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  • 2021-05-13 发布

2010高考复习数学亮点试题解析几何部分

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‎2010高考复习数学亮点试题(解析几何部分)‎ 李春龙(江苏省扬州市第一中学)‎ ‎【题目】1. 如图,直角坐标系中,一直角三角形,,、在轴上且关于原点对称,在边上,,三角形ABC的周长为12.若一双曲线以、为焦点,且经过、两点.‎ ‎(1) 求双曲线的方程;‎ ‎(2) 若一过点(为非零常数)的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、,且,问在轴上是否存在定点,使?若存在,求出所有这样定点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析提示】(1) 设双曲线的方程为,则.‎ 由,得,即.‎ ‎∴ 解之得,∴.‎ ‎∴双曲线的方程为. ‎ ‎(2) 设在轴上存在定点,使.‎ 设直线的方程为,.‎ 由,得.即 ① ‎ ‎∵,‎ ‎,‎ ‎∴.‎ 即. ② ‎ 把①代入②,得 ③ ‎ 把代入并整理得 其中且,即且.‎ ‎ .代入③,得 ,‎ 化简得 .‎ 当时,上式恒成立.‎ 因此,在轴上存在定点,使. ‎ ‎【亮点、新颖原因】本题是一道典型的解析几何综合题,能够强化学生对双曲线有关知识的理解,本题主要训练学生对平面向量的概念和有关垂直性质的应用;双曲线的定义、标准方程和有关性质等基础知识的认识,训练存在性问题的求法和应用,以及综合运用数学知识解决问题的能力. ‎ ‎【题目】2. 已知椭圆的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足 ‎ (Ⅰ)设为点P的横坐标,证明;‎ ‎ (Ⅱ)求点T的轨迹C的方程;‎ ‎ (Ⅲ)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,‎ ‎ 使△F1MF2的面积S=若存在,求∠F1MF2‎ ‎ 的正切值;若不存在,请说明理由. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎(Ⅰ)证法一:设点P的坐标为 由P在椭圆上,得 由,所以 ‎ 证法二:设点P的坐标为记 则 由 证法三:设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 ‎ 由椭圆第二定义得,即 ‎ 由,所以 ‎(Ⅱ)解法一:设点T的坐标为 ‎ ‎ 当时,点(,0)和点(-,0)在轨迹上.‎ 当|时,由,得.‎ 又,所以T为线段F2Q的中点.‎ 在△QF‎1F2中,,所以有 综上所述,点T的轨迹C的方程是 解法二:设点T的坐标为 当时,点(,0)和点(-,0)在轨迹上.‎ ‎ 当|时,由,得.‎ ‎ 又,所以T为线段F2Q的中点. ‎ ‎ 设点Q的坐标为(),则 因此 ①‎ ‎ 由得 ② 将①代入②,可得 ‎ 综上所述,点T的轨迹C的方程是 ‎③‎ ‎④‎ ‎ (Ⅲ)解法一:C上存在点M()使S=的充要条件是 ‎ ‎ ‎ 由③得,由④得 所以,当时,存在点M,使S=;‎ ‎ 当时,不存在满足条件的点M.‎ ‎ 当时,,‎ ‎ 由,‎ ‎ ,‎ ‎ ,得 解法二:C上存在点M()使S=的充要条件是 ‎③‎ ‎④‎ ‎ ‎ ‎ 由④得 上式代入③得 ‎ 于是,当时,存在点M,使S=;‎ ‎ 当时,不存在满足条件的点M ‎ 当时,记,‎ ‎ 由知,所以 ‎【亮点、新颖原因】‎ 本题是一道典型的解析几何综合题,能够强化学生对椭圆有关知识的理解,本题主要训练学生对平面向量的概念,椭圆的定义、标准方程和有关性质等基础知识的认识,训练轨迹方程的求法和应用,以及综合运用数学知识解决问题的能力.‎ ‎【题目】3. 如图,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.‎ ‎(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的取值范围.‎ ‎【解析提示】:(Ⅰ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意x1≠0,y1>0,y2>0.‎ 由y=x2, ① 得y'=x. ∴过点P的切线的斜率k切= x1,‎ ‎∴直线l的斜率kl=-= -,∴直线l的方程为y-x12=- (x-x1),②‎ 方法一:联立①②消去y并整理,得x2+x-x12-2=0.‎ ‎∵M是PQ的中点 ‎ x0== -,‎ ‎∴ y0=x12-(x0-x1). 消去x1,得y0=x02++1(x0≠0),‎ ‎∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0). ‎ 方法二:‎ 由y1=x12,y2=x22,x0=,‎ 得y1-y2=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2),‎ 则x0==kl=-,∴x1=-,‎ 将上式代入②并整理,得y0=x02++1(x0≠0),‎ ‎∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).‎ ‎(Ⅱ)设直线l:y=kx+b,依题意k≠0,b≠0,则T(0,b).‎ 分别过P、Q作PP'⊥x轴,QQ'⊥y轴,垂足分别为P'、Q',则 ‎.‎ ‎ y=x2‎ 由 y=kx+b 消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0. ③ ‎ ‎ 则 y1+y2=2(k2+b), y1y2=b2. ‎ 方法一:‎ ‎∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.‎ ‎∵y1、y2可取一切不相等的正数,‎ ‎∴的取值范围是(2,+).‎ 方法二:‎ ‎∴=|b|=|b|.‎ 当b>0时,=b==+2>2;‎ 当b<0时,=-b=.‎ 又由方程③有两个相异实根,得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0,‎ 于是k2+2b>0,即k2>-2b.‎ 所以>=2.‎ ‎∵当b>0时,可取一切正数,‎ ‎∴的取值范围是(2,+).‎ 方法三:‎ 由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP, 即=.‎ 则x1y2-bx1=x2y1-bx2,即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2).‎ 于是b==-x1x2. ‎ ‎∴===+≥2.‎ ‎∵可取一切不等于1的正数,‎ ‎∴的取值范围是(2,+).‎ ‎【亮点、新颖原因】本题是一道典型的解析几何综合题,能够强化学生对抛物线有关知识的理解,也能够训练学生对二直线垂直时斜率的关系、不等式、导数的几何意义之一是过某点切线的斜率等基础知识的认识,训练学生求轨迹方程的基本方法,平面解析几何的基本思想和综合解题能力以及一题多解。‎ ‎ ‎