲线上点(0,-2)的切线方程y=x+2 与已知直线平行,它到已知直线距离最近,为.
例3.已知一直线l经过原点且与曲线y=x3-3x2+2x相切,试求直线l的方程。
分析:设切点为(x0,y0),则y0=x03-3x02+2x0,由于直线l经过原点,故等式的两边同除以x0即得切线的斜率,再根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率,便可建立关于x0的方程。在两边同除以x0时,要注意对x0是否为0进行讨论。
解:设直线l:y=kx。 ∵y'=3x2-6x+2,∴y'|x=0=2,又∵直线与曲线均过原点,于是直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2相切于原点时,k=2。
若直线与曲线切于点(x0,y0) (x0≠0),则k=,∵y0=x03-3x02+2x0,
∴=x02-3x0+2,
又∵k=y'|=3x02-6x0+2,
∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2, ∴2x02-3x0=0,
∵x0≠0, ∴x0=, ∴k=x02-3x0+2=-,
故直线l的方程为y=2x或y=-x。
例4.已知曲线及其上一点,过作C的切线,与C的另一公共点为(不同于),过作C的切线,与C的另一公共点为(不同于),…,得到C的一列切线,,…,,…,相应的切点分别为,,…,,…。
(1)求的坐标;
(2)设到的角为,求之值。
解:(1)设,过作C的切线。
C在处的切线的方程为:,代入,并整理得。
即(舍去)或。
由题意,,从而,(n∈N*)
即;
(2)的斜率。
的斜率。
。
例5.在直线轨迹上运行的一列火车,从刹车到停车这段时间内,测得刹车后t秒内列车前进的距离s=27t-0.45t2(单位是米),这列火车在刹车后几秒钟才停车?刹车后又运行了多少米?
解:当火车运行速度为0时,火车停车。
v=s'=(27t-0.45t2)'=27-0.9t,
令27=0.9t=0,得t=30(秒),
则s=27×30-0.45×302=405(米),
故这列火车在刹车后30秒钟才停车,刹车后又运行了405米。
例6.求曲线y=在横坐标为x0的点处的切线方程,并求此曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度。
分析:先根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线方程,从而求出切线被两坐标轴所截线段,再用基本不等式求其最小值。
解:由导数的定义可得y /=-,则过()点的切线方程为,由此得切线在x轴与y轴上的交点分别为A(x0,0),B(0,)。
则|AB|2=≥,
∴|AB|≥,当且仅当,即x0=±时,等号成立。故最短长度为。
例7.如图,已知圆心为O,半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P自切点A沿直线l向右移动时,取弧AC的长为,
直线PC与直线AO交于点M。又知当AP=时,点P的速度
为v,求这时点M的速度。(1984年·全国高考附加题)
分析: 设AP的长为x,AM的长为y,用x表示y,并用复合函数求导法则对时间t进行求导。
解:如图,作CD⊥AM,并设AP=x,AM=y,∠COA=θ,
由题意弧AC的长为,半径OC=1,可知θ=,考虑θ∈(0,π)。
∵△APM∽△DCM,∴。
∵DM=y- (1-cos),DC=sin,∴
∴。
上式两边对时间t进行求导,则 。
∴=
当时,,代入上式得点M的速度。
例8.已知在R上单调递增,记的三内角的对应边分别为,若时,不等式恒成立.
(Ⅰ)求实数的取值范围;
(Ⅱ)求角的取值范围;
(Ⅲ)求实数的取值范围.
解:(1)由知,在R上单调递增,
恒成立,且,即且,,
当,即时,,
时,时,,即当时,能使在R上单调递增,.
(2),由余弦定理:,,
(3)在R上单调递增,且,
所以,
故,即,,即,即.
例9.已知函数在区间单调递增,在区间单调递减.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若点A(x0,f(x0))在函数f(x)的图象上,求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上;
(Ⅲ)是否存在实数b,使得函数的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,若存在,请求出实数b的值;若不存在,试说明理由.
