高考数学之三角函数知识点总结 17页

‎ 三角函数 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。‎ 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。‎ 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，‎ 定理1 同角三角函数的基本关系式，‎ 倒数关系：tanα=,商数关系：tanα=；‎ 乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.‎ 定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα;‎ ‎（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα; ‎ ‎（Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα; （‎ Ⅳ）sin=cosα, cos=sinα（奇变偶不变，符号看象限）。‎ 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.‎ 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.‎ 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。‎ 函 数 性 质 ‎ ‎ 图象 定义域 值域 最值 当时，；当 ‎ 时，．‎ 当时， ‎ ‎；当 时，．‎ 既无最大值也无最小值 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数；在 上是减函数．‎ 在上是增函数；在 上是减函数．‎ 在 上是增函数．‎ 对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴 定理6 两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,‎ sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;‎ ‎ tan(αβ)=‎ 定理7 和差化积与积化和差公式:‎ sinα+sinβ=2sincos,‎ sinα-sinβ=2sincos,‎ cosα+cosβ=2coscos,‎ ‎ cosα-cosβ=-2sinsin,‎ sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],‎ cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],‎ cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],‎ sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].‎ 定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα,‎ ‎ cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, ‎ tan2α=‎ 定理9 半角公式:sin=,cos=,‎ tan==‎ 定理10 万能公式: , ,‎ 定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.‎ asinα+bcosα=sin(α+β).‎ 定理12 正弦定理：在任意△ABC中有，其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。‎ 定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。‎ 定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。‎ 定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).‎ 定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.‎ 定理16 若，则sinx0).‎ 由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。‎ ‎ 例5 已知f(x)=sin(x+)(>0, 0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。‎ ‎【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意x∈R成立。‎ 又0≤≤π，解得=，‎ 因为f(x)图象关于对称，所以=0。‎ 取x=0，得=0，所以sin 所以(k∈Z)，即=(2k+1) (k∈Z).‎ 又>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；‎ 取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；‎ 取k=2时，≥，此时f(x)=sin(x+)在[0，]上不是单调函数，‎ 综上，=或2。‎ ‎1.(09山东)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 ‎ ‎2.（1）（07山东）要得到函数的图象，只需将函数的图象向 ‎ 平移 个单位 ‎（2）（全国一8）为得到函数的图像，只需将函数的图像 向 平移 个单位 ‎（3）为了得到函数的图象，可以将函数的图象向 平移 ‎ 个单位长度 ‎3.将函数 y = cos x－sin x 的图象向左平移 m（m > 0）个单位，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小正值是 （D ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎4.（湖北）将函数的图象F按向量平移得到图象,若的一条对称轴是直线,则的一个可能取值是 ( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．三角公式的应用。‎ 例6 已知sin(α-β)=，sin(α+β)=- ，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值。‎ ‎【解】 因为α-β∈，所以cos(α-β)=-‎ 又因为α+β∈，所以cos(α+β)=‎ 所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,‎ cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.‎ 例7 求证：tan20+4cos70.‎ ‎【解】 tan20+4cos70=+4sin20‎ 求值 ‎1、（1）(07全国Ⅰ) 是第四象限角，，则 ‎（2）（09北京文）若，则 .‎ ‎（3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC中，，则 .‎ ‎(4) 是第三象限角，，则= = ‎ ‎2、(1) (07陕西) 已知则= .‎ ‎(2)（04全国文）设，若，则= . ‎ ‎（3）（06福建）已知则= ‎ ‎3. (1)(07福建) = ‎ ‎ (2)（06陕西）= 。‎ ‎（3） 。‎ ‎4．已知，则的值为 （ ）‎ A． 　B． C． D．‎ ‎5．已知sinθ=－，θ∈（－，0），则cos（θ－）的值为 （ ）‎ ‎ A．－ B． C．－ D．‎ ‎6.若，则的取值范围是： ( )‎ ‎（Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ）‎ ‎7.若则= （ ）‎ ‎ （A） （B）2 （C） （D）‎ 单调性 ‎1.（04天津）函数为增函数的区间是 （ ）.‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.函数的一个单调增区间是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3.函数的单调递增区间是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（07天津卷） 设函数，则 （ ）‎ A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数 ‎5.函数的一个单调增区间是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数，②对任意实数x，都有f()= f()，则f(x)的解析式可以是 （ ）‎ ‎ A．f(x)=cosx　　B．f(x)=cos(2x)　　C．f(x)=sin(4x)　　D．f(x) =cos6x 四. ‎ 五.对称性 ‎1.（08安徽）函数图像的对称轴方程可能是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2 （07福建）函数的图象 （　　）‎ ‎ Ａ．关于点对称 Ｂ．关于直线对称 ‎ Ｃ．关于点对称 Ｄ．关于直线对称 ‎3（09全国）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为 （ ） ‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ 七. 图象 ‎4．（2006年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎5.（2009江苏卷）函数（为常数，）在闭区间上的图象如图所示，则= . ‎ ‎7．(2010·天津)下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点 (　　)‎ A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 ‎8．(2010·全国Ⅱ)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin的图象 (　　)‎ A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 ‎9．(2010·重庆)已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 (　　)‎ A．ω＝1，φ＝　　　　　B．ω＝1，φ＝－ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－ 八.解三角形 ‎1.(2009年广东卷文)已知中，的对边分别为若 且，则 ‎ ‎2.（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 2 ，的取值范围为 . ‎ ‎3.（09福建） 已知锐角的面积为，，则角的大小为 ‎ ‎5．已知△ABC中，，则的值为 ‎ ‎7.在中，，． ‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设的面积，求的长．‎ 九..综合 ‎1. （04年天津）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为 ‎ ‎2．(04年广东)函数f(x)是 （ ）‎ ‎ A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 ‎ C． 周期为2的偶函数 D．.周期为2的奇函数 ‎ ‎3．（ 09四川）已知函数，下面结论错误的是 ( )‎ ‎ A. 函数的最小正周期为2 B. 函数在区间［0，］上是增函数 ‎ C.函数的图象关于直线＝0对称 D. 函数是奇函数 ‎4．(07安徽卷) 函数的图象为C, 如下结论中正确的是 ‎ ‎①图象C关于直线对称; ②图象C关于点对称;‎ ‎③函数)内是增函数;‎ ‎④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.‎ ‎5.（08广东卷）已知函数，则是 （ ）‎ A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的奇函数 C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数 ‎6.在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是C ‎（A）0 （B）1 （C）2 （D）4‎ ‎7．若α是第三象限角，且cos<0，则是 （ ）‎ A．第一象限角 B．第二象限角 ‎ C．第三象限角 D．第四象限角 ‎8．已知函数对任意都有，则等于 （ ）‎ A、2或0 B、或‎2 C、0 D、或0‎ 十.解答题 ‎1．（05福建文）已知.‎ ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎ （Ⅱ）求的值.‎ ‎2（06福建文）已知函数 ‎ （I）求函数的最小正周期和单调增区间；‎ ‎ （II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？‎ ‎3．（2006年辽宁卷）已知函数，.求:‎ ‎(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；‎ ‎(II) 函数的单调增区间.‎ ‎4.（07福建文）在中，，．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若边的长为，求边的长．‎ ‎5. （08福建文）已知向量,且 ‎(Ⅰ)求tanA的值；‎ ‎(Ⅱ)求函数R)的值域.‎ ‎6.（2009福建卷文）已知函数其中，‎ ‎ （I）若求的值； ‎ ‎ （Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。‎ ‎7.已知函数（）的最小正周期为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．‎ ‎8.知函数（）的最小值正周期是．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．‎ ‎9.已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程 ‎（Ⅱ）求函数在区间上的值域 ‎10.已知函数f(x)＝为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 ‎（Ⅰ求f（）的值；‎ ‎（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.‎ ‎11.已知向量，，记函数。‎ ‎（1）求函数 的最小正周期；‎ ‎（2）求函数的最大值，并求此时的值。‎ ‎12（04年重庆卷.文理17）求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在的单调递增区间.‎ ‎13.（2009湖北卷文） 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且 ‎(Ⅰ)确定角C的大小： ‎ ‎（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值。‎ ‎14.（2009陕西卷文） 已知函数（其中）的周期为，且图象上一个最低点为.‎ ‎ (Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的最值.‎ ‎15.（2009北京文）（本小题共12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎ ‎ ‎16.（08全国二17）在中，，． ‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，求的面积．‎