解:(Ⅰ)由函数单调递减,
(Ⅱ)
(Ⅲ)函数
四、专题训练
1.一质点在运动中经过的路程S和经历的时间t有关系S=5-3t2,则它在[1,+△t]内的平均速度为(C)
(A)3△t+6 (B)-3△t+6 (C)3△t-6 (D)-3△t-6
提示: 选(C)
2.曲线y=x3-x2+5,过其上横坐标为1的点作曲线的切线,则切线的倾斜角为(D)
(A) (B)(C)(D)
提示:y'=x2-2x. 当x=1时,y'=-1 选(D)
3.设曲线在点P处的切线斜率为3,则点P的坐标为 ( C )
A.(3,9) B.(-3,9) C.() D.()
4.某质点的运动方程是,则在t=1s时的瞬时速度为( B )
A.-1 B.-3 C.7 D.13
5.函数处的切线方程是 ( D )
A. B.
C. D.
6.某物体的运动方程为,则该物体在时的瞬时速率是( A )
(A)36 (B)26 (C)14 (D)28
7.曲线与曲线的公共切线的条数是 ( B )
A.1条 B.2条 C.3条 D.0条
8.曲线y=x3+x-2 在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0点的坐标是( B )
A.(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(1,4)
9.给出下列命题:
(1)若函数f(x)=|x|,则f’(0)=0;
(2)若函数f(x)=2x2+1,图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy),则=4+2Δx
(3)加速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数;
(4)y=2cosx+lgx,则y’=-2cosx·sinx+其中正确的命题有( B )
A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个
8.函数处的切线方程是 ( D )
A. B.
C. D.
9.已知函数的图象与x轴切于点(1,0),则的极值为( A )
A.极大值,极小值0 B.极大值0,极小值
C.极小值-,极大值0 D.极大值-,极小值0
10.已知二函数,若它们的图象有公共点,且在公共点处的切线重合,则切斜线率为 ( C )
A.0 B.12 C.0或12 D.4或1
11.如果曲线处的切线互相垂直,则x0的值为. ()
12.曲线上一点M处的切线与直线垂直,则切线的方程是_______________________ 或
13.求曲线y = sinx在点x=π处的切线方程。
提示:根据导数的几何意义求出曲线y = sinx在点x=π处的切线斜率。
解:∵y′=cosx,∴切线的斜率k== -1,
∴切线方程为y- 0=- (x- π),即x+y-π=0。
14.求过点P(2,2)且与曲线y=x2相切的直线方程.
解:y'=2x,过其上一点(x0,x)的切线方程为
y-x=2x0(x-x0),过P(2,2),故2-x=2x0(2-x0)
x0=2±. 故切线方程为y=(4±)x-(6±).
15.由y=0,x=8,y=x2围成的曲边三角形,在曲线弧OB上求一点M,使得过M所作的y=x2的切线PQ与OA,AB围成的三角形PQA面积最大。
答案:(16/3,256/3)
16.路灯距地面8m,一身高1.6m的人沿穿过灯下的直路以84m/min的速度行走,则人影长度变化速率是多少?(要求以m/s为单位)
解:.
∴OM= 4BM
同理ON=4CN
两式相减,知,影长变化BM-CN= (OM-ON)
=MN=·△t·84m/min
∴.
17.已知直线y=3x+1是曲线y=x3-2x+a的一条切线,求a的值.
解:y'=3x2-2. 令3x2-2=3, x=±.代入切线方程知y0=1±,
∴a=y0+2x0-x= .
18.设曲线S:y=x3-6x2-x+6,S在哪一点处的切线斜率最小?设此点为P(x0,y0)求证:曲线S关于P点中心对称.
解:y'=3x2-12x-1当x=2时有最小值.故P:(2, -12).
S在(2,-12)处的切线斜率最小,为-13.
又y=(x-2+2)3-6(x-2+2)2-(x-2+2)+6
=(x-2)3-13(x-2) -12
故曲线C的图象按向量=(-2,+12)平移后方程为y'=x -13x'为奇数,关于原点对称,
故P(2,-12)为曲线S的对称中心.
19.曲线y=x(x+1)(2-x)上有一点P,它的坐标均为整数,且过P点的切线斜率为正数,求此点坐标及相应的切线方程.
解:y=-x3+x2+2x y'=-3x2+2x+2
令y'>0 知x∈(, )
又x∈z ∴x=0或1 ∴P点坐标为(0,0)或(1,2).
切线斜率k=2或1,
切线方程为y=2x或y=x+1.
20.曲线:y=ax3+bx2+cx+d在(0,1)点处的切线为l1:y=x+1,在(3,4)点处的切线为l2:y=-2x+10,求曲线C的方程。
分析:已知两点均在曲线C上,y'=3ax2+2bx+c (0)=c,(3)=27a+6b+c
l1:y=cx+1 l2:y=(27a+6b+c)(x-3)+4
与已知比较,分别求出d=1,c=1,a=-,b=1.
答案:C:y=-x3+x2+x+1.
说明:求曲线过一点处的切线,先求斜率——即导函数在x0处的值,再用点斜式写出化简.
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来源:高考资源网